Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Affirmation 1. Un nombre est multiple de 12 s’il s’écrit \(12 \times k\) avec \(k\) entier. Or \(72 = 12 \times 6\) et \(72 = 18 \times 4\) : 72 est à la fois dans la table de 12 et dans celle de 18. L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2. Une égalité annoncée « pour tout nombre » tombe dès qu’on trouve un seul contre-exemple. Prenons \(n = 10\) : d’un côté \((10-5)^2 = 5^2 = 25\), de l’autre \(10^2 – 5^2 = 100 – 25 = 75\). Comme \(25 \neq 75\), l’égalité est fausse. On peut d’ailleurs développer avec l’identité remarquable : \((n-5)^2 = n^2 – 10n + 25\), qui n’est pas \(n^2 – 25\). L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3. Chercher l’antécédent de 6, c’est résoudre l’équation \(f(x) = 6\), c’est-à-dire \(2x + 5 = 6\). On retranche 5 : \(2x = 1\), puis on divise par 2 : \(x = \dfrac{1}{2}\). Vérification : \(f(\dfrac{1}{2}) = 2 \times \dfrac{1}{2} + 5 = 1 + 5 = 6\). L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4. La moyenne est la somme des six températures divisée par 6 : \[\dfrac{5 + 7 + 11 + 8 + 5 + 6}{6} = \dfrac{42}{6} = 7.\] La moyenne vaut 7 °C et non 6,5 °C. L’affirmation 4 est fausse.
Affirmation 5. Le triangle ABC est rectangle en B, son hypoténuse est donc [AC]. D’après le théorème de Pythagore : \[\text{AC}^2 = \text{BA}^2 + \text{BC}^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225.\] Donc \(\text{AC} = \sqrt{225} = 15\) cm. L’affirmation 5 est vraie.
Affirmation 6. Les points B, D, A d’une part et B, E, C d’autre part sont alignés dans le même ordre. On compare les rapports : \[\dfrac{\text{BD}}{\text{BA}} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \quad \text{et} \quad \dfrac{\text{BE}}{\text{BC}} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}.\] Les deux rapports sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (DE) et (AC) sont parallèles. L’affirmation 6 est vraie.
Exercice 2 :
1. a. La courbe de la mère (pointillés rouges) atteint 10 km, c’est-à-dire l’arrivée, à l’abscisse 2. La mère met 2 heures pour rentrer chez elle.
b. La vitesse moyenne est la distance divisée par la durée : \[v = \dfrac{10\ \text{km}}{2\ \text{h}} = 5\ \text{km/h}.\] La mère marche à 5 km/h en moyenne.
c. La représentation graphique de la distance parcourue par la mère en fonction du temps est une droite qui passe par l’origine du repère. Oui, la distance parcourue par la mère est proportionnelle au temps.
2. a. La pause correspond au palier horizontal de la courbe bleue : la distance reste à 3 km entre 0,25 h et 0,75 h. Sa durée est \(0{,}75 – 0{,}25 = 0{,}5\) h. La pause dure 30 minutes.
b. Avant la pause, la fille parcourt 3 km en 0,25 h, soit un quart d’heure. Sa vitesse est \(\dfrac{3}{0{,}25} = 12\) km/h.
Après la pause, elle doit encore parcourir \(10 – 3 = 7\) km. Sa course entière dure de 16 h à 17 h 50, soit 1 h 50 min. Elle a déjà passé 15 min à courir et 30 min en pause, soit 45 min ; il reste donc \(110 – 45 = 65\) min pour les 7 derniers kilomètres. En 65 min, c’est-à-dire plus d’une heure, elle fait moins de 12 km : précisément sa vitesse vaut \(\dfrac{7}{65} \times 60 \approx 6{,}5\) km/h, bien moins que 12 km/h. On le voit aussi sur le graphique : le segment bleu d’avant la pause est plus pentu que celui d’après. La fille a couru plus vite avant sa pause.
