Corrigé brevet 2020 : corrigé du brevet de maths 2020 en France (septembre).
Voici le corrigé détaillé du brevet de maths 2020 en France (septembre), rédigé question par question : chaque résultat est justifié, les calculs sont posés et les figures utiles sont reprises. L’énoncé complet se trouve sur la page Brevet de maths 2020 en France (septembre) : sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez votre copie avec cette correction.
Corrigé du sujet (corrigé brevet 2020)
Exercice 1 :
1. Réponse A : 12. On range les 7 valeurs dans l’ordre croissant : 2 ; 6 ; 10 ; 12 ; 14 ; 22 ; 25. Par ailleurs, L’effectif est impair, la médiane est la valeur du milieu, la 4e : 12 (trois valeurs en dessous, trois au-dessus).
2. Réponse B : 0,3. Le sac contient \(50 + 45 + 45 + 60 = 200\) billes, toutes équiprobables, dont 60 jaunes : \(p = \dfrac{60}{200} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). Puis la réponse A (60) ne peut pas être une probabilité puisqu’elle dépasse 1.
3. Réponse C : \(2 \times 2 \times 5 \times 101\). On a \(2\,020 = 2 \times 1\,010 = 2 \times 2 \times 505 = 2 \times 2 \times 5 \times 101\), et 101 est premier (il n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et \(11^2 = 121 \gt 101\)). Ensuite, la réponse A contient 10, qui n’est pas premier, et la réponse B vaut \(2\,525\).
4. Réponse C : \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\). Un volume s’exprime avec une longueur au cube ; \(2\pi R\) est le périmètre d’un cercle et \(\pi R^2\) l’aire d’un disque.
5. Réponse A : elle agrandit les longueurs. Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\) (la valeur du rapport sans son signe). Ici \(|-2| = 2 \gt 1\) : les longueurs sont doublées. Puis le signe moins indique seulement que l’image est « de l’autre côté » du centre A.
Exercice 2 (corrigé brevet 2020)
1. Avec 2 : on ajoute 7 et on obtient \(2 + 7 = 9\) ; on soustrait 7 au nombre de départ : \(2 – 7 = -5\) ; on multiplie les deux résultats : \(9 \times (-5) = -45\) ; on ajoute 50 : \(-45 + 50 = 5\). On obtient bien 5.
2. Avec \(-10\) : \(-10 + 7 = -3\) et \(-10 – 7 = -17\). De plus, le produit de deux nombres négatifs est positif : \((-3) \times (-17) = 51\). Enfin \(51 + 50 = 101\). Le résultat est 101.
3. Pour montrer qu’une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit. Avec \(-10\), le double augmenté de 1 donne \(2 \times (-10) + 1 = -19\), alors que le programme donne 101 (question 2). L’élève a tort : l’égalité obtenue avec 2 est une coïncidence.
4. Avec \(x\) au départ, les deux résultats intermédiaires sont \(x + 7\) et \(x – 7\). Leur produit se calcule avec l’identité remarquable \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) :
\[(x+7)(x-7) = x^2 – 7^2 = x^2 – 49\]
On ajoute ensuite 50 : \(x^2 – 49 + 50 = x^2 + 1\). Le résultat du programme est bien \(x^2 + 1\).
5. On résout l’équation \(x^2 + 1 = 17\) :
\[x^2 = 16\]
Les nombres dont le carré vaut 16 sont 4 et \(-4\) (on peut aussi écrire \(x^2 – 16 = (x-4)(x+4) = 0\)). Vérification : \(4^2 + 1 = 17\) et \((-4)^2 + 1 = 17\). Il faut choisir 4 ou \(-4\).
Exercice 3 :
1. H est le milieu de [BC], donc \(\text{HC} = \dfrac{290}{2} = 145\) cm. Ensuite, le triangle AHC est rectangle en H (sur la vue de côté, [AH] est perpendiculaire à [BC]), d’hypoténuse [AC] de longueur 342 cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AH}^2 + \text{HC}^2\]
\[\text{AH}^2 = 342^2 – 145^2 = 116\,964 – 21\,025 = 95\,939\]
\[\text{AH} = \sqrt{95\,939} \approx 309{,}74\ \text{cm}\]
La hauteur du portique est d’environ 310 cm.
2. Les points A, N, C sont alignés, ainsi que A, M, B, et les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC :
\[\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}} = \dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}\]
\[\dfrac{165}{342} = \dfrac{\text{MN}}{290}\]
\[\text{MN} = \dfrac{165 \times 290}{342} \approx 139{,}9\ \text{cm}\]
Chaque barre de maintien mesure bien environ 140 cm.
3. On fait la liste du matériel en choisissant chaque fois la pièce la moins chère qui convient.
- La poutre du haut mesure 384 cm : il faut une poutre de 4 m, à 12,99 €.
- Les pieds mesurent 342 cm chacun et il y en a 4 (deux de chaque côté) : il faut 4 poutres de 3,5 m (celles de 3 m sont trop courtes), soit \(4 \times 11{,}75 = 47\) €.
- Puis, les deux barres de maintien mesurent environ 140 cm chacune, soit 280 cm en tout. Deux barres de 1,5 m coûteraient \(2 \times 3{,}89 = 7{,}78\) €, mais une seule barre de 3 m coupée en deux suffit (\(280 \leq\, 300\)) et ne coûte que 6,99 €.
Exercice 3 : (suite)
On ajoute les fixations (80 €) et les deux balançoires (50 €) :
\[12{,}99 + 47 + 6{,}99 + 80 + 50 = 196{,}98\ \text{€}\]
Le coût minimal du portique équipé est bien de 196,98 €.
