Corrigé du brevet de maths 2019 en Grèce

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Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités, 12 points

Mathilde fait tourner la roue A (secteurs 1, 2, 3, 4) qui donne le chiffre des dizaines, puis la roue B (secteurs 6, 7, 8, 9) qui donne le chiffre des unités. Chaque secteur a la même probabilité d’être obtenu.

1. Liste de tous les nombres possibles.

On associe chacun des 4 chiffres des dizaines à chacun des 4 chiffres des unités :

Roue A \ Roue B	6	7	8	9
1	16	17	18	19
2	26	27	28	29
3	36	37	38	39
4	46	47	48	49

On obtient 16 nombres possibles (\(4 \times 4 = 16\)), tous équiprobables.

2. Probabilité d’obtenir un nombre supérieur à 40.

Les nombres supérieurs à 40 sont ceux dont le chiffre des dizaines est 4 : 46, 47, 48 et 49, soit 4 issues favorables sur 16.

\[ P(\text{nombre} \gt 40) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \]

La probabilité vaut bien 0,25.

3. Probabilité d’obtenir un nombre divisible par 3.

Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3. On teste les 16 nombres : 18 (1 + 8 = 9), 27 (2 + 7 = 9), 36 (3 + 6 = 9), 39 (3 + 9 = 12) et 48 (4 + 8 = 12). Aucun autre ne convient (par exemple 1 + 6 = 7, 4 + 9 = 13).

Il y a donc 5 issues favorables sur 16 :

\[ P(\text{divisible par } 3) = \frac{5}{16} = 0{,}3125 \]

La probabilité est \(\frac{5}{16}\), soit 0,3125.

Exercice 2 :

Trigonométrie, triangles semblables, 20 points

Les triangles TSR et SPU sont rectangles respectivement en T et en P ; TS = 14 cm, SP = 10,5 cm, RS = 28 cm, \(\widehat{SKL} = 60^\circ\) et \(\widehat{SUP} = 30^\circ\). Les points T, S, P sont alignés, ainsi que R, K, S et S, L, U.

1. Montrer que l’angle \(\widehat{TSR}\) mesure 60°.

Dans le triangle TSR rectangle en T, [RS] est l’hypoténuse et [TS] est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{TSR}\). Donc :

\[ \cos \widehat{TSR} = \frac{TS}{RS} = \frac{14}{28} = 0{,}5 \]

L’angle aigu dont le cosinus vaut 0,5 mesure 60° (à la calculatrice : \(\arccos(0{,}5) = 60^\circ\)). Donc \(\widehat{TSR} = 60^\circ\).

2. Démontrer que les triangles SRT et SUP sont semblables.

Dans le triangle SPU rectangle en P, la somme des angles vaut 180°, donc :

\[ \widehat{PSU} = 180^\circ – 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ \]

Dans le triangle SRT : \(\widehat{T} = 90^\circ\), \(\widehat{TSR} = 60^\circ\) et donc \(\widehat{SRT} = 180^\circ – 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ\).

Dans le triangle SUP : \(\widehat{P} = 90^\circ\), \(\widehat{PSU} = 60^\circ\) et \(\widehat{SUP} = 30^\circ\).

Les deux triangles ont leurs angles deux à deux de même mesure (90°, 60° et 30°) : les triangles SRT et SUP sont semblables. Les sommets homologues sont T et P (angle droit), S et S (60°), R et U (30°).

3. Coefficient de réduction.

Dans des triangles semblables, les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles. Les côtés [ST] et [SP], adjacents à l’angle de 60° et opposés à l’angle de 30°, sont homologues :

\[ k = \frac{SP}{ST} = \frac{10{,}5}{14} = \frac{3}{4} = 0{,}75 \]

Le triangle SUP est une réduction du triangle SRT de coefficient \(\frac{3}{4} = 0{,}75\).

