Aire et périmètre : corrigé des exercices de maths en 5ème à télécharger en PDF

Exercice 1 (périmètres 5e corrigé)

\(P=(((6+3)\times 2)-4)+(2\times \pi\times 1)\)

\(P=14+2\pi\)

Exercice 2 :

\(P=4,5+6+1,5+3+1,5+1,5+1,5+1,5=21\,cm\)

\(A=4,5\times 1,5+3\times 1,5+3\times 1,5=15,75\,cm^2\)

Exercice 3 (périmètres 5e corrigé)

\(R=280:2=140\,cm\)

\(A=\frac{(B+b)\times h}{2}\)

\(A=\frac{(280+150)\times 80}{2}\)

\(A=\frac{34400}{2}\)

\(A=17200\,cm^2\)

Calculer l’aire du rectangle.

\(A=L\times l=280\times 95=26600\,cm^2\)

Calculer l’aire du demi-disque.

\(A=\frac{\pi\times R^2}{2}\)

\(A=\frac{\pi\times 140^2}{2}\)

\(A\simeq 30\,787,61\,cm^2\)

Calculer l’aire totale.

\(A_{totale}\simeq 17200+26600+30\,787,61\,cm^2\)

\(A{\color{DarkRed} _{totale}\simeq 74587,61\,cm^2}\)

Exercice 4 :

\(A_{triangle}=\frac{base\times hauteur}{2}=\frac{17\times 90}{2}=765\,mm^2\)

\(A_{rectangle}=Longueur\times largeur=17\times 16=272\,mm^2\)

\(A_{totale}=765+272=1037\,mm^2\)

Exercice  5 (périmètres 5e corrigé)

Les diagonales du losange mesurent 42 cm et 26 cm, donc son aire est égale au demi-produit des diagonales :

\(A_{losange}=\dfrac{42\times 26}{2}=\dfrac{1092}{2}=546\text{ cm}^2\)

\(A_{disque}=\pi\times R\times R=\pi\times 10\times 10=100\pi\)

\(A_{totale}=A_{losange}-A_{disque}=546-100\pi\simeq 231{,}84\text{ cm}^2\)

L’aire hachurée mesure environ 231,84 cm².

Exercice 6 :

Premier parallélogramme, un rectangle, dont l’aire se calcule par le produit de deux côtés consécutifs.

Aire (ABCD) = 3*4 = 12 unités d’aire

Pour calculer les aires des autres parallélogrammes utilisons ce schéma :

De manière générale hxAB nous donne l’Aire.

Deuxième parallélogramme, il nous faut déterminer h

On voit que de haut en bas, h vaut 4 et la base vaut 3. Donc l’aire est de 12 unités d’aire.

Troisième parallélogramme, il nous faut déterminer h

De haut en bas, h vaut toujours 4 unités d’aire tandis que la base vaut 3 unités d’aires

L’aire est donc de 12 unités d’aire.

Quatrième et dernier parallélogramme, il nous faut déterminer h

De gauche à droite, h vaut 3 unités d’aire, et sa base (un des côté verticaux) vaut 3 unités d’aires. Ensuite, l’aire est encore de 12 unités d’aire!

Exercice 7 (périmètres 5e corrigé)

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

ha

a

ca

1

1 m² = 100 dm² = 10 000cm² = 1 000 000 mm²

1 m² = 0,01 dam² = 0,000 1 hm² = 0,000 001 km²

ca = 1 m²           1 a = 1 dam²             1 ha = 1 hm²

1. Complèter :

360 cm² = 3,6 dm²          1 km² = 1 000 000 m²            10 000 m² = 1 hm²

8 m² = 800 dm ² = 80 000 cm² .

