Exercice 1 :
1. La multiplication est prioritaire : \(\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{5}\times \dfrac{15}{2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{11\times 15}{5\times 2}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{33}{2}=\dfrac{36}{2}=18\). Réponse B.
2. \(0{,}246=2{,}46\times 0{,}1=2{,}46\times 10^{-1}\). Réponse A.
3. L’inverse de 1 est \(\dfrac{1}{1}=1\) car \(1\times 1=1\). Réponse C.
4. Augmenter de 2 %, c’est multiplier par \(1{,}02\) : \(25\times 1{,}02=25{,}5\) L. Réponse B.
5. \(5\,543=23\times 241\) et \(3\,151=23\times 137\). Les deux nombres ont 23 comme diviseur commun (autre que 1) : ils ne sont pas premiers entre eux. Réponse B.
6. \(6-4(x-2)=6-4x+8=14-4x\). Réponse B.
Exercice 2 :
1. On trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Un octogone régulier partage le tour complet en 8 angles au centre égaux : \(\dfrac{360^\circ}{8}=45^\circ\). On place un premier point A sur le cercle, puis, au rapporteur, les points B, C, D, E, F, G, H de sorte que \(\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\dots=\widehat{HOA}=45^\circ\), et on relie les sommets consécutifs.
2. Les sommets de l’octogone régulier sont sur un cercle de centre O. De D à H, on parcourt quatre angles au centre de 45° : \(\widehat{DOH}=4\times 45^\circ=180^\circ\). Les points D, O et H sont donc alignés et [DH] est un diamètre du cercle circonscrit.
Le point A appartient à ce cercle et est distinct de D et de H. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors il est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse. Donc le triangle DAH est rectangle en A.
3. Le triangle OEH est isocèle en O (OE = OH, rayons du cercle), et \(\widehat{EOH}=3\times 45^\circ=135^\circ\) (de E à H en passant par F et G). Ses angles à la base sont égaux : \(\widehat{OEH}=\dfrac{180^\circ-135^\circ}{2}=22{,}5^\circ\).
De même, le triangle OEB est isocèle en O avec \(\widehat{BOE}=3\times 45^\circ=135^\circ\) (de B à E en passant par C et D), donc \(\widehat{OEB}=22{,}5^\circ\).
Le point O est à l’intérieur de l’angle \(\widehat{BEH}\), donc \(\widehat{BEH}=\widehat{OEB}+\widehat{OEH}=22{,}5^\circ+22{,}5^\circ=\) \(45^\circ\).
Exercice 3 :
1. Par lecture graphique, au bout de 20 minutes, Cédric a parcouru 10 km.
2. La courbe atteint l’ordonnée 30 km pour une abscisse d’environ 50 min. Cédric a mis environ 50 minutes pour parcourir les 30 premiers kilomètres.
3. Plus un segment est pentu, plus la vitesse est grande. Calculons les distances parcourues par minute sur chaque partie :
- de 0 à 20 min : 10 km en 20 min, soit 0,5 km/min (30 km/h) ;
- de 20 à 28 min : 8 km en 8 min, soit 1 km/min (60 km/h), la vitesse la plus élevée ;
- de 28 à 66 min : environ 20,5 km en 38 min, soit environ 0,54 km/min (environ 32 km/h) ;
- de 66 à 88 min : environ 4,5 km en 22 min, soit environ 0,2 km/min (environ 12 km/h), la vitesse la plus faible.
La partie la plus rapide est la descente, la plus lente la montée, et les deux parties à vitesse voisine (30 km/h et 32 km/h) sont les portions plates. Le trajet est donc : plat, descente, plat, montée.
4. Sur la première partie, Cédric parcourt 10 km en 20 min, c’est-à-dire en \(\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}\) h.
\[v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{10}{\frac{1}{3}}=10\times 3=30\ \text{km/h}\]
Sa vitesse moyenne sur la première partie est de 30 km/h.
Exercice 4 :
1. a. Le périmètre d’un carré gris de 7 cm de côté est \(4\times 7=\) 28 cm.
1. b. La longueur du rectangle noir est \(30-2\times 7=16\) cm et sa largeur est \(24-2\times 7=10\) cm. Son périmètre vaut \(2\times (16+10)=\) 52 cm.
2. a. On retire deux côtés de carré à chaque dimension du rectangle ABCD : \(L=30-2x\) et \(l=24-2x\) (avec \(0\lt x\lt 12\)).
2. b. \(P=2(L+l)=2\big((30-2x)+(24-2x)\big)=2(54-4x)=\) \(108-8x\).
2. c. La somme des périmètres des quatre carrés gris est \(4\times 4x=16x\). On résout :
\[108-8x=16x \iff 108=24x \iff x=\dfrac{108}{24}=4{,}5\]
La valeur \(4{,}5\) est bien comprise entre 0 et 12. Oui, c’est possible : il faut des carrés de 4,5 cm de côté. Vérification : \(108-8\times 4{,}5=72\) et \(16\times 4{,}5=72\).
Exercice 5 :
1. C est le milieu de [BD] et CD = 3, donc BC = 3. Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [AC] :
\[AC^2=5^2=25 \qquad AB^2+BC^2=4^2+3^2=16+9=25\]
On a \(AC^2=AB^2+BC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
2. Les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires. Or les points A, B, E sont alignés et les points B, C, D aussi, donc (BE) = (AB) et (BD) = (BC). Ainsi (BE) ⊥ (BD) : le triangle BDE est rectangle en B.