4. Longueur SU.

[SU] est l’hypoténuse du triangle SUP ; elle est homologue de l’hypoténuse [SR] du triangle SRT. Donc :

\[ SU = 0{,}75 \times SR = 0{,}75 \times 28 = 21 \text{ cm} \]

Vérification par la trigonométrie : \(\cos \widehat{PSU} = \frac{SP}{SU}\), donc \(SU = \frac{10{,}5}{\cos 60^\circ} = \frac{10{,}5}{0{,}5} = 21\). Ainsi SU = 21 cm.

5. Nature du triangle SKL.

Les points T, S et P sont alignés, donc l’angle \(\widehat{TSP}\) est plat et mesure 180°. Comme K est sur [SR] et L sur [SU] :

\[ \widehat{KSL} = \widehat{RSU} = 180^\circ – \widehat{TSR} – \widehat{PSU} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ \]

Dans le triangle SKL, on connaît donc \(\widehat{SKL} = 60^\circ\) et \(\widehat{KSL} = 60^\circ\). Le troisième angle mesure :

\[ \widehat{KLS} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ \]

Les trois angles du triangle SKL mesurent 60° : SKL est un triangle équilatéral.

Exercice 3 :

Vitesse, périmètre, multiples communs, 15 points

Marc court un tour de piste de 400 m en 2 minutes en moyenne ; Jim met 1 minute et 40 secondes par tour.

1. Durée de l’échauffement de 1 km.

Marc parcourt 400 m en 2 min, donc 200 m en 1 min. Pour 1 km = 1 000 m = \(5 \times 200\) m, il lui faut \(5 \times 1 = 5\) minutes.

L’échauffement dure 5 minutes.

2. Vitesse moyenne de Marc en km/h.

Marc parcourt 1 km en 5 min. Or 1 h = 60 min = \(12 \times 5\) min, donc en une heure il parcourt \(12 \times 1 = 12\) km.

\[ v = \frac{1 \text{ km}}{5 \text{ min}} = \frac{12 \text{ km}}{60 \text{ min}} = 12 \text{ km/h} \]

La vitesse moyenne de Marc est de 12 km/h.

3. Premier passage simultané au point A et nombre de tours.

On vérifie d’abord la longueur d’un tour : deux segments de 90 m et deux demi-cercles de diamètre 70 m, qui forment ensemble un cercle entier de diamètre 70 m.

\[ \ell = 2 \times 90 + \pi \times 70 = 180 + 70\pi \approx 399{,}9 \text{ m} \]

On retrouve bien un tour d’environ 400 m.

Les deux coureurs partent ensemble de A :

• Marc repasse en A toutes les 2 min, soit toutes les 120 secondes ;
• Jim repasse en A toutes les 1 min 40 s, soit toutes les 100 secondes.

Ils se retrouvent ensemble en A à un instant qui est à la fois un multiple de 120 s et un multiple de 100 s. La première fois correspond au plus petit multiple commun de 100 et 120. On décompose en produits de facteurs premiers :

\[ 100 = 2^2 \times 5^2 \qquad 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \]

Le plus petit multiple commun prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :

\[ \text{PPCM}(100 \,;\, 120) = 2^3 \times 3 \times 5^2 = 8 \times 3 \times 25 = 600 \]

Les multiples de 120 sont 120, 240, 360, 480, 600… et ceux de 100 sont 100, 200, 300, 400, 500, 600… : 600 est bien le premier commun.

Ils se retrouvent pour la première fois ensemble en A au bout de 600 secondes, soit 10 minutes. À ce moment :

• Marc a fait \(\frac{600}{120} = 5\) tours : 5 tours pour Marc ;
• Jim a fait \(\frac{600}{100} = 6\) tours : 6 tours pour Jim.

C’est logique : Jim, plus rapide, a fait exactement un tour de plus que Marc.

