Corrigé du sujet
Exercice 1 (brevet blanc 2022)
1. On met les deux fractions au même dénominateur 21 : \(\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{21}=\dfrac{12}{21}+\dfrac{5}{21}=\dfrac{17}{21}\). Réponse C.
2. L’urne contient \(3+2+4=9\) boules, dont 4 vertes. De plus, les tirages étant équiprobables, la probabilité d’obtenir une boule verte est \(\dfrac{4}{9}\). Réponse B.
3. Dans une rotation d’angle 90°, la flèche tourne d’un quart de tour autour de O : sa direction passe de verticale à horizontale et sa distance à O est conservée. C’est le cas sur la figure B : la flèche verticale, en haut à gauche de O, devient une flèche horizontale en haut à droite de O (quart de tour dans le sens des aiguilles d’une montre). Sur la figure A, les deux flèches sont horizontales (angle de 180°) ; sur la figure C, la flèche n’a tourné que de 45°. Réponse B.
4. \(117=3\times 39=3\times 3\times 13\), et 3 et 13 sont des nombres premiers. Ensuite, dans la réponse B, 9 n’est pas premier ; dans la réponse C, \(3\times 7\times 7=147\). Réponse A.
5. \((-2)\times (-2)\times (-2)=(-2)^3\), donc \(\dfrac{1}{(-2)^3}=(-2)^{-3}\) par définition d’une puissance d’exposant négatif. Réponse A.
Exercice 2 :
1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(125-87=38\).
L’étendue de la série est de 38 kg.
2. On additionne les 7 masses puis on divise par 7 :
\(\dfrac{113+96+125+87+117+104+101}{7}=\dfrac{743}{7}\approx 106{,}14\).
La masse moyenne de ces tortues est d’environ 106 kg (arrondie à l’unité).
3. On range les masses dans l’ordre croissant : 87 ; 96 ; 101 ; 104 ; 113 ; 117 ; 125.
L’effectif est 7, nombre impair : la médiane est la 4e valeur, soit 104 kg.
Interprétation : au moins la moitié des tortues pèsent 104 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 104 kg ou plus.
4. L’échantillon compte 2 mâles (A-001 et A-005) sur 7 tortues : \(\dfrac{2}{7}\approx 0{,}286\), soit environ 28,6 %.
Comme 28,6 % est supérieur à 20 %, l’affirmation est fausse : les mâles représentent plus de 20 % de l’échantillon.
5. On repère la latitude 20° sur le parallèle situé sous l’équateur (Sud), puis la longitude 45° sur le méridien situé entre 30° et 60° à droite du méridien de Greenwich (Est). Par ailleurs, la croix se place à l’intersection de ce parallèle et de ce méridien, sur l’île à l’est de l’Afrique australe, là où se trouve le point noir de Madagascar sur le planisphère.
Exercice 3 (brevet blanc 2022)
1. a. On part de 2 : \(2+2=4\), puis \(4^2=16\), puis \(16-2^2=16-4=12\).
On obtient bien 12.
b. On part de \(-8\) : \(-8+2=-6\), puis \((-6)^2=36\), puis \(36-(-8)^2=36-64=-28\).
On obtient \(-28\).
2. La cellule B5 doit retirer au contenu de B4 le carré du nombre de départ, qui est en B2. Puis la formule saisie est =B4 − B2 * B2.
3. a. On part de \(x\) : on obtient \(x+2\), puis \((x+2)^2\), puis on retire \(x^2\).
Le résultat est \((x+2)^2-x^2\).
b. On développe avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\((x+2)^2-x^2=x^2+4x+4-x^2=4x+4\).
On a bien \((x+2)^2-x^2=4x+4\).
4. D’après la question 3, le résultat est \(4x+4=4\times (x+1)\).
Si \(x\) est un nombre entier, alors \(x+1\) est aussi un entier, donc \(4\times (x+1)\) est un multiple de 4. Par exemple : 5 donne \(24=4\times 6\), 2 donne \(12=4\times 3\), \(-8\) donne \(-28=4\times (-7)\).
L’affirmation est exacte : pour un entier de départ, le résultat est toujours un multiple de 4.