145 cm² = 0,0145  m² = 14 500 mm²

0,1 dam ² = 10 m²  = 0,000 01 km²

2.      Complèter :

15,4 m ² = 1 540 dm ²	154 km ² = 15 400 000 000 dm ²
0,02 cm ² = 2 mm ²	2 024 mm ² = 0,002 024 m ²
3,5 dam ² = 3 500 000 cm ²	6 325 cm ² = 0,632 5 .m ²

Exercice 7 (suite) : autres conversions

Suite de la question 2 :

• 4,9 km² = 4 900 000 m²
• 3 060 mm² = 30,6 cm²
• 2,74 dm² = 274 cm²
• 58 830 cm² = 5,883 m²
• 0,68 cm² = 68 mm²
• 46 000 m² = 0,046 km²
• 1 600 m² = 0,001 6 km²
• 172 mm² = 1,72 cm²
• 3 m² = 30 000 cm²
• 7,2 mm² = 0,072 cm²
• 3 ha = 3 hm² = 30 000 m²
• 18 ha = 180 000 m² = 1 800 000 000 cm²
• 856 ca = 856 m² (1 ca = 1 m²)
• 470 dm² = 4,7 m² = 0,047 a
• 8 400 a = 84 ha
• 3,5 km² = 350 hm² = 350 ha
• 18 a = 0,18 ha
• 0,007 1 km² = 7 100 m² = 71 a
• 1 m² 35 dm² = 100 dm² + 35 dm² = 135 dm²
• 14 m² 7 dm² = 1 400 dm² + 7 dm² = 1 407 dm²
• 6 dam² 8 m² 29 dm² = 60 000 dm² + 800 dm² + 29 dm² = 60 829 dm²
• 480 cm² = 4 dm² 80 cm²
• 14 506 cm² = 1 m² 45 dm² 6 cm²
• 756 000 cm² = 75 m² 60 dm² 0 cm²
• 7 dam² = 700 m² = 70 000 dm²
• 6,2 m² = 620 dm² = 0,000 62 hm²

Exercice 8 :

Calculer l’aire des rectangles suivants :

Aire d’un rectangle de manière général est le produit de deux côté consécutifs.
Par ailleurs, on remarque qu’un carré est un rectangle particulier donc ce qui s’applique plus haut à un rectangle s’applique au carré. Si les longueurs sont en cm, l’aire s’exprimera quant à elle en cm².

Aire(figure1) = 8×5 = 40 cm²

Aire (figure2) = 9×6,5 = 58,5 m²

Aire (figure3) = 5×5 = 25 dm²

Exercice 9 (périmètres 5e corrigé)

L’inscription « 90 g/m² » sur une ramette de papier signifie

que 1 m² de ce papier pèse 90 g.

Combien pèse, en kg, une ramette de 500 feuilles de format A4

(rectangle de 21 cm x 29,7 cm) de ce papier ?

Une feuille a une surface de  \(21\times 29,7=623,7\,cm^2\)=0,06237 m²

La ramette de 500 feuilles représente une surface de 0,06237×500=31,185 m²

La masse d’une ramette est de 31,185×90=2806,65 g soit 2,806 65 kg, c’est-à-dire environ 2,8 kg.

Exercice 10 :

Un triangle d’aire 0,1 dam² a un côté de longueur 800 cm.

Calculer la hauteur relative à ce côté .

0,1 dam²= 10 m² et 800 cm = 8 m .

L’aire est telle que :

\(\frac{base\times hauteur}{2}=10\)

\(\frac{8\times hauteur}{2}=10\)

\(8\times hauteur=10\times 2\)

\(8\times hauteur=20\)

\(hauteur=\frac{20}{8}\)

\({\color{DarkRed} hauteur=2,5\,m}\)

Exercice 11 (périmètres 5e corrigé)

\(A=\frac{(base+BASE)\times hauteur}{2}\)

\(A=\frac{(35+54)\times 30}{2}\)

\({\color{DarkRed} A=1335\,m^2}\)

Exercice 12 :

a) 2,6 m²=260 dm²=26 000cm²

b) 3 cm² =0,03 dm² = 0,0003 m²

c) 0,574 km² = 57,4 hm²= 574 000 m²

Exercice 13 (périmètres 5e corrigé)

On lit sur la figure : la diagonale [AC] est partagée par les points L et K en AL = 3 cm, LK = 6 cm et KC = 3 cm, donc AC = 12 cm. Puis les hauteurs tracées en pointillés mesurent EL = 3 cm, DK = 6 cm et BH = 4 cm, et elles sont perpendiculaires à (AC).

On découpe le pentagone ABCDE en quatre morceaux.

