Voici le corrigé du brevet de maths 2021 en Amérique du Nord, premier sujet de la session 2021 et premier brevet passé après la crise sanitaire. L’épreuve compte cinq exercices assez courts. Le premier enchaîne six affirmations à justifier : image par une fonction affine, développement d’un produit, nombre premier, fréquences, tangente d’un angle et théorème de Pythagore. Le deuxième demande de lire un graphique distance-temps de triathlon et de comparer des vitesses. Le troisième porte sur une étoile de huit carrés et les transformations : symétrie axiale, symétrie centrale et rotation. Le quatrième, original, propose un algorithme sans Scratch qui colorie une grille de neuf cases. Le dernier est une tâche complexe sur la rénovation d’une salle de bain : aires de rectangles, nombre de rouleaux de papier peint, prix et pourcentage de réduction. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Amérique du Nord 2021 maths : sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Six affirmations à justifier : fonctions, calcul littéral, arithmétique, fréquences, trigonométrie, Pythagore – 26 points
Affirmation 1. On considère la fonction \(f : x \mapsto 3x-7\). L’affirmation annonce que l’image de \(-1\) par \(f\) vaut 2.
On remplace \(x\) par \(-1\) :
\[f(-1)=3\times (-1)-7=-3-7=-10.\]
L’image de \(-1\) est \(-10\), et non 2. L’affirmation 1 est fausse.
Remarque : c’est en réalité \(2\) qui a pour image \(-1\), puisque \(f(2)=3\times 2-7=-1\). Il ne faut pas confondre image et antécédent.
Affirmation 2. Pour tout nombre \(x\), \((x-5)(x+1)=x^2-4x-5\).
On développe par double distributivité :
\[(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5.\]
L’affirmation 2 est vraie.
Affirmation 3. Le nombre \(2^5+1\) est premier.
\[2^5+1=2\times 2\times 2\times 2\times 2+1=32+1=33.\]
Or \(33=3\times 11\) : 33 est divisible par 3 (la somme de ses chiffres vaut 6), il possède donc un autre diviseur que 1 et lui-même. L’affirmation 3 est fausse.
Affirmation 4. On lance un dé à six faces plusieurs fois ; les fréquences d’apparition des faces 1 à 5 sont \(\dfrac{3}{15}\), \(\dfrac{4}{15}\), \(\dfrac{5}{15}\), \(\dfrac{2}{15}\) et \(\dfrac{1}{15}\). L’affirmation dit que la face 6 n’est jamais sortie (sa fréquence est nulle).
La somme des fréquences de toutes les issues est toujours égale à 1. Or :
\[\dfrac{3}{15}+\dfrac{4}{15}+\dfrac{5}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{15}{15}=1.\]
Il ne reste rien pour la face 6 : sa fréquence est \(1-1=0\). L’affirmation 4 est vraie.
Affirmation 5. Dans le triangle ARS rectangle en S, on a \(\text{AS}=80\) cm et \(\widehat{\text{ARS}}=26^\circ\). L’affirmation annonce \(\text{RS}\approx 164\) cm.
Par rapport à l’angle \(\widehat{\text{ARS}}\), le côté [AS] est le côté opposé et [RS] le côté adjacent. On utilise donc la tangente :
\[\tan(\widehat{\text{ARS}})=\dfrac{\text{AS}}{\text{RS}}\quad\text{soit}\quad \tan(26^\circ)=\dfrac{80}{\text{RS}}.\]
\[\text{RS}=\dfrac{80}{\tan(26^\circ)}\approx 164{,}0\ \text{cm}.\]
L’affirmation 5 est vraie.
Affirmation 6. ABCD est un rectangle tel que \(\text{AB}=160\) et \(\text{BC}=95\). L’affirmation annonce que la diagonale [AC] mesure exactement 186.
Le triangle ABC est rectangle en B (angle d’un rectangle). D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=160^2+95^2=25\,600+9\,025=34\,625.\]
Si l’on avait \(\text{AC}=186\), on aurait \(\text{AC}^2=186^2=34\,596\), ce qui est différent de \(34\,625\). En fait \(\text{AC}=\sqrt{34\,625}\approx 186{,}08\).
L’affirmation 6 est fausse : 186 n’est qu’une valeur approchée de la longueur AC.
Exercice 2 :
Le triathlon : lecture graphique et vitesses – 21 points
Une athlète enchaîne trois épreuves : natation (400 m), cyclisme puis course à pied. Le graphique donne la distance totale parcourue (en km) en fonction du temps (en min). Entre deux épreuves, elle change d’équipement : la distance n’augmente plus, la courbe présente un palier horizontal.
1. Au bout de combien de temps a eu lieu le premier changement d’équipement ?
La première portion (natation) se termine au début du premier palier, dont l’abscisse est 14. Le premier changement d’équipement a lieu au bout de 14 minutes (il dure jusqu’à la 15e minute).
