Corrigé du brevet de maths 2023 en France (septembre)

Corrigé du sujet (corrigé France 2023)

Exercice 1 :

1. Réponse B. On vérifie chaque proposition : \(84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21\), donc 2, 3 et 4 divisent bien 84. Puis dans la réponse A, 168 et 252 sont des multiples de 84 (et non des diviseurs) ; dans la réponse C, 5 ne divise pas 84 puisque 84 ne se termine ni par 0 ni par 5.

2. Réponse B. Quand toutes les longueurs d’un solide sont multipliées par \(k\), son volume est multiplié par \(k^3\). Ici \(k = 2\), donc le volume est multiplié par \(2^3 = 8\).

3. Réponse C. On remplace \(x\) par \(-2\) en gardant les parenthèses : \((-2)^2 + 3 \times (-2) – 5 = 4 – 6 – 5 = -7\).

4. Réponse A. Les huit boules ont la même chance d’être tirées. Puis les multiples de 2 entre 1 et 8 sont 2, 4, 6 et 8 : il y a 4 issues favorables sur 8, d’où une probabilité de \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).

5. Réponse A. Le triangle DEF est de l’autre côté du centre O par rapport au triangle ABC : le rapport est donc négatif. De plus DEF est plus grand que ABC, et l’on voit sur la figure que OD est le double de OA : le rapport vaut \(-2\).

Exercice 2 (corrigé France 2023)

1. Pour tracer le losange, le lutin trace un côté de 50 pas, tourne de 60°, trace un deuxième côté, puis tourne de 120° : il a dessiné la moitié du losange et se retrouve orienté comme au départ, mais au sommet opposé. De plus, il suffit donc de répéter ce motif 2 fois. Comme les quatre côtés d’un losange ont la même longueur, le deuxième « avancer » est aussi de 50 pas. De plus, les lignes complétées sont :

3  répéter 2 fois
6  avancer de 50 pas

On peut vérifier : sur les deux passages, le lutin tourne au total de \(2 \times (60° + 120°) = 360°\), il revient donc à son point de départ avec la même orientation.

2. Le bloc « losange » ramène le lutin à son point de départ. Ensuite, ce qui fait la différence entre les scripts, ce sont les déplacements entre deux losanges (le stylo étant relevé à la fin du bloc, ces déplacements ne laissent pas de trace).

Script 1 : le lutin avance de 50 pas, soit exactement la longueur d’un côté ; les losanges se touchent. Après cela, script 1 → figure C.

Script 2 : il avance de 100 pas, soit deux côtés ; il reste un espace entre deux losanges. Après cela, script 2 → figure A.

Script 3 : il avance de 50 pas puis monte de 30 pas ; les losanges forment un escalier. Puis, script 3 → figure B.

Exercice 2 (corrigé France 2023) (suite)

3. La rosace est obtenue en traçant six fois le même losange à partir du point C, en tournant de 60° vers la droite entre deux tracés. Ensuite, le losange EDCF a pour image le losange ABCD par la rotation de centre C, d’angle 60°, dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire) : cette rotation envoie E sur A, D sur B, C sur lui-même et F sur D.

Exercice 3 :

1. a. Avec le tarif A, chaque entrée coûte 5,90 € : \(10 \times 5{,}90 = 59\). Par ailleurs, le prix de 10 entrées est de 59 €.

b. Avec le tarif B, on paie la carte puis les entrées : \(30 + 10 \times 4{,}40 = 30 + 44 = 74\). Par ailleurs, le prix de 10 entrées est de 74 €.

2. Pour \(x\) entrées, on paie \(5{,}90\) € par entrée au tarif A, et au tarif B on ajoute les 30 € de la carte à \(4{,}40\) € par entrée : \(f(x) = 5{,}9x\) et \(g(x) = 4{,}4x + 30\).

3. a. Puis on regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :

\[5{,}90x – 4{,}40x = 30\]

\[1{,}5x = 30\]

\[x = \dfrac{30}{1{,}5} = 20\]

L’équation a une seule solution : \(x = 20\).

b. Puis les deux tarifs coûtent la même somme lorsque \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire lorsque \(5{,}90x = 4{,}40x + 30\). D’après la question a, cela se produit pour 20 entrées (le prix est alors \(5{,}9 \times 20 = 118\) € avec chacun des deux tarifs).