• Triangle ABC (base AC, hauteur BH) : \(\dfrac{12\times 4}{2}=24\text{ cm}^2\)
• Triangle ALE, rectangle en L : \(\dfrac{3\times 3}{2}=4{,}5\text{ cm}^2\)
• Trapèze rectangle ELKD (bases EL = 3 et DK = 6, hauteur LK = 6) : \(\dfrac{(3+6)\times 6}{2}=27\text{ cm}^2\)
• Triangle DKC, rectangle en K : \(\dfrac{6\times 3}{2}=9\text{ cm}^2\)

\(A_{ABCDE}=24+4{,}5+27+9=64{,}5\text{ cm}^2\)

L’aire du pentagone ABCDE est 64,5 cm².

Exercice 14 :

La base de la moulure est formée des trois quarts d’un disque de rayon 1 cm. Puis les deux bases ne sont pas peintes : on ne compte donc que la surface latérale, longue de 2 m = 200 cm.

Il y a deux faces planes rectangulaires de 1 cm sur 200 cm :

\(2\times 1\times 200=400\,cm^2\)

Il y a la partie arrondie : c’est une bande de 200 cm de long dont la largeur est les trois quarts du périmètre du cercle de rayon 1 cm :

\(\frac{3}{4}\times 200\times 2\pi\times 1=300\pi\simeq 942,5\,cm^2\)

donc

\(400+300\pi\simeq 1342{,}5\,cm^2\)

L’aire de la surface peinte est environ 1 342,5 cm². Ensuite, les trois couches de peinture recouvrent trois fois cette même surface : elles changent la quantité de peinture, pas l’aire.

Exercice 15 (périmètres 5e corrigé)

On travaille en millimètres : le rayon du disque est 1,6 cm = 16 mm et chaque trou a un diamètre de 8 mm, donc un rayon de 4 mm.

L’aire du grand disque est : \(\pi\times R^2=\pi\times 16^2=256\pi\text{ mm}^2\)

Puis, l’aire des six trous est : \(6\times \pi\times r^2=6\times \pi\times 4^2=96\pi\text{ mm}^2\)

L’aire de cette bonde est :

\(256\pi-96\pi=160\pi\simeq 502{,}65\text{ mm}^2\)

Au mm² près, l’aire de la bonde est environ 503 mm².

Exercice 16 :

1°  Calculer l’aire du parallélogramme MNOP représenté ci-contre.

\(A=base\times hauteur=ON\times KM=4\times 3,2=12,8\,cm^2\)

2°  Calculer  PO ( arrondir à 0,1 près ).

\(PO\times 3,5=12,8\)

\(PO =\frac{12,8}{3,5}\simeq 3,657\,cm\)

Arrondi à 0,1 près : PO ≈ 3,7 cm.

Exercice 17 (périmètres 5e corrigé)

La figure ci-dessous est un parallélogramme

Observons le schéma ci dessous :

1°  Calcule son aire.

Sur la figure numéro 2, [AE] est la hauteur relative au côté [DC]. Et l’aire de ABCD est tout simplement le produit de la longueur du côté et de son hauteur relative.

Ici Aire = 6×3,5=21cm²

2. Puis calculer son périmètre.

Le périmètre est la somme des longueurs des côtés, soit 2xAD+2xAB

Ici Périmètre = 2×4+2×6 = 8+12=20 cm.

Exercice 18 :

La fusée Ariane 5 mesure 57 m de haut.

a) Quelle est la hauteur de sa maquette à l’échelle  ?

b) Le diamètre de la maquette est de 5,7 cm.  Quel est le diamètre réel de la fusée ?.

Remarque : l’échelle de la maquette n’est pas indiquée dans l’énoncé, on ne peut donc pas donner de valeur numérique. Méthode : si l’échelle est \(\dfrac{1}{k}\), la hauteur de la maquette est \(5\,700: k\) cm (car 57 m = 5 700 cm) et le diamètre réel de la fusée est \(5{,}7\times k\) cm.

Exercice 19 (périmètres 5e corrigé)

Calculer le périmètre de la figure suivante :

Prenons un seul parallélogramme.

comme il a deux parallélogrammes de part et d’autres.

Le périmètre correspondant à un parallélogramme est :

4+3+(4-3)=4+3+1=8 cm

Il y a 9 parallélogrammes

Le périmètre est donc 9×8 = 72 cm

Exercice 20 :

\(A=\frac{base\times hauteur}{2}\)

\(\frac{base\times hauteur}{2}=210\)

\(\frac{21\times hauteur}{2}=210\)

\(hauteur=\frac{2\times 210}{21}\)

\(hauteur=\frac{420}{21}\)

\(hauteur=20\)  cm

« L’intrus » (Pour prendre un bon départ sur les formules d’aires) (périmètres 5e corrigé)

A –  « L’intrus »  :

Sur le quadrillage ci-dessous, on a dessiné six figures.

