Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Réponse B. On vérifie chaque proposition : \(84 = 2 \times 42 = 3 \times 28 = 4 \times 21\), donc 2, 3 et 4 divisent bien 84. Dans la réponse A, 168 et 252 sont des multiples de 84 (et non des diviseurs) ; dans la réponse C, 5 ne divise pas 84 puisque 84 ne se termine ni par 0 ni par 5.
2. Réponse B. Quand toutes les longueurs d’un solide sont multipliées par \(k\), son volume est multiplié par \(k^3\). Ici \(k = 2\), donc le volume est multiplié par \(2^3 = 8\).
3. Réponse C. On remplace \(x\) par \(-2\) en gardant les parenthèses : \((-2)^2 + 3 \times (-2) – 5 = 4 – 6 – 5 = -7\).
4. Réponse A. Les huit boules ont la même chance d’être tirées. Les multiples de 2 entre 1 et 8 sont 2, 4, 6 et 8 : il y a 4 issues favorables sur 8, d’où une probabilité de \(\dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).
5. Réponse A. Le triangle DEF est de l’autre côté du centre O par rapport au triangle ABC : le rapport est donc négatif. De plus DEF est plus grand que ABC, et l’on voit sur la figure que OD est le double de OA : le rapport vaut \(-2\).
Exercice 2 :
1. Pour tracer le losange, le lutin trace un côté de 50 pas, tourne de 60°, trace un deuxième côté, puis tourne de 120° : il a dessiné la moitié du losange et se retrouve orienté comme au départ, mais au sommet opposé. Il suffit donc de répéter ce motif 2 fois. Comme les quatre côtés d’un losange ont la même longueur, le deuxième « avancer » est aussi de 50 pas. Les lignes complétées sont :
3 répéter 2 fois 6 avancer de 50 pas
On peut vérifier : sur les deux passages, le lutin tourne au total de \(2 \times (60° + 120°) = 360°\), il revient donc à son point de départ avec la même orientation.
2. Le bloc « losange » ramène le lutin à son point de départ. Ce qui fait la différence entre les scripts, ce sont les déplacements entre deux losanges (le stylo étant relevé à la fin du bloc, ces déplacements ne laissent pas de trace).
Script 1 : le lutin avance de 50 pas, soit exactement la longueur d’un côté ; les losanges se touchent. Script 1 → figure C.
Script 2 : il avance de 100 pas, soit deux côtés ; il reste un espace entre deux losanges. Script 2 → figure A.
Script 3 : il avance de 50 pas puis monte de 30 pas ; les losanges forment un escalier. Script 3 → figure B.
3. La rosace est obtenue en traçant six fois le même losange à partir du point C, en tournant de 60° vers la droite entre deux tracés. Le losange EDCF a pour image le losange ABCD par la rotation de centre C, d’angle 60°, dans le sens des aiguilles d’une montre (sens horaire) : cette rotation envoie E sur A, D sur B, C sur lui-même et F sur D.
Exercice 3 :
1. a. Avec le tarif A, chaque entrée coûte 5,90 € : \(10 \times 5{,}90 = 59\). Le prix de 10 entrées est de 59 €.
b. Avec le tarif B, on paie la carte puis les entrées : \(30 + 10 \times 4{,}40 = 30 + 44 = 74\). Le prix de 10 entrées est de 74 €.
2. Pour \(x\) entrées, on paie \(5{,}90\) € par entrée au tarif A, et au tarif B on ajoute les 30 € de la carte à \(4{,}40\) € par entrée : \(f(x) = 5{,}9x\) et \(g(x) = 4{,}4x + 30\).
3. a. On regroupe les termes en \(x\) dans le membre de gauche :
\[5{,}90x – 4{,}40x = 30\]
\[1{,}5x = 30\]
\[x = \dfrac{30}{1{,}5} = 20\]
L’équation a une seule solution : \(x = 20\).
b. Les deux tarifs coûtent la même somme lorsque \(f(x) = g(x)\), c’est-à-dire lorsque \(5{,}90x = 4{,}40x + 30\). D’après la question a, cela se produit pour 20 entrées (le prix est alors \(5{,}9 \times 20 = 118\) € avec chacun des deux tarifs).
4. a. On additionne les douze effectifs mensuels puis on divise par 12 :
\[\dfrac{12\,500 + 13\,700 + 10\,400 + 13\,600 + 12\,300 + 11\,700 + 10\,400 + 11\,600 + 10\,200 + 13\,800 + 12\,600 + 11\,800}{12} = \dfrac{144\,600}{12} = 12\,050\]
La piscine reçoit en moyenne 12 050 entrées par mois.
b. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : le maximum est 13 800 (octobre) et le minimum 10 200 (septembre). \(13\,800 – 10\,200 = 3\,600\). L’étendue est de 3 600 entrées.
