Ce QCM vérifie la maîtrise des théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites en L3, de l’espace tangent aux sous-variétés et de la recherche d’extrema liés par les multiplicateurs de Lagrange. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Inversion locale, fonctions implicites et extrema liés du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Inversion locale et extrema liés - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour \(f : U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) de classe \(C^1\), quelle hypothèse en \(a\) permet d’appliquer le théorème d’inversion locale ?
A\(f\) est injective au voisinage de \(a\)
B\(df(a)\) est non nulle
C\(df(a)\) est inversible
D\(f\) est une bijection de \(U\) sur \(f(U)\)
Question 2
Que dire de \(f(x,y) = (e^x\cos y,\ e^x\sin y)\) de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) ?
AC’est un difféomorphisme global de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\)
BC’est un difféomorphisme local sauf en \((0,0)\)
CCe n’est un difféomorphisme local en aucun point
DC’est un difféomorphisme local en tout point, mais pas un difféomorphisme global
Question 3
Une application \(f : U\to\mathbb{R}^n\) de classe \(C^1\) sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(U\) sur \(f(U)\) dès que :
A\(f\) est continue et bijective de \(U\) sur \(f(U)\)
B\(df(x)\) est inversible pour tout \(x\in U\)
C\(f\) est injective et \(df(x)\) est inversible pour tout \(x\in U\)
D\(f\) est injective sur \(U\)
Question 4
L’équation \(x^2 + xy + y^2 = 3\) définit \(y = \varphi(x)\) au voisinage de \((1,1)\). Que vaut \(\varphi'(1)\) ?
A\(-3\)
B\(1\)
C\(-1\)
D\(-\frac12\)
Question 5
Pour \(F(x,y) = y^2 - x\) au point \((0,0)\), que permet le théorème des fonctions implicites ?
ANi exprimer \(y\) en fonction de \(x\), ni \(x\) en fonction de \(y\)
BExprimer \(y\) en fonction de \(x\) : \(y = \sqrt{x}\)
CExprimer \(y\) en fonction de \(x\), car \(\partial_xF(0,0)\neq 0\)
DExprimer \(x\) en fonction de \(y\), mais pas \(y\) en fonction de \(x\), car \(\partial_yF(0,0) = 0\)
Question 6
Soit \(M = \{x : g(x) = 0\}\) avec \(g : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p\) de classe \(C^1\) et \(dg(a)\) surjective en \(a\in M\). Quel est l’espace tangent à \(M\) en \(a\) ?
Quelle est la nature du point critique \((0,0)\) de \(f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2\) ?
AUn point col (ni minimum ni maximum local)
BUn maximum local strict
COn ne peut pas conclure à l’ordre \(2\)
DUn minimum local strict
Question 10
Soit \(f : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) convexe et différentiable, et \(a\) tel que \(df(a) = 0\). Que peut-on affirmer ?
A\(a\) est l’unique point où \(f\) atteint son minimum
B\(a\) est un minimum global de \(f\)
COn ne peut rien dire sans étudier la hessienne
D\(a\) est seulement un minimum local de \(f\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de inversion locale et extrema liés en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les hypothèses exactes de l’inversion locale et de l’inversion globale ;
le théorème des fonctions implicites et le calcul de la dérivée de la fonction implicite ;
l’espace tangent à une sous-variété définie par une équation ;
les multiplicateurs de Lagrange pour les extrema liés ;
la nature d’un point critique par la hessienne, et la minimisation convexe.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure qu’une application dont la différentielle est inversible en tout point est un difféomorphisme global. Il faut aussi l’injectivité : \((x,y)\mapsto (e^x\cos y, e^x\sin y)\) a un jacobien \(e^{2x}\neq 0\) partout, mais elle est \(2\pi\)-périodique en \(y\).
Comment réviser avant de refaire le test
Dans un problème d’extrema liés, commencez par vérifier que la contrainte est régulière (gradient non nul sur l’ensemble), puis que l’ensemble est compact pour garantir l’existence des extrema, et seulement ensuite écrivez les équations de Lagrange. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pour résoudre \(f(x) = y\) près de \(a\), on cherche un point fixe de \(x\mapsto x + df(a)^{-1}(y – f(x))\), qui est contractante au voisinage de \(a\) grâce à la continuité de \(df\). Banach-Picard donne existence et unicité locales.
Les multiplicateurs de Lagrange donnent-ils forcément des extrema ?
Non : ils donnent une condition nécessaire. Les points trouvés sont des candidats ; il faut conclure par compacité, par comparaison des valeurs ou par une étude du second ordre.
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