Sachant que l’unité d’aire est le carreau, calculer l’aire de chacune des 6 figures et trouver ainsi l’intrus .

\(A_1=9\,u.a\)

\(A_2=9\,u.a\)

\({\color{DarkRed} A_3=8\,u.a}\)

\(A_4=9\,u.a\)

\(A_5=9\,u.a\)

\(A_6=9\,u.a\)

Exercice 21 :

1. Aire de la parcelle. Le terrain est un rectangle de 20 m de long et de 6 + 4 = 10 m de large, auquel on a retiré, en bas à droite, un coin en forme de triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 m et 4 m.

\(A_{rectangle}=20\times 10=200\text{ m}^2\)

\(A_{triangle}=\dfrac{3\times 4}{2}=6\text{ m}^2\)

\(A_{parcelle}=200-6=194\text{ m}^2\)

L’aire réelle de la parcelle est 194 m².

2. Longueur de grillage. On additionne les longueurs des côtés : AB = 20 m, BC = 6 m, CD = 5 m, DE = 20 − 3 = 17 m et EA = 6 + 4 = 10 m.

\(P=20+6+5+17+10=58\text{ m}\)

On retire l’ouverture du portail : \(58-1{,}5=56{,}5\text{ m}\).

M. Léon doit acheter 56,5 m de grillage.

3. Partie broutée. Le mouton peut aller partout à moins de 5 m du piquet A, sans sortir du terrain. Comme l’angle en A est droit et que AB = 20 m et AE = 10 m dépassent 5 m, la partie broutée est un quart de disque de centre A et de rayon 5 m, compris entre [AB] et [AE] : on le hachure en vert sur le plan.

\(A_{broutée}=\dfrac{\pi\times 5^2}{4}=\dfrac{25\pi}{4}\simeq 19{,}63\text{ m}^2\)

L’aire réelle broutée est environ 19,63 m².

4. Surface à traiter. L’énoncé demande d’admettre que la partie broutée mesure 4 m² :

\(194-4=190\text{ m}^2\)

Il reste 190 m² à traiter.

5. Nombre de sachets. \(190: 30\simeq 6{,}33\). Six sachets ne traitent que 180 m², ce qui ne suffit pas : M. Léon doit acheter 7 sachets.

Remarque : la valeur de 4 m² imposée par l’énoncé ne correspond pas à l’aire calculée à la question 3. Avec 19,63 m², il resterait \(194-19{,}63=174{,}37\text{ m}^2\) à traiter, et \(174{,}37: 30\simeq 5{,}81\), soit 6 sachets.

Exercice 22 (périmètres 5e corrigé)

(AD) est une médiane du triangle ABC.

Propriété : la médiane d’un triangle divise, ce triangle, en deux autres triangles de même aire.

Les triangles ADB et ADC ont donc la même aire. De plus, le triangle ADC est formé des deux parties d’aire 7 :

\(A_{ADC}=7+7=14\) unités d’aire, donc \(A_{ADB}=14\) unités d’aire.

Le triangle ADB est formé de la partie d’aire 3 et de la quatrième partie, donc :

\(14-3=11\)

La quatrième partie a une aire de 11 unités d’aire.

Exercice 23 :

Le grand carré ABDC a pour côté 4 cm. Ensuite, les deux petits carrés AEFG et EBHF ont pour côté 2 cm ; J et K sont leurs centres et L est le centre du grand carré. Puis on découpe le pentagone AJKBL en deux morceaux.

Le triangle ABL : sa base AB mesure 4 cm et sa hauteur est la distance de L à (AB), c’est-à-dire la moitié du côté du grand carré, soit 2 cm.

\(A_{ABL}=\dfrac{4\times 2}{2}=4\text{ cm}^2\)

Le trapèze ABKJ : ses bases mesurent AB = 4 cm et JK = 2 cm (distance entre les centres de deux carrés voisins de côté 2 cm), et sa hauteur est la distance de J à (AB), soit la moitié du côté d’un petit carré : 1 cm.