3. Être au même endroit au même moment revient à avoir la même distance parcourue au même temps : il faut compter les points d’intersection des deux courbes. En dehors du point de départ commun (l’origine), la courbe bleue coupe la droite rouge une première fois pendant la pause de la fille (à 3 km, vers 0,6 h : la mère la rattrape), puis une seconde fois vers 1,25 h, un peu au-dessus de 6 km, quand la fille dépasse sa mère. Au cours du trajet, elles se sont retrouvées 2 fois au même endroit au même moment (sans compter le départ, où elles sont évidemment ensemble).
4. La distance est proportionnelle au temps avec une vitesse de 5 km/h, donc \(f(x) = 5x\). On peut contrôler : \(f(2) = 5 \times 2 = 10\), ce qui correspond bien aux 10 km parcourus en 2 h. L’expression à recopier est \(f(x) = 5x\).
Exercice 3 :
1. Sur le site A, aucun maillot n’est offert : il faut payer les 350 maillots à 12 € pièce. \[350 \times 12 = 4\,200.\] La commande sur le site A coûte 4 200 €.
2. a. Le tableur montre qu’on reçoit 330 maillots pour 3 900 € (colonne G) et 380 maillots pour 4 550 € (colonne H). Pour recevoir 350 maillots, nombre compris entre 330 et 380, il faut payer entre 300 et 350 maillots, donc la dépense sera comprise entre 3 900 € et 4 550 €. La question 3 confirme d’ailleurs le montant exact, 4 160 €. L’affirmation du trésorier est vraie.
b. Le nombre total de maillots reçus est la somme des maillots payés (ligne 1) et des maillots offerts (ligne 2). On a pu saisir en B3 la formule =B1+B2, qui devient =C1+C2, =D1+D2… quand on l’étire vers la droite.
c. Calculons le prix par maillot reçu dans deux colonnes : \(\dfrac{650}{50} = 13\) € et \(\dfrac{1\,300}{110} \approx 11{,}82\) €. Ces quotients ne sont pas égaux, le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. Le coût total n’est pas proportionnel au nombre de maillots reçus.
3. Sur le site B, la promotion donne 10 maillots par centaine achetée. Si on paie 320 maillots, cela contient 3 centaines complètes : on reçoit 30 maillots offerts, soit \(320 + 30 = 350\) maillots, exactement ce que veut le club (avec 319 maillots payés, on n’en recevrait que 349). Le coût est alors \[320 \times 13 = 4\,160\ \text{€}.\] Comme \(4\,160 \lt 4\,200\), le club doit commander sur le site B, où il paiera 4 160 € au lieu de 4 200 €.
4. Le ratio 5 : 2 signifie que sur \(5 + 2 = 7\) parts égales, 5 sont noires et 2 sont rouges. Une part vaut \(\dfrac{350}{7} = 50\) maillots. Il faut donc \(5 \times 50 = 250\) maillots noirs et \(2 \times 50 = 100\) maillots rouges (et \(250 + 100 = 350\)). Le club commande 250 maillots noirs et 100 maillots rouges.
5. Les 7 cartons sont indiscernables, on est donc dans une situation d’équiprobabilité : chaque carton a la même chance d’être ouvert. Parmi les \(4 + 3 = 7\) cartons, 3 contiennent des gourdes bleues. La probabilité cherchée est \(\dfrac{3}{7}\).
Exercice 4 :
1. Le bloc Carré trace un carré de côté 50 en tournant à gauche : partant vers la droite, le lutin trace donc un carré situé au-dessus de son point de départ et revient à ce point, orienté vers la droite. Le script principal répète 4 fois : un carré, puis un déplacement de 50 vers la droite (stylo relevé). On obtient quatre carrés de côté 50 posés côte à côte, formant un rectangle de 200 sur 50. À l’échelle 1 cm pour 25 unités, chaque carré mesure \(50 : 25 = 2\) cm de côté : il faut construire un rectangle de 8 cm sur 2 cm partagé en quatre carrés de 2 cm de côté par trois segments verticaux.