3. BD = 2 × BC = 6. Dans le triangle BDE rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
\[ED^2=BD^2+BE^2=6^2+7^2=36+49=85\]
\[ED=\sqrt{85}\approx 9{,}2\]
ED ≈ 9,2 (au dixième près).
Exercice 6 :
Affirmation 1 : fausse. La voiture parcourt 5 m en 1 s, donc \(5\times 3\,600=18\,000\) m, soit 18 km, en 1 h. Sa vitesse est de 18 km/h, exactement celle du coureur : la vitesse du coureur n’est pas strictement supérieure.
Affirmation 2 : fausse. D’après l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) : \((3x-5)^2=9x^2-30x+25\). Contre-exemple : pour \(x=0\), \((3\times 0-5)^2=25\) alors que \(9\times 0^2-25=-25\).
Affirmation 3 : fausse. \(36=2\times 18\), donc 18 divise 36 ; comme 18 est le plus grand diviseur de 18, le PGCD de 18 et 36 est 18, et non 9.
Affirmation 4 : vraie. \(2\times \dfrac{9}{4}=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}\).
Exercice 7 :
1. \(\dfrac{80}{45}=\dfrac{16\times 5}{9\times 5}=\dfrac{16}{9}\). Il s’agit d’un écran de format \(\dfrac{16}{9}\) (on a \(\dfrac{4}{3}=\dfrac{12}{9}\neq\dfrac{16}{9}\)).
2. La longueur et la largeur de l’écran sont perpendiculaires : la diagonale \(d\) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore :
\[d^2=30{,}5^2+22{,}9^2=930{,}25+524{,}41=1\,454{,}66\]
\[d=\sqrt{1\,454{,}66}\approx 38{,}14\ \text{cm}\]
Or 15 pouces valent \(15\times 2{,}54=38{,}1\) cm. Les deux valeurs sont presque égales : la mention « 15 pouces » est bien adaptée.
3. Le format est \(\dfrac{4}{3}\), donc \(\dfrac{14{,}3}{l}=\dfrac{4}{3}\), d’où :
\[l=\dfrac{14{,}3\times 3}{4}=10{,}725\ \text{cm}\]
La largeur de la tablette est d’environ 10,7 cm (au mm près).
Contrôle avec la diagonale : 7 pouces valent \(7\times 2{,}54=17{,}78\) cm et, par le théorème de Pythagore, \(\sqrt{17{,}78^2-14{,}3^2}\approx10{,}6\) cm. Les deux résultats sont très proches ; l’écart d’un millimètre vient des arrondis des dimensions annoncées par le fabricant.
Exercice 8 :
1. Avec 8 : \(8-6=2\) et \(8-2=6\), puis \(2\times 6=12\). Le programme donne bien 12.
De façon générale, en notant \(x\) le nombre de départ, le résultat est \((x-6)(x-2)\).
2. Première proposition : vraie. Avec 4 : \(4-6=-2\) et \(4-2=2\), puis \(-2\times 2=-4\), qui est négatif.
Deuxième proposition : vraie. \(\dfrac{1}{2}-6=-\dfrac{11}{2}\) et \(\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}\), puis \((-\dfrac{11}{2})\times (-\dfrac{3}{2})=\dfrac{33}{4}\).
Troisième proposition : vraie. \((x-6)(x-2)=0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x-6=0\) ou \(x-2=0\), c’est-à-dire \(x=6\) ou \(x=2\). Le programme donne 0 pour exactement deux nombres : 2 et 6.
Exercice 9 :
1. 258 et 1 204 sont tous les deux pairs (leur chiffre des unités est pair) : ils sont divisibles par 2, donc la fraction peut être simplifiée par 2.
2. Algorithme d’Euclide :
\[1\,204=4\times 258+172\]
\[258=1\times 172+86\]
\[172=2\times 86+0\]
Le PGCD est le dernier reste non nul : PGCD(258 ; 1 204) = 86.
3. On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
\[\dfrac{258}{1\,204}=\dfrac{86\times 3}{86\times 14}=\dfrac{3}{14}\]
La fraction irréductible est \(\dfrac{3}{14}\).
Exercice 10 :
Calcul de BC. Le triangle ABC est rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :
\[BC^2=AB^2+AC^2=300^2+400^2=90\,000+160\,000=250\,000\]
\[BC=\sqrt{250\,000}=500\ \text{m}\]
Calcul de CD et DE. Les droites (AE) et (BD) se coupent en C, et les droites (AB) et (DE) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{AB} \quad\text{soit}\quad \dfrac{1\,000}{400}=\dfrac{CD}{500}=\dfrac{DE}{300}\]
\[CD=\dfrac{1\,000\times 500}{400}=1\,250\ \text{m} \qquad DE=\dfrac{1\,000\times 300}{400}=750\ \text{m}\]
Longueur du parcours.
\[AB+BC+CD+DE=300+500+1\,250+750=2\,800\ \text{m}\]
La longueur réelle du parcours ABCDE est de 2 800 m, soit 2,8 km.
