Voici le corrigé du brevet de maths 2021 en Amérique du Nord, premier sujet de la session 2021 et premier brevet passé après la crise sanitaire. L’épreuve compte cinq exercices assez courts. Par ailleurs, le premier enchaîne six affirmations à justifier : image par une fonction affine, développement d’un produit, nombre premier, fréquences, tangente d’un angle et théorème de Pythagore. Puis le deuxième demande de lire un graphique distance-temps de triathlon et de comparer des vitesses. Ensuite, le troisième porte sur une étoile de huit carrés et les transformations : symétrie axiale, symétrie centrale et rotation. Puis le quatrième, original, propose un algorithme sans Scratch qui colorie une grille de neuf cases.
Enfin, le dernier est une tâche complexe sur la rénovation d’une salle de bain : aires de rectangles, nombre de rouleaux de papier peint, prix et pourcentage de réduction. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
De plus, L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Amérique du Nord 2021 maths : sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet (corrigé Nord 2021)
Exercice 1 :
Six affirmations à justifier : fonctions, calcul littéral, arithmétique, fréquences, trigonométrie, Pythagore – 26 points
Affirmation 1. On considère la fonction \(f : x \mapsto 3x-7\). De plus, L’affirmation annonce que l’image de \(-1\) par \(f\) vaut 2.
Ainsi, on remplace \(x\) par \(-1\) :
\[f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10.\]
De même, l’image de \(-1\) est \(-10\), et non 2. L’affirmation 1 est fausse.
Remarque : c’est en réalité \(2\) qui a pour image \(-1\), puisque \(f(2)=3\times 2-7=-1\). Ensuite, il ne faut pas confondre image et antécédent.
Affirmation 2. Pour tout nombre \(x\), \((x-5)(x+1)=x^2-4x-5\).
Également, on développe par double distributivité :
\[(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5.\]
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3. Le nombre \(2^5+1\) est premier.
\[2^5+1=2\times 2\times 2\times 2\times 2+1=32+1=33.\]
Or \(33=3\times 11\) : 33 est divisible par 3 (la somme de ses chiffres vaut 6), il possède donc un autre diviseur que 1 et lui-même. L’affirmation 3 est fausse.
Affirmation 4. On lance un dé à six faces plusieurs fois ; les fréquences d’apparition des faces 1 à 5 sont \(\dfrac{3}{15}\), \(\dfrac{4}{15}\), \(\dfrac{5}{15}\), \(\dfrac{2}{15}\) et \(\dfrac{1}{15}\). Par ailleurs, L’affirmation dit que la face 6 n’est jamais sortie (sa fréquence est nulle).
Par ailleurs, la somme des fréquences de toutes les issues est toujours égale à 1. Or :
\[\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{15}{15}=1.\]
Enfin, il ne reste rien pour la face 6 : sa fréquence est \(1-1=0\). L’affirmation 4 est vraie.
Affirmation 5. Dans le triangle ARS rectangle en S, on a \(\text{AS}=80\) cm et \(\widehat{\text{ARS}}=26^\circ\). Puis L’affirmation annonce \(\text{RS}\approx 164\) cm.
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 1 : (suite)
Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ARS}}\), le côté [AS] est le côté opposé et [RS] le côté adjacent. Ensuite, on utilise donc la tangente :
\[\tan(\widehat{\text{ARS}})=\dfrac{\text{AS}}{\text{RS}}\quad\text{soit}\quad \tan(26^\circ)=\dfrac{80}{\text{RS}}.\]
\[\text{RS}=\dfrac{80}{\tan(26^\circ)}\approx 164{,}0\ \text{cm}.\]
L’affirmation 5 est vraie.
Affirmation 6. ABCD est un rectangle tel que \(\text{AB}=160\) et \(\text{BC}=95\). Puis L’affirmation annonce que la diagonale [AC] mesure exactement 186.
De plus, le triangle ABC est rectangle en B (angle d’un rectangle). D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=160^2+95^2=25\,600+9\,025=34\,625.\]
Ainsi, Si l’on avait \(\text{AC}=186\), on aurait \(\text{AC}^2=186^2=34\,596\), ce qui est différent de \(34\,625\). De plus, en fait \(\text{AC}=\sqrt{34\,625}\approx 186{,}08\).
L’affirmation 6 est fausse : 186 n’est qu’une valeur approchée de la longueur AC.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 2 (corrigé Nord 2021)
Le triathlon : lecture graphique et vitesses – 21 points
Une athlète enchaîne trois épreuves : natation (400 m), cyclisme puis course à pied. Ensuite, le graphique donne la distance totale parcourue (en km) en fonction du temps (en min). De plus, entre deux épreuves, elle change d’équipement : la distance n’augmente plus, la courbe présente un palier horizontal.
1. Au bout de combien de temps a eu lieu le premier changement d’équipement ?
De même, la première portion (natation) se termine au début du premier palier, dont l’abscisse est 14. Le premier changement d’équipement a lieu au bout de 14 minutes (il dure jusqu’à la 15e minute).