\(A_{ABKJ}=\dfrac{(4+2)\times 1}{2}=3\text{ cm}^2\)

\(A_{pentagone}=4+3=7\text{ cm}^2\)

L’aire de la zone grisée est 7 cm².

Exercice 24 (périmètres 5e corrigé)

\(P=2+3+2+2+3+2+2\times \pi\times 1\simeq 20,3cm\)

\(A=3\times 6-\pi\times 1^2\simeq 15cm^2\)

Exercice 25 :

Calculer l’aire du champ suivant en \(m^2.\)

Cette figure est constituée d’un trapèze rectangle auquel on enlève un demi-cercle, puis on y rajoute un triangle.

L’aire de cette figure est donnée par l’expression numérique suivante :

\(A=\frac{(80+50)\times 45}{2}+\frac{15\times 20}{2}-\frac{\pi\times 10^2}{2}\)

\(A=\frac{130\times 45}{2}+\frac{15\times 20}{2}-\frac{\pi\times 10^2}{2}\)

\(A=\frac{130\times 45}{2}+\frac{15\times 20}{2}-\frac{\pi\times 100}{2}\)

\(A=2925+150-50\pi\)

\(A=3075-50\pi\) est la valeur exacte de l’aire du champ.

Une valeur approchée est :

\(A\simeq 2\,917{,}92\text{ m}^2\)

L’aire du champ est environ 2 918 m².

Exercice 26 (périmètres 5e corrigé)

On lit sur la figure : la base mesure 9 cm et le côté gauche 6 cm. De plus, en haut à droite, le coin est arrondi par un quart de cercle ; le codage montre que ses deux rayons sont égaux et le côté droit rectiligne mesure 4 cm, donc le rayon est \(6-4=2\) cm. Ensuite, en bas, la base est partagée en trois segments égaux de \(9: 3=3\) cm : le demi-disque enlevé a pour diamètre 3 cm, donc pour rayon 1,5 cm.

Aire. On part du rectangle de 9 cm sur 6 cm, on enlève le carré de 2 cm de côté du coin et on le remplace par le quart de disque, puis on retire le demi-disque.

\(A_{rectangle}=9\times 6=54\text{ cm}^2\) et \(A_{carré}=2\times 2=4\text{ cm}^2\)

\(A_{quart\,de\,disque}=\dfrac{\pi\times 2^2}{4}=\pi\text{ cm}^2\)

\(A_{demi-disque}=\dfrac{\pi\times 1{,}5^2}{2}=1{,}125\pi\text{ cm}^2\)

\(A=54-4+\pi-1{,}125\pi=50-0{,}125\pi\simeq 49{,}61\text{ cm}^2\)

Arrondie au cm², l’aire de la figure est environ 50 cm².

Périmètre. On fait le tour de la figure : côté gauche 6 cm, côté du haut \(9-2=7\) cm, quart de cercle, côté droit 4 cm, deux segments de 3 cm sur la base et le demi-cercle.

\(L_{quart\,de\,cercle}=\dfrac{2\times \pi\times 2}{4}=\pi\text{ cm}\)

\(L_{demi-cercle}=\dfrac{2\times \pi\times 1{,}5}{2}=1{,}5\pi\text{ cm}\)

\(P=6+7+4+3+3+\pi+1{,}5\pi=23+2{,}5\pi\simeq 30{,}85\text{ cm}\)

Arrondi au cm, le périmètre de la figure est environ 31 cm.

Exercice 27 :

Un terrain de football représenté à l’échelle est un rectangle de 23,1 cm de longueur sur 13,6 cm de largeur.

Quelles sont les dimensions réelles de ce terrain de football ?

Ce n’est pas possible de répondre, il faut la valeur de l’échelle…

Exercice 28 (périmètres 5e corrigé)

Effectuer les conversions :

a.  12m² =1 200 dm²         b.  1,32dm² =132 cm²

c. 4,5 cm² =0,00045  m²     d.     8 552m²=0,008 552 km²

Les calculs d’aires sont à maîtriser impérativement par les élèves en 5ème. Ensuite, en effet, ce chapitre leur procure de nouvelles compétences en maths. Par ailleurs, en outre, avec les calculs d’aires et de périmètres en 5ème, vous allez progresser tout au long de l’année scolaire.

