Contrôle de maths sup : équivalents et développements limités

Exercice 1 : Questions de cours (2,5 points)

Calculatrice interdite. Les suites considérées ne s’annulent pas à partir d’un certain rang.

1. Rappelez la définition de \(u_n \sim v_n\). Montrez que si \(u_n \sim v_n\) et \(w_n \sim t_n\), alors \(u_n w_n \sim v_n t_n\) et \(\dfrac{u_n}{w_n} \sim \dfrac{v_n}{t_n}\). (1 point)
2. Donnez un contre-exemple montrant qu’on ne peut pas ajouter des équivalents, puis un contre-exemple montrant que \(u_n \sim v_n\) n’entraîne pas \(e^{u_n} \sim e^{v_n}\). (1 point)
3. Énoncez la formule de Stirling. (0,5 point)

Exercice 2 : Équivalents de suites et de fonctions (3,5 points)

Donnez un équivalent simple de chacune des expressions suivantes.

1. \(u_n = \sqrt{n + 1} – \sqrt{n}\) quand \(n \to +\infty\). (0,5 point)
2. \(v_n = \ln(1 + \sin\dfrac{1}{n})\) quand \(n \to +\infty\). (0,5 point)
3. \(f(x) = \ln(x^2 + x) – 2\ln x\) quand \(x \to +\infty\). Expliquez pourquoi on ne peut pas conclure à partir de \(\ln(x^2 + x) \sim 2\ln x\). (0,5 point)
4. \(w_n = \dbinom{2n}{n}\) quand \(n \to +\infty\). (1 point)
5. \(z_n = (n!)^{1/n}\) quand \(n \to +\infty\). (1 point)

Exercice 3 : Développements limités (4 points)

Déterminez les développements limités suivants au voisinage de 0.

1. \(\dfrac{e^x}{1 + x}\) à l’ordre 3. (1 point)
2. \(\tan x\) à l’ordre 5. (1 point)
3. \(\ln(\cos x)\) à l’ordre 4. (1 point)
4. Déduisez d’un développement limité la limite en 0 de \(\dfrac{1}{\sin^2 x} – \dfrac{1}{x^2}\). (1 point)

Exercice 4 : Calculs de limites (2,5 points)

1. Déterminez la limite de la suite \(a_n = (1 + \dfrac{1}{n})^{n^2} e^{-n}\). (1 point)
2. Déterminez \(\lim\limits_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}\). (0,5 point)
3. Déterminez \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\tan x – x}{x – \sin x}\). (1 point)

Exercice 5 : Asymptote et position d’une courbe (3,5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = (x + 1)\, e^{1/x}\), et \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative.

1. Montrez qu’au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\), \(f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{2x} + o(\dfrac{1}{x})\). (1,5 point)
2. Déduisez-en que \(\mathcal{C}\) admet une asymptote oblique \(\Delta\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), et précisez la position de \(\mathcal{C}\) par rapport à \(\Delta\) de chaque côté. (1 point)
3. Soit \(g(x) = \ln(1 + x + x^2)\). Déterminez le développement limité de \(g\) à l’ordre 3 en 0. Donnez l’équation de la tangente en 0 et la position locale de la courbe de \(g\) par rapport à cette tangente. (1 point)

Exercice 6 : Problème : les solutions de tan x = x (4 points)

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on note \(I_n = ]n\pi – \frac{\pi}{2}, n\pi + \frac{\pi}{2}[\). La figure représente les courbes d’équations \(y = \tan x\) et \(y = x\).

1. Montrez que l’équation \(\tan x = x\) admet une unique solution \(x_n\) dans \(I_n\). (1 point)
2. Montrez que \(x_n \in ]n\pi, n\pi + \frac{\pi}{2}[\) et déduisez-en un équivalent de \(x_n\). (0,5 point)
3. On pose \(y_n = x_n – n\pi\). Montrez que \(y_n\) tend vers \(\frac{\pi}{2}\), c’est-à-dire \(x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} + o(1)\). (1 point)
4. On pose \(z_n = \frac{\pi}{2} – y_n\). Montrez que \(\tan z_n = \dfrac{1}{x_n}\), puis établissez le développement asymptotique \(x_n = n\pi + \dfrac{\pi}{2} – \dfrac{1}{n\pi} + \dfrac{1}{2\pi n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : équivalents et développements limités

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Relations de comparaison » en maths sup et « Développements limités » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés relations de comparaison, développements limités.

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