5. Le volume d’un pavé droit est le produit longueur × largeur × hauteur : \(50 \times 25 \times 3 = 3\,750\). La vidange évacue 3 750 m³ d’eau.
Exercice 4 :
1. a. Les enfants ont entre 6 et 10 ans, ils bénéficient donc du tarif enfant. Au tarif individuel, l’aller-retour coûte 10 € par adulte et 8 € par enfant : \(12 \times 10 + 8 \times 8 = 120 + 64 = 184\). Le groupe paierait 184 €.
b. Le groupe compte \(12 + 8 = 20\) personnes : il a droit au tarif de groupe. L’aller-retour coûte alors 8,50 € par adulte et 7 € par enfant : \(12 \times 8{,}50 + 8 \times 7 = 102 + 56 = 158\). Le groupe paie 158 €.
c. L’économie réalisée est de \(184 – 158 = 26\) €. On la rapporte au prix de départ (le tarif individuel) : \(\dfrac{26}{184} \approx 0{,}1413\). La réduction est d’environ 14,1 %.
2. On convertit la durée en secondes : 8 min 45 s = \(8 \times 60 + 45 = 525\) s. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \(v = \dfrac{448{,}5}{525} \approx 0{,}854\). Au centième près, la vitesse moyenne est d’environ 0,85 m/s.
3. Une pente de 25 % signifie que \(\dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} = \dfrac{25}{100} = 0{,}25\). Avec BC = 50 m : \(\dfrac{50}{\text{AC}} = 0{,}25\), donc \(\text{AC} = \dfrac{50}{0{,}25} = 200\). La longueur horizontale AC mesure 200 m.
Exercice 5 :
1. Le point M appartient au segment [AB], donc \(\text{AB} = \text{AM} + \text{MB} = 2{,}7 + 2{,}5 = 5{,}2\). On a AB = 5,2 cm.
2. Le triangle ABH est rectangle en H (codage de l’angle droit) et son hypoténuse est [AB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AB}^2 = \text{AH}^2 + \text{BH}^2\]
\[\text{AH}^2 = 5{,}2^2 – 2^2 = 27{,}04 – 4 = 23{,}04\]
Une longueur étant positive, \(\text{AH} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). On retrouve bien AH = 4,8 cm.
3. Dans le triangle ACH rectangle en H, on connaît l’hypoténuse AC et le côté AH, opposé à l’angle \(\widehat{\text{ACH}}\). On utilise donc le sinus :
\[\sin \widehat{\text{ACH}} = \dfrac{\text{AH}}{\text{AC}} = \dfrac{4{,}8}{8{,}5} \approx 0{,}5647\]
La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\) ou arcsin) donne \(\widehat{\text{ACH}} \approx 34{,}4°\), soit 34° au degré près.
4. Dans le même triangle ACH rectangle en H, le théorème de Pythagore donne :
\[\text{HC}^2 = \text{AC}^2 – \text{AH}^2 = 8{,}5^2 – 4{,}8^2 = 72{,}25 – 23{,}04 = 49{,}21\]
donc \(\text{HC} = \sqrt{49{,}21} \approx 7{,}01\). Au centimètre près, HC ≈ 7 cm. (On obtient le même arrondi avec le cosinus : \(\text{HC} = 8{,}5 \times \cos 34° \approx 7{,}05\).)
5. Les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}\quad\text{soit}\quad \dfrac{2{,}7}{5{,}2} = \dfrac{\text{AN}}{8{,}5}\]
\[\text{AN} = \dfrac{2{,}7 \times 8{,}5}{5{,}2} = \dfrac{22{,}95}{5{,}2} \approx 4{,}41\]
AN mesure environ 4,4 cm, ce qui est plus que 4 cm : l’élève a tort.
6. Le triangle AHC est rectangle en H : ses côtés de l’angle droit [AH] et [HC] jouent le rôle de base et de hauteur. Son aire vaut :
\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AH} \times \text{HC}}{2} = \dfrac{4{,}8 \times \sqrt{49{,}21}}{2} \approx 16{,}8\]
L’aire du triangle AHC est d’environ 16,8 cm² (on trouve exactement 16,8 cm² en prenant la valeur arrondie HC = 7 cm, et environ 16,84 cm² avec la valeur exacte).
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