2. Quelle distance a-t-elle parcourue à vélo ?
Également, la natation représente \(400\ \text{m}=0{,}4\ \text{km}\). Par ailleurs, le point M, au début du deuxième changement d’équipement, a pour ordonnée 10,4 : à la fin du cyclisme, l’athlète a parcouru 10,4 km au total. Puis la distance à vélo vaut donc :
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 2 (corrigé Nord 2021) (suite)
\[10{,}4-0{,}4=10\ \text{km}.\]
L’épreuve de cyclisme mesure 10 km.
3. Combien de temps a duré l’épreuve de course à pied ?
Le deuxième changement d’équipement commence au point M (abscisse 42) et le palier horizontal se prolonge jusqu’à 44 minutes : la course à pied commence donc à 44 min. Ensuite, elle se termine à l’arrivée, à 56 min. Ainsi, Sa durée est :
\[56-44=12\ \text{min}.\]
La course à pied a duré 12 minutes.
Attention : il ne faut pas compter le temps du changement d’équipement (de 42 à 44 min) dans la durée de la course.
4. Sur quelle épreuve l’athlète a-t-elle été la moins rapide ?
Par ailleurs, Graphiquement, plus un segment est « plat », moins la vitesse est grande : c’est le segment de la natation qui monte le moins. Vérifions par le calcul, en m/min.
- Natation : 400 m en 14 min, soit \(\dfrac{400}{14}\approx 28{,}6\) m/min.
- Cyclisme : 10 km = 10 000 m entre 15 et 42 min, soit en \(42-15=27\) min : \(\dfrac{10\,000}{27}\approx 370{,}4\) m/min.
- Course à pied : \(12{,}9-10{,}4=2{,}5\) km = 2 500 m en 12 min : \(\dfrac{2\,500}{12}\approx 208{,}3\) m/min.
L’athlète a été la moins rapide lors de l’épreuve de natation.
Exercice 2 (corrigé Nord 2021) (suite) (suite)
5. Sa vitesse moyenne sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à 14 km/h ?
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 2 (corrigé Nord 2021) (suite)
Elle a parcouru 12,9 km en 56 min (changements d’équipement compris). Puis la distance et la durée étant proportionnelles pour une vitesse moyenne, on cherche la distance qui serait parcourue en 60 min :
| Distance (km) | 12,9 | \(\dfrac{12{,}9\times 60}{56}\approx 13{,}82\) |
|---|---|---|
| Durée (min) | 56 | 60 |
Enfin, Sa vitesse moyenne est d’environ 13,82 km/h, et \(13{,}82\lt 14\). Non, sa vitesse moyenne n’est pas supérieure à 14 km/h.
Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.
Exercice 3 :
Étoile et transformations géométriques : symétries et rotation – 16 points
De plus, la figure est une étoile formée de huit carrés identiques numérotés de ① à ⑧ autour du point O, dans le sens des aiguilles d’une montre. De plus, les carrés pairs sont « droits », les carrés impairs sont posés « sur la pointe ». Ensuite, la droite (DH) est l’axe vertical de la figure.
1. Donner deux carrés symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite (DH).
Ainsi, la droite (DH) partage l’étoile en deux moitiés qui se superposent par pliage. Plusieurs réponses sont possibles : les carrés ② et ⑧, ou les carrés ③ et ⑦, ou les carrés ④ et ⑥ (les carrés ① et ⑤ sont chacun leur propre symétrique).
2. Le carré ③ est-il l’image du carré ⑧ par la symétrie de centre O ?
De même, une symétrie centrale conserve l’orientation d’un carré « droit » : l’image du carré ⑧ (droit, en haut à gauche) par la symétrie de centre O est le carré diamétralement opposé, le carré ④ (droit, en bas à droite). Par ailleurs, le carré ③ est posé sur la pointe, et un point du carré ⑧, le centre O et son éventuel symétrique sur le carré ③ ne sont pas alignés. Non, le carré ③ n’est pas l’image du carré ⑧ par cette symétrie.
Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.
Exercice 3 : (suite)
3. Quelle est l’image du carré ⑧ par la rotation de centre O, d’angle 45°, dans le sens des aiguilles d’une montre ?
Les huit carrés sont régulièrement répartis autour de O : on passe de l’un au suivant par une rotation de \(360^\circ: 8=45^\circ\). Puis en tournant de 45° dans le sens des aiguilles d’une montre, le carré ⑧ (en haut à gauche) vient se placer en haut. Son image est le carré ①.
4. Quelle est l’image du segment [EF] par la rotation de centre O, d’angle 135°, dans le sens des aiguilles d’une montre ?
Également, une rotation de 135° correspond à \(135: 45=3\) « crans » de 45°. Ensuite, en tournant de trois crans dans le sens des aiguilles d’une montre :
- le point E (pointe du carré ②) vient sur le point H (pointe du carré ⑤) ;
- le point F (pointe du carré ③) vient sur le point I (pointe du carré ⑥).
Par ailleurs, on vérifie que \(\widehat{\text{EOH}}=\widehat{\text{FOI}}=135^\circ\). L’image du segment [EF] est le segment [HI].
Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.
Exercice 4 (corrigé Nord 2021)
Le carré programmable : algorithmique sans Scratch – 16 points
Enfin, une grille de 3 × 3 cases, blanche au départ, est coloriée à l’aide d’un code formé de lettres exécutées de gauche à droite. D’après les motifs de l’énoncé, l’instruction A colorie la case centrale, B colorie les deux coins de la diagonale montante (en haut à droite et en bas à gauche), C colorie les deux cases du milieu à gauche et à droite, et E inverse toutes les couleurs (une case grise devient blanche et inversement).
1. Dessiner le motif obtenu avec le code A B.
A colorie la case centrale, puis B les coins en haut à droite et en bas à gauche : on obtient la diagonale montante.
2. Parmi les quatre propositions (un code associé à un motif), lesquelles sont correctes ?
De plus, on exécute chaque code pas à pas et on compare avec le motif proposé.
Avec A B C, on ajoute à la diagonale montante les deux cases du milieu de la ligne centrale. Avec C E, on colorie les deux cases du milieu à gauche et à droite, puis on inverse : tout devient gris sauf ces deux cases.
Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.
Exercice 4 (corrigé Nord 2021) (suite)
Avec B C E C : B C colorie quatre cases, E les inverse, puis C recolorie les deux cases du milieu à gauche et à droite.
Avec C A E A : C A colorie toute la ligne du milieu, E l’inverse (lignes du haut et du bas grises), puis A recolorie la case centrale.
En comparant ces motifs à ceux dessinés dans l’énoncé, seules deux associations sont exactes : les propositions n° 2 et n° 4 sont correctes.
3. Donner un code qui produit le motif où toutes les cases sont grises sauf la diagonale montante.
Ce motif est exactement l’inverse du motif A B de la question 1 : il suffit de construire la diagonale montante puis d’inverser les couleurs.
Le code A B E convient (le code B A E aussi, puisque l’ordre de A et B ne change rien).
De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.
Exercice 5 :
La rénovation de la salle de bain : aires, tâche complexe, pourcentage – 21 points
La salle de bain est un pavé droit de 3,50 m de long, 2,50 m de large et 2,50 m de haut. Puis on veut tapisser les quatre murs, sauf la porte (0,80 m × 2,10 m) et la fenêtre (1,20 m × 1,60 m). Également, de plus, un rouleau de papier peint couvre 5,3 m² et coûte 16,95 € ; un pot de colle, qui suffit pour 4 rouleaux, coûte 5,70 €. Ensuite, le vendeur conseille d’acheter un rouleau de plus que nécessaire.
1. Calculer l’aire de la surface à tapisser.
Les quatre murs sont des rectangles : deux murs de 3,50 m sur 2,50 m et deux murs de 2,50 m sur 2,50 m.
\[\mathcal{A}_{\text{murs}}=2\times (3{,}50\times 2{,}50)+2\times (2{,}50\times 2{,}50)=2\times 8{,}75+2\times 6{,}25=17{,}5+12{,}5=30\ \text{m}^2.\]
On retire la porte et la fenêtre :
\[\mathcal{A}_{\text{porte}}=0{,}80\times 2{,}10=1{,}68\ \text{m}^2\qquad \mathcal{A}_{\text{fenêtre}}=1{,}20\times 1{,}60=1{,}92\ \text{m}^2\]
\[30-1{,}68-1{,}92=26{,}4\ \text{m}^2.\]
La surface à recouvrir mesure 26,4 m².
2. Quel est le prix d’un mètre carré de papier peint ?
Un rouleau de 5,3 m² coûte 16,95 €, donc :
\[\dfrac{16{,}95}{5{,}3}\approx 3{,}20\ \text{€ par m}^2.\]
Le mètre carré de papier peint coûte environ 3,20 €.
Exercice 5 (suite)
3. Combien coûtera la rénovation en suivant les conseils du vendeur ?
Nombre de rouleaux nécessaires :
\[\dfrac{26{,}4}{5{,}3}\approx 4{,}98.\]
Quatre rouleaux ne suffisent pas : il en faut 5. Avec le rouleau supplémentaire conseillé, on achète 6 rouleaux. Par ailleurs, un pot de colle servant pour 4 rouleaux, il faut 2 pots pour 6 rouleaux.
Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.
Exercice 5 : (suite)
\[6\times 16{,}95+2\times 5{,}70=101{,}70+11{,}40=113{,}10.\]
La rénovation coûtera 113,10 €.
4. Le magasin accorde une réduction de 8 %. Quel est le nouveau prix ?
Diminuer un prix de 8 % revient à le multiplier par \(1-\dfrac{8}{100}=0{,}92\) :
\[113{,}10\times 0{,}92=104{,}052\approx 104{,}05.\]
On peut aussi calculer la réduction : \(113{,}10\times \dfrac{8}{100}\approx 9{,}05\) €, puis \(113{,}10-9{,}05=104{,}05\) €.
Après la réduction, la rénovation coûtera environ 104,05 €.
Bien travailler avec corrigé Nord 2021
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2024 en France (septembre).