2. Quelle distance a-t-elle parcourue à vélo ?
La natation représente \(400\ \text{m}=0{,}4\ \text{km}\). Le point M, au début du deuxième changement d’équipement, a pour ordonnée 10,4 : à la fin du cyclisme, l’athlète a parcouru 10,4 km au total. La distance à vélo vaut donc :
\[10{,}4-0{,}4=10\ \text{km}.\]
L’épreuve de cyclisme mesure 10 km.
3. Combien de temps a duré l’épreuve de course à pied ?
Le deuxième changement d’équipement commence au point M (abscisse 42) et le palier horizontal se prolonge jusqu’à 44 minutes : la course à pied commence donc à 44 min. Elle se termine à l’arrivée, à 56 min. Sa durée est :
\[56-44=12\ \text{min}.\]
La course à pied a duré 12 minutes.
Attention : il ne faut pas compter le temps du changement d’équipement (de 42 à 44 min) dans la durée de la course.
4. Sur quelle épreuve l’athlète a-t-elle été la moins rapide ?
Graphiquement, plus un segment est « plat », moins la vitesse est grande : c’est le segment de la natation qui monte le moins. Vérifions par le calcul, en m/min.
- Natation : 400 m en 14 min, soit \(\dfrac{400}{14}\approx 28{,}6\) m/min.
- Cyclisme : 10 km = 10 000 m entre 15 et 42 min, soit en \(42-15=27\) min : \(\dfrac{10\,000}{27}\approx 370{,}4\) m/min.
- Course à pied : \(12{,}9-10{,}4=2{,}5\) km = 2 500 m en 12 min : \(\dfrac{2\,500}{12}\approx 208{,}3\) m/min.
L’athlète a été la moins rapide lors de l’épreuve de natation.
5. Sa vitesse moyenne sur l’ensemble du triathlon est-elle supérieure à 14 km/h ?
Elle a parcouru 12,9 km en 56 min (changements d’équipement compris). La distance et la durée étant proportionnelles pour une vitesse moyenne, on cherche la distance qui serait parcourue en 60 min :
| Distance (km) | 12,9 | \(\dfrac{12{,}9\times 60}{56}\approx 13{,}82\) |
|---|---|---|
| Durée (min) | 56 | 60 |
Sa vitesse moyenne est d’environ 13,82 km/h, et \(13{,}82\lt 14\). Non, sa vitesse moyenne n’est pas supérieure à 14 km/h.
Exercice 3 :
Étoile et transformations géométriques : symétries et rotation – 16 points
La figure est une étoile formée de huit carrés identiques numérotés de ① à ⑧ autour du point O, dans le sens des aiguilles d’une montre. Les carrés pairs sont « droits », les carrés impairs sont posés « sur la pointe ». La droite (DH) est l’axe vertical de la figure.
1. Donner deux carrés symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite (DH).
La droite (DH) partage l’étoile en deux moitiés qui se superposent par pliage. Plusieurs réponses sont possibles : les carrés ② et ⑧, ou les carrés ③ et ⑦, ou les carrés ④ et ⑥ (les carrés ① et ⑤ sont chacun leur propre symétrique).
2. Le carré ③ est-il l’image du carré ⑧ par la symétrie de centre O ?
Une symétrie centrale conserve l’orientation d’un carré « droit » : l’image du carré ⑧ (droit, en haut à gauche) par la symétrie de centre O est le carré diamétralement opposé, le carré ④ (droit, en bas à droite). Le carré ③ est posé sur la pointe, et un point du carré ⑧, le centre O et son éventuel symétrique sur le carré ③ ne sont pas alignés. Non, le carré ③ n’est pas l’image du carré ⑧ par cette symétrie.
3. Quelle est l’image du carré ⑧ par la rotation de centre O, d’angle 45°, dans le sens des aiguilles d’une montre ?
Les huit carrés sont régulièrement répartis autour de O : on passe de l’un au suivant par une rotation de \(360^\circ: 8=45^\circ\). En tournant de 45° dans le sens des aiguilles d’une montre, le carré ⑧ (en haut à gauche) vient se placer en haut. Son image est le carré ①.
4. Quelle est l’image du segment [EF] par la rotation de centre O, d’angle 135°, dans le sens des aiguilles d’une montre ?
Une rotation de 135° correspond à \(135: 45=3\) « crans » de 45°. En tournant de trois crans dans le sens des aiguilles d’une montre :
- le point E (pointe du carré ②) vient sur le point H (pointe du carré ⑤) ;
- le point F (pointe du carré ③) vient sur le point I (pointe du carré ⑥).
On vérifie que \(\widehat{\text{EOH}}=\widehat{\text{FOI}}=135^\circ\). L’image du segment [EF] est le segment [HI].