2. Avec le script A, on trace 3 carrés de côté 50 en décalant le point de départ de 25 seulement à chaque fois : les carrés se chevauchent de moitié. L’ensemble occupe une longueur de \(50 + 25 + 25 = 100\) pour une hauteur de 50, et des traits verticaux apparaissent tous les 25 : c’est un rectangle deux fois plus long que haut découpé en quatre bandes, donc la figure 2.
Avec le script B, le lutin reste au point de départ et tourne de 90° vers la gauche après chaque carré : les quatre carrés sont tracés autour du même sommet, dans les quatre directions, et forment un grand carré découpé en quatre. C’est la figure 1.
3. La rosace est formée de 8 petits carrés ayant tous pour sommet le centre de la figure, et deux carrés voisins se déduisent l’un de l’autre par une rotation de \(360 : 8 = 45\) degrés autour de ce centre. Il faut donc répéter 8 fois le bloc Carré en tournant de 45° entre deux carrés :
Ligne 5 : répéter 8 fois Ligne 7 : tourner ↺ de 45 degrés
Le script principal complet devient :
quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
aller à x: 0 y: 0
s'orienter à 90
répéter 8 fois
Carré
tourner ↺ de 45 degrés
(Tourner de 45 degrés vers la droite donne exactement la même figure.)
Exercice 5 :
1. a. Comme les cartons sont remplis sans espace vide, on compte combien de cubes de 6 cm tiennent dans chaque dimension : dans la largeur \(60 : 6 = 10\) cubes, dans la hauteur \(36 : 6 = 6\) cubes et dans la profondeur \(36 : 6 = 6\) cubes. Le nombre de cubes est donc \(10 \times 6 \times 6 = 360\). Chaque carton contient bien 360 cubes.
b. Un cube a pour volume \(6^3 = 216\ \text{cm}^3\), donc la cire d’un carton occupe \(360 \times 216 = 77\,760\ \text{cm}^3\) (c’est aussi le volume du carton, \(60 \times 36 \times 36\)). La masse volumique indique que 1 cm³ de cire pèse 0,95 g, d’où une masse de \[77\,760 \times 0{,}95 = 73\,872\ \text{g} = 73{,}872\ \text{kg}.\] Un carton contient environ 74 kg de cire d’abeille.
2. a. La bougie a un diamètre de 6 cm, donc un rayon \(r = 3\) cm, et une hauteur \(h = 6\) cm : \[V = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi \approx 169{,}6\ \text{cm}^3.\] Le volume d’une bougie est bien d’environ 170 cm³.
b. Pour chaque cube découpé, la cire perdue est la différence entre le volume du cube et celui de la bougie : \(216 – 54\pi \approx 46{,}4\ \text{cm}^3\) (environ 46 cm³ en prenant 170 cm³ pour la bougie). Pour reconstituer un cube, il faut récupérer 216 cm³ de cire : \[\dfrac{216}{46{,}4} \approx 4{,}7.\] Avec 4 cubes découpés, on ne récupère qu’environ \(4 \times 46{,}4 \approx 185{,}4\) cm³, ce qui ne suffit pas ; avec 5 cubes, on récupère environ 232 cm³, ce qui suffit. Il faut découper 5 cubes au départ.
3. Vendre 20 % plus cher, c’est multiplier le prix d’achat par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\). Si \(p\) désigne le prix payé à l’usine, on a \(p \times 1{,}2 = 9{,}60\), donc \[p = \dfrac{9{,}60}{1{,}2} = 8.\] Vérification : \(8 + 0{,}2 \times 8 = 8 + 1{,}60 = 9{,}60\). Le commerçant paie 8 € par bougie à l’usine.
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