Exercice 4 :

Algorithmique (Scratch) et transformations, 16 points

Lucie veut tracer un losange de côté 50 pixels dont les angles aigus mesurent 30° et les angles obtus 150°, puis construire des rosaces à partir de ce motif.

1. Compléter le programme.

Le côté vaut 50 pixels, donc on écrit mettre Côté à 50.

Pour les rotations, le lutin tourne à chaque sommet de l’angle extérieur, c’est-à-dire de 180° moins l’angle intérieur du losange. Le lutin part du sommet d’angle 30°, avance d’un côté et arrive à un sommet d’angle 150° : il doit tourner de \(180^\circ – 150^\circ = 30^\circ\). Il avance d’un nouveau côté et arrive à un sommet d’angle 30° : il tourne de \(180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\). Ce motif est répété 2 fois pour tracer les 4 côtés (et le lutin a bien tourné en tout de \(2 \times (30^\circ + 150^\circ) = 360^\circ\)).

quand le drapeau vert est cliqué
  effacer tout
  montrer
  s'orienter à 90
  aller à x: 0 y: 0
  mettre Côté à 50
  Losange
  cacher

définir Losange
  stylo en position d'écriture
  répéter 2 fois
    avancer de Côté
    tourner ↻ de 30 degrés
    avancer de Côté
    tourner ↻ de 150 degrés

2. Transformation utilisée pour la rosace.

Tous les losanges de la rosace ont un sommet commun O, le centre de la figure (le point de départ du lutin, de coordonnées (0 ; 0)). Ils sont 12 et se répartissent régulièrement autour de ce point : on passe de l’un au suivant en tournant de \(\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ\).

La transformation est donc la rotation de centre O (le sommet commun des losanges) et d’angle 30°, appliquée 12 fois de suite (dans le sens des aiguilles d’une montre dans le programme, mais les deux sens donnent la même rosace).

3. Associer chaque programme à sa figure.

• Programme 1 : après la première rosace, on retire 25 au côté (il passe à 25 pixels) et on trace une seconde rosace avec les mêmes angles : on obtient des petits losanges à l’intérieur des grands. C’est la figure B.
• Programme 2 : après la première rosace, le lutin tourne de 15° et le côté passe à 60 pixels ; les 12 nouveaux losanges, plus grands, s’intercalent entre les premiers, ce qui donne 24 branches. C’est la figure C.
• Programme 3 : le côté passe à 60 pixels sans rotation supplémentaire ; les nouveaux losanges, un peu plus grands, sont dans les mêmes directions que les premiers et en doublent le contour. C’est la figure A.

Exercice 5 :

Programme de calcul, fonctions, 15 points

Le programme : choisir un nombre, ajouter 1, élever le résultat au carré, puis soustraire le carré du nombre de départ.

1. Avec le nombre 2 au départ.

\[ 2 \;\to\; 2 + 1 = 3 \;\to\; 3^2 = 9 \;\to\; 9 – 2^2 = 9 – 4 = 5 \]

On obtient bien 5.

2. Avec le nombre −3 au départ.

\[ -3 \;\to\; -3 + 1 = -2 \;\to\; (-2)^2 = 4 \;\to\; 4 – (-3)^2 = 4 – 9 = -5 \]

On obtient −5.

3. Montrer que \(f(x) = 2x + 1\).

Le programme donne \(f(x) = (x + 1)^2 – x^2\). On développe avec l’identité remarquable \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :

\[ f(x) = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1 \]

On a bien \(f(x) = 2x + 1\) pour tout nombre x. On retrouve \(f(2) = 5\) et \(f(-3) = -5\).

4. QCM.

Question 1 : quelle représentation graphique est celle de f ? La fonction f est affine : sa représentation est une droite, qui coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; 1) et passe par (1 ; 3) car \(f(1) = 3\). La représentation A est une parabole et la droite B descend (coefficient négatif). Réponse : la représentation C.