4. Augmenter un prix de 20 %, c’est le multiplier par \(1 + \dfrac{20}{100} = 1{,}2\) :
\[196{,}98 \times 1{,}2 = 236{,}376\]
Le prix de vente est d’environ 236,38 €.
5. Le triangle ABC est isocèle en A et H est le milieu de [BC] : la droite (AH) est donc un axe de symétrie du triangle, et elle partage l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) en deux angles égaux, \(\widehat{\text{BAH}}\) et \(\widehat{\text{HAC}}\).
Dans le triangle AHC rectangle en H, on connaît le côté opposé à \(\widehat{\text{HAC}}\) (HC = 145 cm) et l’hypoténuse (AC = 342 cm) :
\[\sin \widehat{\text{HAC}} = \dfrac{\text{HC}}{\text{AC}} = \dfrac{145}{342}\]
La calculatrice donne \(\widehat{\text{HAC}} \approx 25{,}09^\circ\), donc :
\[\widehat{\text{BAC}} = 2 \times \widehat{\text{HAC}} \approx 50{,}2^\circ\]
Comme \(45^\circ \leq\, 50{,}2^\circ \leq\, 55^\circ\), le portique respecte la condition de sécurité.
Exercice 4 (corrigé brevet 2020)
1. Tarif A : on multiplie le nombre de demi-journées par 8. Tarif B : on ajoute 30 € à 5 € par demi-journée. Annexe 1 complétée :
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Nombre de demi-journées | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | Tarif A | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 |
| 3 | Tarif B | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 |
2. Réponse D : =30+5*B1. Le tarif B vaut 30 € d’adhésion plus 5 € fois le nombre de demi-journées, qui se trouve en B1. Par ailleurs, on contrôle : \(30 + 5 \times 1 = 35\), et après recopie vers la droite, C3 contient =30+5*C1, soit 40. Puis les formules B et C donnent 35 en B3 mais pas 40 en C3, la A correspond au tarif A et la E donnerait 35 partout.
3. Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire, de la forme \(x \mapsto ax\). C’est le cas de \(f(x) = 8x\) (coefficient 8), mais pas de \(g\) à cause de l’adhésion de 30 € (par exemple 2 demi-journées coûtent 40 € et non \(2 \times 35 = 70\) €). C’est la fonction \(f\) (tarif A) qui traduit une situation de proportionnalité.
4. La fonction \(f\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine du repère. Ensuite, il suffit d’un second point, par exemple \(f(10) = 80\) : on trace la droite passant par (0 ; 0) et (10 ; 80) ; elle passe aussi par (5 ; 40) et atteint 112 € pour 14 demi-journées.
Exercice 4 (corrigé brevet 2020) (suite)
5. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (10 ; 80). Par le calcul : \(8x = 30 + 5x\) donne \(3x = 30\), soit \(x = 10\), et les deux tarifs valent alors \(8 \times 10 = 80\) €. Les deux tarifs sont égaux pour 10 demi-journées (80 € dans les deux cas).
6. On cherche, pour chaque tarif, le plus grand nombre entier de demi-journées dont le coût ne dépasse pas 100 €.
- Tarif A : \(8x \leq\, 100\) donne \(x \leq\, 12{,}5\), soit au plus 12 demi-journées (96 €).
- Aussi, tarif B : \(30 + 5x \leq\, 100\) donne \(5x \leq\, 70\), soit \(x \leq\, 14\) : 14 demi-journées pour exactement 100 €.
Graphiquement, on trace la droite horizontale d’ordonnée 100 : elle coupe la droite de \(g\) au point d’abscisse 14, et celle de \(f\) au point d’abscisse 12,5. Avec 100 €, on peut participer au maximum à 14 demi-journées, en choisissant le tarif B.
Exercice 5 :
1. a. Puis le triangle DEC est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{\text{DEC}} = \widehat{\text{DCE}} = 85^\circ\). De plus, la somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :
\[\widehat{\text{CDE}} = 180^\circ – 85^\circ – 85^\circ = 10^\circ\]
L’angle \(\widehat{\text{CDE}}\) mesure bien 10°.
b. Au début de la ligne 6, le lutin vient de parcourir [BC] : il est en C et regarde dans la direction qui prolonge [BC] au-delà de C. Par ailleurs, pour partir vers D, il doit tourner de l’angle entre ce prolongement et [CD]. Cet angle est le supplémentaire de l’angle \(\widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{ECD}} = 85^\circ\) de la pale : \(180^\circ – 85^\circ = 95^\circ\). C’est pour cela que le lutin tourne de 95° : dans Scratch, on tourne toujours de l’angle extérieur de la figure, pas de l’angle intérieur.
c. De la même façon, après la ligne 7 le lutin est en D et regarde dans le prolongement de [CD]. Puis pour repartir vers E, il doit tourner du supplémentaire de l’angle \(\widehat{\text{CDE}} = 10^\circ\) :
\[180^\circ – 10^\circ = 170^\circ\]
La valeur à inscrire ligne 8 est 170. (Contrôle : sur une pale, le lutin tourne à gauche de \(95 + 170 + 95 = 360\) degrés en longeant le triangle, ce qui correspond bien à un tour complet autour du triangle DEC.)
2. L’éolienne compte 3 pales. Ensuite, le bloc « pale » trace une pale et ramène le lutin au centre dans sa direction de départ (les lignes 13 et 14 le font revenir en A puis faire demi-tour), puis le lutin tourne de 120° avant de tracer la pale suivante. Trois rotations de 120° font \(3 \times 120^\circ = 360^\circ\), un tour complet. Il faut répéter 3 fois.
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Corrigé brevet 2020 : nos conseils pour progresser
D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Par ailleurs, corrigé brevet 2020 demande surtout de la régularité.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec corrigé du brevet de maths 2026 aux centres étrangers.