Exercice 29 :    Pour prendre un bon départ sur les formules d’aires.

A –   «  L’intrus »  : Sur le quadrillage ci-dessous, on a dessiné six figures.

Sachant que l’unité d’aire est le carreau, calcule l’aire de chacune des 6 figures et trouve ainsi l’intrus .

Après cela, aire de la figure 1 : 9 u.a     ; Aire de la figure 2 : 9 u.a     ; Aire de la figure 3 : 8 u.a  ;

Aire de la figure 4 :9 u.a     ; Aire de la figure 5 : 9 u.a     ; Aire de la figure 6 : 9 u.a    ;

L’intrus est la figure 3.

B –  1°)   Complète:

Aire du rectangle :        Aire  = Lxl     avec     L : la longueur     l : la largeur

Aire du carré :              Aire   = cxc  = c²           avec     c : le côté

2°)   Calcule l’aire des figures suivantes:

Figure 1 :   Aire = 5×8=40 cm².

Figure 2 :   Aire =6,5×9=58,5 m².

Figure 3 :   Aire = 5×5=25 dm².

Complément : revoir les unités d’aire (voir aussi l’exercice 7) (périmètres 5e corrigé)

km²

hm²

dam²

m²

dm²

cm²

mm²

ha

a

ca

1

1 m² = 100 dm² = 10 000cm² = 1 000 000 mm²

1 m² = 0,01 dam² = 0,000 1 hm² = 0,000 001 km²

ca = 1 m²           1 a = 1 dam²             1 ha = 1 hm²

1. Indique une unité appropriée pour exprimer chaque longueur ou chaque aire :

a)      la hauteur de la salle de classe : 3 m  b) l’étendue d’un champ :300 m

c)      la distance Paris – Lyon : 400 km  d)  la superficie d’une table : 6 m²

e)   le périmètre d’un stade : 600 m  f) l’aire d’un confetti : 6 mm²

1. Complète :

360 cm² = 3,6 dm²         1 km² = 1 000 000 m²          10 000 m² = 1 hm².

8 m² = 800 dm ² = 80 000 cm² .

145 cm² = 0,014 5 m² = 14 500 mm²

0,1 dam ² =10 m²  = 0,000 01km²

1. Complète :

15,4 m ² =1 540dm ²	154 km ² =15 400 000 000 dm ²
0,02 cm ² = 2 mm ²	2 024 mm ² = 0,002 024 m ²
3,5 dam ² = 3 500 000 cm ²	6 325 cm ² = 0,6325 m ²
4,9 km ² = 4 900 000 m ²	3 060 mm ² = 30,6 cm ²
2,74 dm ² =274 cm ²	58 830 cm ² = 5,883  m ²
0,68 cm ² =68 mm ²	46 000 m ² =0,046  km ²
1 600 m ² =0,001  6 km ²	172 mm ² = 1,72 cm ²
3 m ² =30 000 cm ²	7,2 mm ² =0,072 cm ²
3 ha =300 a=300×100=30 000 m ²	18 ha = 18×100 a=1 800 a=1 800×100 m²=180 000 m² =1 800 000 000 cm²

Exercice 30 :

En prenant comme unité d’aire le carreau, donne l’aire du rectangle ABCD puis l’aire de chacun des parallélogrammes.

3×4=12                           3×4=12                        3×4=12                            4×3 = 12

Exercice 31 (périmètres 5e corrigé)

La figure ci-dessous est un parallélogramme.

1°  Calculer son aire.

6×3,5=21 cm²

2°   Calculer son périmètre.

2x(4+6)=20 cm

Exercice 32 :

On considère le parallélogramme ci-dessous.

( a  et  d  désignent les hauteurs ) .

Entourer les produits qui expriment l’aire de ce parallélogramme ?

a  \(\times \)   d

c   \(\times \)    d

b   \(\times \)    d

a   \(\times \)   b

a   \(\times \)    c

b   \(\times \)    c

Complément : aire d’un parallélogramme (périmètres 5e corrigé)

Compléter le tableau suivant, où  c   désigne un côté de parallélogramme, h   la hauteur relative à ce côté, et  A   l’aire du parallélogramme:

Calculs : l’aire d’un parallélogramme est \(A=c\times h\). Ligne 1 : \(7{,}3\times 5{,}4=39{,}42\text{ cm}^2\). Après cela, ligne 2 : 2 dam = 20 m, donc \(225\times 20=4\,500\text{ m}^2=45\text{ dam}^2\). Ligne 3 : \(h=11{,}5: 5=2{,}3\text{ m}\). Également, ligne 4 : 15 cm = 0,15 m, donc \(c=4{,}5: 0{,}15=30\text{ m}\).