4. a. Ensuite, on additionne les douze effectifs mensuels puis on divise par 12 :

\[\dfrac{12\,500 + 13\,700 + 10\,400 + 13\,600 + 12\,300 + 11\,700 + 10\,400 + 11\,600 + 10\,200 + 13\,800 + 12\,600 + 11\,800}{12} = \dfrac{144\,600}{12} = 12\,050\]

La piscine reçoit en moyenne 12 050 entrées par mois.

b. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : le maximum est 13 800 (octobre) et le minimum 10 200 (septembre). \(13\,800 – 10\,200 = 3\,600\). L’étendue est de 3 600 entrées.

5. Le volume d’un pavé droit est le produit longueur × largeur × hauteur : \(50 \times 25 \times 3 = 3\,750\). Ensuite, la vidange évacue 3 750 m³ d’eau.

Exercice 4 (corrigé France 2023)

1. a. Puis les enfants ont entre 6 et 10 ans, ils bénéficient donc du tarif enfant. Au tarif individuel, l’aller-retour coûte 10 € par adulte et 8 € par enfant : \(12 \times 10 + 8 \times 8 = 120 + 64 = 184\). Puis le groupe paierait 184 €.

b. De plus, le groupe compte \(12 + 8 = 20\) personnes : il a droit au tarif de groupe. De plus, l’aller-retour coûte alors 8,50 € par adulte et 7 € par enfant : \(12 \times 8{,}50 + 8 \times 7 = 102 + 56 = 158\). Ensuite, le groupe paie 158 €.

c. L’économie réalisée est de \(184 – 158 = 26\) €. On la rapporte au prix de départ (le tarif individuel) : \(\dfrac{26}{184} \approx 0{,}1413\). Par ailleurs, la réduction est d’environ 14,1 %.

2. On convertit la durée en secondes : 8 min 45 s = \(8 \times 60 + 45 = 525\) s. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(v = \dfrac{448{,}5}{525} \approx 0{,}854\). Au centième près, la vitesse moyenne est d’environ 0,85 m/s.

3. Une pente de 25 % signifie que \(\dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\). Avec BC = 50 m : \(\dfrac{50}{\text{AC}} = 0{,}25\), donc \(\text{AC} = \dfrac{50}{0{,}25} = 200\). Puis la longueur horizontale AC mesure 200 m.

Exercice 5 :

1. Le point M appartient au segment [AB], donc \(\text{AB} = \text{AM} + \text{MB} = 2{,}7 + 2{,}5 = 5{,}2\). On a AB = 5,2 cm.

2. Le triangle ABH est rectangle en H (codage de l’angle droit) et son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AB}^2 = \text{AH}^2 + \text{BH}^2\]

\[\text{AH}^2 = 5{,}2^2 – 2^2 = 27{,}04 – 4 = 23{,}04\]

Une longueur étant positive, \(\text{AH} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). Ensuite, on retrouve bien AH = 4,8 cm.

3. Dans le triangle ACH rectangle en H, on connaît l’hypoténuse AC et le côté AH, opposé à l’angle \(\widehat{\text{ACH}}\). On utilise donc le sinus :

\[\sin \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AC}} = \dfrac{4{,}8}{8{,}5} \approx 0{,}5647\]

La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\) ou arcsin) donne \(\widehat{\text{ACH}} \approx 34{,}4°\), soit 34° au degré près.

4. Dans le même triangle ACH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :

\[\text{HC}^2 = \text{AC}^2 – \text{AH}^2 = 8{,}5^2 – 4{,}8^2 = 72{,}25 – 23{,}04 = 49{,}21\]

donc \(\text{HC} = \sqrt{49{,}21} \approx 7{,}01\). Au centimètre près, HC ≈ 7 cm. (On obtient le même arrondi avec le cosinus : \(\text{HC} = 8{,}5 \times \cos 34° \approx 7{,}05\).)

5. Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}\quad\text{soit}\quad \dfrac{2{,}7}{5{,}2} = \dfrac{\text{AN}}{8{,}5}\]

\[\text{AN} = \dfrac{2{,}7 \times 8{,}5}{5{,}2} = \dfrac{22{,}95}{5{,}2} \approx 4{,}41\]

AN mesure environ 4,4 cm, ce qui est plus que 4 cm : l’élève a tort.

6. Le triangle AHC est rectangle en H : ses côtés de l’angle droit [AH] et [HC] jouent le rôle de base et de hauteur. Son aire vaut :

\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AH} \times \text{HC}}{2} = \dfrac{4{,}8 \times \sqrt{49{,}21}}{2} \approx 16{,}8\]

L’aire du triangle AHC est d’environ 16,8 cm² (on trouve exactement 16,8 cm² en prenant la valeur arrondie HC = 7 cm, et environ 16,84 cm² avec la valeur exacte).

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Bien travailler avec corrigé France 2023

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, corrigé France 2023 demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2016 en Asie-Pacifique.