Question 2 : avec la représentation A, quelle est l’image de 1 ? On lit l’ordonnée du point de la courbe A d’abscisse 1 : ce point est (1 ; 4). Réponse : 4 (réponse A). La courbe A est celle de \(x \mapsto (x + 1)^2\), et l’on a bien \((1 + 1)^2 = 4\).

Question 3 : avec la représentation B, quel est l’antécédent de 3 ? On cherche l’abscisse du point de la droite B d’ordonnée 3. La droite passe par (0 ; 1) et (1 ; −1) : c’est celle de \(x \mapsto -2x + 1\), et \(-2x + 1 = 3\) donne \(x = -1\). Le point (−1 ; 3) est bien sur la droite. Réponse : −1 (réponse A).

Exercice 6 :

Théorème de Thalès, volumes, pourcentages, 22 points

Jean fabrique 400 cônes de frites. La sauce est versée au fond du cône, jusqu’au cercle de diamètre [EG]. On a BS = 20 cm, FS = 5 cm, AC = 12 cm, B milieu de [AC] et F milieu de [EG] ; les droites (AC) et (EG) sont perpendiculaires à (BS).

1. Montrer que le rayon [EF] mesure 1,5 cm.

Les droites (EG) et (AC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (BS) : elles sont donc parallèles. Les points S, F, B d’une part et S, G, C d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles SFG et SBC :

\[ \frac{SF}{SB} = \frac{SG}{SC} = \frac{FG}{BC} \]

Comme B est le milieu de [AC], BC = 12 ÷ 2 = 6 cm. Donc :

\[ \frac{5}{20} = \frac{FG}{6} \quad \text{donc} \quad FG = \frac{5 \times 6}{20} = 1{,}5 \text{ cm} \]

F étant le milieu de [EG], on a EF = FG, donc le rayon EF mesure 1,5 cm.

2. Volume de sauce dans un cône.

La sauce occupe un cône de révolution de rayon 1,5 cm et de hauteur FS = 5 cm :

\[ V = \frac{\pi \times 1{,}5^2 \times 5}{3} = \frac{11{,}25\pi}{3} = 3{,}75\pi \approx 11{,}78 \text{ cm}^3 \]

Le volume de sauce par cône est d’environ 11,78 cm³.

3. Nombre de bouteilles de chaque sauce.

Répartition des cônes. 80 % des acheteurs prennent de la sauce tomate :

\[ 400 \times \frac{80}{100} = 320 \text{ cônes à la sauce tomate} \qquad 400 – 320 = 80 \text{ cônes à la mayonnaise} \]

Sauce tomate. Il faut \(320 \times 11{,}78 = 3\,769{,}6\) cm³ de sauce tomate (avec la valeur exacte, \(320 \times 3{,}75\pi = 1\,200\pi \approx 3\,769{,}9\) cm³). Une bouteille contient 500 mL = 500 cm³ :

\[ \frac{3\,769{,}6}{500} \approx 7{,}54 \]

7 bouteilles ne suffisent pas (3 500 cm³), il en faut donc 8 bouteilles de sauce tomate.

Mayonnaise. Il faut \(80 \times 11{,}78 = 942{,}4\) cm³ de mayonnaise. Une bouteille est un cylindre de diamètre 5 cm, donc de rayon 2,5 cm, et de hauteur 15 cm :

\[ V_{\text{bouteille}} = \pi \times 2{,}5^2 \times 15 = 93{,}75\pi \approx 294{,}52 \text{ cm}^3 \]
\[ \frac{942{,}4}{294{,}52} \approx 3{,}2 \]

(Avec les valeurs exactes : \(\frac{80 \times 3{,}75\pi}{93{,}75\pi} = \frac{300}{93{,}75} = 3{,}2\).) Trois bouteilles ne suffisent pas, il en faut donc 4 bouteilles de mayonnaise.

Conclusion : Jean doit acheter 8 bouteilles de sauce tomate et 4 bouteilles de mayonnaise.