Exercice 33 :

La surface bleue est formée du carré ABCD et de deux demi-disques de diamètre 5 cm, donc de rayon 2,5 cm.

\(A_{carré}=5\times 5=25\text{ cm}^2\)

Les deux demi-disques de même rayon forment un disque entier :

\(A_{2\,demi-disques}=\pi\times 2{,}5^2=6{,}25\pi\text{ cm}^2\)

\(A=25+6{,}25\pi\simeq 44{,}634\text{ cm}^2\)

Au centième près, l’aire de la surface bleue est environ 44,63 cm².

Exercice 34 (périmètres 5e corrigé)

La surface orange est le rectangle de 6 cm sur 4 cm privé du triangle rectangle blanc.

\(A_{rectangle}=6\times 4=24\text{ cm}^2\)

\(A_{triangle}=\dfrac{3\times 2}{2}=3\text{ cm}^2\)

\(A_{orange}=24-3=21\text{ cm}^2\)

L’aire de la surface orange est 21 cm².

Exercice 35 :

Le diamètre mesure 10 cm, donc le rayon mesure \(10: 2=5\) cm.

\(A=\pi\times r^2=\pi\times 5^2=25\pi\simeq 78{,}539\,8\text{ cm}^2\)

1. À l’unité près : A ≈ 79 cm².
2. Au centième près : A ≈ 78,54 cm².

Exercice 36 :

On exprime toutes les longueurs en millimètres : AE = 2 cm = 20 mm, ED = 1 cm = 10 mm, DC = 12 mm, BC = 23 mm. Par ailleurs, le codage indique que AB = DC, donc AB = 12 mm.

\(P=AB+BC+CD+DE+EA=12+23+12+10+20=77\text{ mm}\)

Le périmètre du polygone ABCDE est 77 mm, soit 7,7 cm.

Exercice 37 :

Les trois cordes font chacune le tour du ring : chaque corde a donc pour longueur le périmètre du carré.

\(73{,}20: 3=24{,}40\text{ m}\) (périmètre du ring)

Le périmètre d’un carré vaut 4 fois son côté :

\(24{,}40: 4=6{,}10\text{ m}\)

Le côté du ring mesure 6,10 m.

Exercice 38 :

L’aire d’un triangle est \(\dfrac{base\times hauteur}{2}\), avec la base et la hauteur relative exprimées dans la même unité (ici le cm). Puis les autres longueurs ne servent pas.

• Triangle ABC : la base [AB] mesure 1,5 dm = 15 cm et la hauteur relative [CH] mesure 100 mm = 10 cm (H est sur la droite (AB), en dehors du triangle). \(A_{ABC}=\dfrac{15\times 10}{2}=75\text{ cm}^2\).
• Triangle KLN : la base [NL] mesure 80 mm = 8 cm et la hauteur [KM] mesure 18 cm. \(A_{KLN}=\dfrac{8\times 18}{2}=72\text{ cm}^2\).
• Triangle DEF : il est rectangle en E, donc [ED] est une hauteur relative au côté [EF]. ED = 1,6 dm = 16 cm et EF = 120 mm = 12 cm. \(A_{DEF}=\dfrac{16\times 12}{2}=96\text{ cm}^2\).

Rangement par ordre croissant : \(A_{KLN}\lt A_{ABC}\lt A_{DEF}\), c’est-à-dire 72 cm² < 75 cm² < 96 cm².

Exercice 39 :

Le codage montre que AD = DB = BE = EC = 1,5 cm, donc AC = 6 cm. Ensuite, le grand cercle a pour centre B et pour rayon 3 cm ; les deux petits demi-cercles ont pour rayon 1,5 cm.

La surface verte est formée de la moitié inférieure du grand disque, à laquelle on ajoute le demi-disque de centre D (au-dessus de [AB]) et dont on retire le demi-disque de centre E (au-dessous de [BC]).