Exercice 4 :
1. a. Les lignes 3 à 5 tracent trois côtés de même longueur (100 pas) en tournant de 120° à chaque fois : le triangle est équilatéral. Ensuite, les lignes 7 à 9 tracent quatre côtés de même longueur en tournant de 90° : le quadrilatère a quatre côtés égaux et quatre angles droits, c’est un carré. C’est la même chose sur les trois figures.
b. Sur les figures, le côté du carré a la même longueur que le côté du triangle, qui mesure 100 pas. Puis la valeur manquante à la ligne 8 est 100.
c. Après le triangle, le lutin est revenu à son point de départ, au sommet gauche de la base, orienté vers la droite.
- Programme 1 : il avance de 50 pas, jusqu’au milieu de la base, puis trace le carré : le côté gauche du carré part du milieu de la base et passe par le sommet du triangle, c’est la figure B.
- Programme 2 : il avance de 100 pas, jusqu’à l’autre extrémité de la base, puis trace le carré à côté du triangle : c’est la figure C.
- Programme 3 : il tourne de 60° et se retrouve orienté le long du côté gauche du triangle ; le carré est construit sur ce côté : c’est la figure A.
Exercice 4 : (suite)
2. a. Le périmètre du triangle équilatéral est \(3\times 100=300\) pas. De plus, le carré a quatre côtés de longueur \(c\) : il faut \(4\times c=300\), donc \(c=300: 4=75\).
Il faut choisir 75 pas à la ligne 8.
b. Avec 1 cm pour 25 pas, le côté du triangle mesure \(100: 25=4\) cm et celui du carré \(75: 25=3\) cm.
On trace un triangle équilatéral de côté 4 cm. Depuis le sommet gauche de la base, on trace le long du côté gauche du triangle un segment de 3 cm, puis on construit le carré de côté 3 cm sur ce segment, à l’extérieur du triangle (angles droits à l’équerre). Ensuite, le carré ne recouvre donc que les 3 premiers centimètres du côté gauche.
Exercice 5 :
1. La réduction représente 10 % du prix affiché : \(139{,}90\times \dfrac{10}{100}=13{,}99\).
Le montant de la réduction est de 13,99 € (l’étagère a donc coûté 125,91 €).
2. Pendant qu’on relève l’étagère, elle tourne autour du point A. Par ailleurs, le point le plus éloigné de A est C : la hauteur maximale atteinte est la longueur AC (position où [AC] est vertical, point E sur le schéma).
Le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :
\(AC^2=AB^2+BC^2=0{,}80^2+2{,}25^2=0{,}64+5{,}0625=5{,}7025\).
Donc \(AC=\sqrt{5{,}7025}\approx 2{,}388\) m.
Comme \(2{,}388\lt 2{,}40\), l’étagère ne touchera pas le plafond (il reste environ 1 cm).
3. a. Les quatre tablettes sont régulièrement espacées : les points E, G, I et K partagent [C′B′] en 5 segments de même longueur (codage de la figure). Donc \(C^{\prime}E=\dfrac{2{,}25}{5}=0{,}45\).
\(C^{\prime}E=0{,}45\) m.
b. Les tablettes sont horizontales et le montant [C′B′] est vertical, donc (DE) et (AB′) sont toutes deux perpendiculaires à (C′B′) : elles sont parallèles. Puis les points C′, D, A d’une part et C′, E, B′ d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès :
\(\dfrac{C^{\prime}D}{C^{\prime}A}=\dfrac{C^{\prime}E}{C^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{DE}{AB^{\prime}}\), donc \(\dfrac{DE}{0{,}80}=\dfrac{0{,}45}{2{,}25}=\dfrac{1}{5}\).
\(DE=0{,}80: 5=0{,}16\).
La tablette [DE] mesure 0,16 m, soit 16 cm.
c. I est le troisième point de partage : \(C^{\prime}I=3\times 0{,}45=1{,}35\) m. Ensuite, pour les mêmes raisons, (HI) est parallèle à (AB′) et le théorème de Thalès donne :
\(\dfrac{HI}{AB^{\prime}}=\dfrac{C^{\prime}I}{C^{\prime}B^{\prime}}=\dfrac{1{,}35}{2{,}25}=\dfrac{3}{5}\), donc \(HI=\dfrac{3}{5}\times 0{,}80=0{,}48\).
La tablette [HI] mesure 0,48 m, soit 48 cm.
Retour à l’énoncé : Brevet de maths 2022 : sujet blanc corrigé du DNB 2022..