Exercice 4 :
Le carré programmable : algorithmique sans Scratch – 16 points
Une grille de 3 × 3 cases, blanche au départ, est coloriée à l’aide d’un code formé de lettres exécutées de gauche à droite. D’après les motifs de l’énoncé, l’instruction A colorie la case centrale, B colorie les deux coins de la diagonale montante (en haut à droite et en bas à gauche), C colorie les deux cases du milieu à gauche et à droite, et E inverse toutes les couleurs (une case grise devient blanche et inversement).
1. Dessiner le motif obtenu avec le code A B.
A colorie la case centrale, puis B les coins en haut à droite et en bas à gauche : on obtient la diagonale montante.
2. Parmi les quatre propositions (un code associé à un motif), lesquelles sont correctes ?
On exécute chaque code pas à pas et on compare avec le motif proposé.
Avec A B C, on ajoute à la diagonale montante les deux cases du milieu de la ligne centrale. Avec C E, on colorie les deux cases du milieu à gauche et à droite, puis on inverse : tout devient gris sauf ces deux cases.
Avec B C E C : B C colorie quatre cases, E les inverse, puis C recolorie les deux cases du milieu à gauche et à droite.
Avec C A E A : C A colorie toute la ligne du milieu, E l’inverse (lignes du haut et du bas grises), puis A recolorie la case centrale.
En comparant ces motifs à ceux dessinés dans l’énoncé, seules deux associations sont exactes : les propositions n° 2 et n° 4 sont correctes.
3. Donner un code qui produit le motif où toutes les cases sont grises sauf la diagonale montante.
Ce motif est exactement l’inverse du motif A B de la question 1 : il suffit de construire la diagonale montante puis d’inverser les couleurs.
Le code A B E convient (le code B A E aussi, puisque l’ordre de A et B ne change rien).
Exercice 5 :
La rénovation de la salle de bain : aires, tâche complexe, pourcentage – 21 points
La salle de bain est un pavé droit de 3,50 m de long, 2,50 m de large et 2,50 m de haut. On veut tapisser les quatre murs, sauf la porte (0,80 m × 2,10 m) et la fenêtre (1,20 m × 1,60 m). Un rouleau de papier peint couvre 5,3 m² et coûte 16,95 € ; un pot de colle, qui suffit pour 4 rouleaux, coûte 5,70 €. Le vendeur conseille d’acheter un rouleau de plus que nécessaire.
1. Calculer l’aire de la surface à tapisser.
Les quatre murs sont des rectangles : deux murs de 3,50 m sur 2,50 m et deux murs de 2,50 m sur 2,50 m.
\[\mathcal{A}_{\text{murs}}=2\times (3{,}50\times 2{,}50)+2\times (2{,}50\times 2{,}50)=2\times 8{,}75+2\times 6{,}25=17{,}5+12{,}5=30\ \text{m}^2.\]
On retire la porte et la fenêtre :
\[\mathcal{A}_{\text{porte}}=0{,}80\times 2{,}10=1{,}68\ \text{m}^2\qquad \mathcal{A}_{\text{fenêtre}}=1{,}20\times 1{,}60=1{,}92\ \text{m}^2\]
\[30-1{,}68-1{,}92=26{,}4\ \text{m}^2.\]
La surface à recouvrir mesure 26,4 m².
2. Quel est le prix d’un mètre carré de papier peint ?
Un rouleau de 5,3 m² coûte 16,95 €, donc :
\[\dfrac{16{,}95}{5{,}3}\approx 3{,}20\ \text{€ par m}^2.\]
Le mètre carré de papier peint coûte environ 3,20 €.
3. Combien coûtera la rénovation en suivant les conseils du vendeur ?
Nombre de rouleaux nécessaires :
\[\dfrac{26{,}4}{5{,}3}\approx 4{,}98.\]
Quatre rouleaux ne suffisent pas : il en faut 5. Avec le rouleau supplémentaire conseillé, on achète 6 rouleaux. Un pot de colle servant pour 4 rouleaux, il faut 2 pots pour 6 rouleaux.
\[6\times 16{,}95+2\times 5{,}70=101{,}70+11{,}40=113{,}10.\]
La rénovation coûtera 113,10 €.
4. Le magasin accorde une réduction de 8 %. Quel est le nouveau prix ?
Diminuer un prix de 8 % revient à le multiplier par \(1-\dfrac{8}{100}=0{,}92\) :
\[113{,}10\times 0{,}92=104{,}052\approx 104{,}05.\]
On peut aussi calculer la réduction : \(113{,}10\times \dfrac{8}{100}\approx 9{,}05\) €, puis \(113{,}10-9{,}05=104{,}05\) €.
Après la réduction, la rénovation coûtera environ 104,05 €.