Ces deux petits demi-disques ont le même rayon, donc la même aire : ce qu’on ajoute compense exactement ce qu’on retire. Puis l’aire verte est donc celle d’un demi grand disque :

\(A_{verte}=\dfrac{\pi\times 3^2}{2}=4{,}5\pi\simeq 14{,}137\text{ cm}^2\)

Au centième près, l’aire de la surface verte est environ 14,14 cm².

Exercice 40 :

Les deux quarts de disque ont pour rayon 6 m ; ensemble, ils forment un demi-disque de rayon 6 m. De plus, le rectangle central mesure 3 m de large et 6 m de haut (sa hauteur est égale au rayon).

\(A_{2\,quarts\,de\,disque}=\dfrac{\pi\times 6^2}{2}=18\pi\text{ m}^2\)

\(A_{rectangle}=3\times 6=18\text{ m}^2\)

\(A=18+18\pi\simeq 74{,}549\text{ m}^2\)

Au centième près, la surface de but mesure environ 74,55 m².

Exercice 41 :

a. Le pourtour de la table est formé des deux grands côtés du rectangle (100 cm chacun) et des deux demi-cercles de diamètre 90 cm, qui forment ensemble un cercle entier.

\(L_{cercle}=\pi\times d=\pi\times 90=90\pi\text{ cm}\)

\(P=2\times 100+90\pi=200+90\pi\simeq 482{,}74\text{ cm}\)

À l’unité près, le périmètre de la table est environ 483 cm.

b. \(482{,}74: 60\simeq 8{,}05\). Ensuite, il faut au moins 60 cm par personne : 8 personnes occupent 480 cm, mais 9 personnes demanderaient 540 cm, ce qui dépasse le périmètre. Par ailleurs, on peut installer 8 convives.

Exercice 42 :

D’après le dessin, le quart de cercle a pour rayon 75 cm ; le rectangle du haut mesure 1 m = 100 cm de long et 75 cm de large, celui du bas 75 cm de long et 50 cm de large. Puis la bordure rouge suit le pourtour extérieur : l’arc, le long côté du haut, le petit côté de droite, puis le côté gauche et le côté du bas du second rectangle.

\(L_{arc}=\dfrac{2\times \pi\times 75}{4}=37{,}5\pi\text{ cm}\)

\(L=37{,}5\pi+100+75+50+75=300+37{,}5\pi\simeq 417{,}81\text{ cm}\)

À l’unité près, la bordure mesure environ 418 cm.

Exercice 43 :

On lit le codage : le carré évidé a pour côté 20 cm (un trait), et chaque segment marqué d’un trait mesure aussi 20 cm ; les segments marqués de trois traits mesurent 40 cm.

• Côté du haut : 3 segments de 20 cm, soit 60 cm.
• Côté droit : 40 cm ; côté horizontal intérieur : 40 cm.
• Côté droit de la barre verticale : 40 cm ; côté gauche : 40 + 40 = 80 cm.
• Bas de la barre verticale : \(60-40=20\) cm.

Contour extérieur : \(60+40+40+40+20+80=280\text{ cm}\)

Contour intérieur (le carré) : \(4\times 20=80\text{ cm}\)

\(L=280+80=360\text{ cm}\)

Il faut 360 cm de ruban, soit 3,60 m.

Exercice 44 :

Les points D, A, C, B, E sont alignés et les quatre segments codés mesurent le rayon 2,4 cm, donc \(DE=4\times 2{,}4=9{,}6\) cm.

Triangle DEF : base DE = 9,6 cm et hauteur issue de F égale à 9,6 cm.

\(A_{DEF}=\dfrac{9{,}6\times 9{,}6}{2}=46{,}08\text{ cm}^2\)

Deux demi-disques de rayon 2,4 cm, qui forment un disque entier :

\(A_{disque}=\pi\times 2{,}4^2=5{,}76\pi\simeq 18{,}096\text{ cm}^2\)

\(A=46{,}08+5{,}76\pi\simeq 64{,}176\text{ cm}^2\)

Au centième près, l’aire de la surface jaune est environ 64,18 cm².

Périmètres 5e corrigé : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Ensuite, en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Aire (géométrie) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec priorités opératoires et calculs : corrigé des exercices en 5ème en PDF.