Ce sujet blanc reproduit les conditions de l’épreuve de maths du diplôme national du brevet : sept exercices notés sur 50 points, à traiter en deux heures, comme lors de la session de mai 2022. De plus, il permet aux élèves de 3e de faire le point sur l’ensemble du programme du collège avant l’examen.
Les notions sont variées : étude d’une fonction et lecture graphique à partir de l’aire d’un rectangle, trigonométrie dans un escalier, calculs d’aire et de volume d’une yourte formée d’un cylindre et d’un cône, puis géométrie avec le théorème de Pythagore et sa réciproque, le théorème de Thalès et sa réciproque, un problème d’alignement de points et enfin un programme Scratch qui relie des codes binaires à des portes.
Pour tirer profit de cette épreuve d’entraînement, cherchez chaque exercice seul, chronomètre en main, en rédigeant vos justifications. Ensuite, comparez ensuite votre copie avec le corrigé détaillé placé sous le sujet : chaque question y est résolue pas à pas, avec les calculs et les arrondis demandés. Par ailleurs, vous repérerez ainsi les méthodes à revoir pour aborder sereinement le brevet de maths.
BREVET BLANC DE MATHÉMATIQUES
Session : MAI 2022
Durée de l’épreuve : 2 heures
Notation sur 50 points.
Exercice 1 : ( 12 points) (brevet maths 2022)
1. Dans cet exercice, on considère le rectangle ABCD ci-contre tel que son périmètre soit égal à 32 cm. On appelle \(x\) la longueur AB.
a. Représenter ce rectangle en taille réelle lorsque \(x = 10\) cm.
b. En utilisant le fait que le périmètre du rectangle est de 32 cm, exprimer la longueur BC en fonction de \(x\).
c. En déduire l’aire du rectangle ABCD en fonction de \(x\).
2. On considère la fonction f définie par \(f(x) = x(16 – x)\).
a. Quelle est l’image de 4 par la fonction f ? Quelle est la signification concrète de ce résultat ?
b. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f.
3. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté l’aire du rectangle ABCD en fonction de \(x\).
A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes en donnant des valeurs approchées :
a. Pour quelles valeurs de \(x\) obtient-on une aire de 40 cm² ?
b. Quelle est l’aire maximale de ce rectangle ? Pour quelle valeur de \(x\) ?
4. Le point A(2 ; 28) appartient-il à la courbe représentative de la fonction f ? Justifier par un calcul.
Exercice 2 : (6 points)
Pour accéder à sa mezzanine, Lola doit installer un escalier. (Photo et schéma ci-dessous)
1. Donner une valeur approchée au centimètre près de la longueur AB.
2. Sachant que la hauteur BD d’une marche est de 20 cm, calculer la profondeur DE d’une marche au
millimètre près.
Exercice 3 : (6 points) (brevet maths 2022)
Samia vit dans un appartement dont la surface au sol est de 35 m².
Elle le compare avec une yourte, l’habitat traditionnel mongol.
On modélise cette yourte par un cylindre et un cône.
Rappels :
Aire du disque \(= \pi \times \text{rayon}^2\) ;
Volume du cylindre \(= \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}\) ;
Volume du cône \(= \dfrac{1}{3} \times \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur}\).
1. Montrer que l’appartement de Samia offre une plus petite surface au sol que celle de la yourte.
2. Calculer le volume de la yourte en m³. (On arrondira au dixième de m³)
3. Samia réalise une maquette de cette yourte à l’échelle \(\frac{1}{25}\) . Quelle est la hauteur de la maquette ?
Exercice 4 : (11 points)
Sur la figure ci-contre, le point J appartient au segment [IM] et le point K
appartient au segment [IL], les longueurs sont données en mètres.
1. Montrer que IKJ est un triangle rectangle.
2. Montrer que LM est égal à 3,75 m.
3. Calculer la longueur KM au centimètre près.
Exercice 5 : (4 points) (brevet maths 2022)
Des élèves ont tendu deux cordes entre les points A et D,
puis entre les points B et C.
Les deux cordes se coupent en E.
On sait que EA = 7 m, EB = 13 m, EC = 10 m et ED = 9 m.
Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?
Exercice 6 : (6 points)
La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
Les points E, A et B sont-ils alignés ? Justifiez votre réponse.
Exercice 7 : (7 points) (brevet maths 2022)
Anna a créé un programme avec le logiciel Scratch. Le lutin est situé initialement au point A.
1. Après avoir exécuté ce programme, Anne a saisi le code à 4 chiffres suivant : 0-0-1-0.
A quelle porte le lutin arrivera-t-il ?
2. Proposer un code qui mène à la porte 3.
3. a. Déterminer les six codes qui mènent à la porte 2.
b. Dans chaque cas de la question a, additionner les chiffres du code. Que constate-t-on ?
4. Que représente la somme des chiffres d’un code obtenu après exécution du programme d’Anna ?
Corrigé du sujet
Exercice 1 (brevet maths 2022)
1. a. Si \(x = 10\) cm, alors AB = 10 cm. Puis le demi-périmètre vaut \(32 : 2 = 16\) cm, donc BC = \(16 – 10 = 6\) cm. Ensuite, on trace un rectangle de 10 cm de longueur et 6 cm de largeur (angles droits à l’équerre).
1. b. Le périmètre vaut \(2 \times AB + 2 \times BC = 32\), donc \(AB + BC = 16\), soit \(x + BC = 16\). D’où \(BC = 16 – x\).
1. c. L’aire d’un rectangle est longueur \(\times \) largeur : \(\mathcal{A} = x(16 – x)\) (en cm²).
2. a. \(f(4) = 4 \times (16 – 4) = 4 \times 12 = 48\). Puis l’image de 4 est 48 : lorsque AB = 4 cm, l’aire du rectangle ABCD est de 48 cm².
2. b. On résout \(x(16 – x) = 0\). De plus, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : \(x = 0\) ou \(16 – x = 0\), c’est-à-dire \(x = 16\). Ensuite, les antécédents de 0 sont 0 et 16 (le rectangle est alors « aplati »).
3. a. On trace la droite horizontale d’ordonnée 40 : elle coupe la courbe en deux points d’abscisses environ 3 et 13. Par ailleurs, on obtient une aire de 40 cm² pour \(x \approx 3\) cm ou \(x \approx 13\) cm (valeurs lues sur le graphique ; par le calcul, on trouverait environ 3,1 et 12,9).
3. b. Le sommet de la courbe a pour coordonnées (8 ; 64). Puis l’aire maximale est de 64 cm², obtenue pour \(x = 8\) cm : le rectangle est alors un carré de côté 8 cm.
4. \(f(2) = 2 \times (16 – 2) = 2 \times 14 = 28\). Ensuite, l’image de 2 est bien l’ordonnée 28, donc le point A(2 ; 28) appartient à la courbe de f.
Exercice 2 :
1. Le triangle ABC est rectangle en A. Puis on connaît l’hypoténuse BC = 3,5 m et l’angle \(\widehat{ABC} = 40°\) ; AB est le côté adjacent à cet angle.
\(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}\), donc \(AB = 3{,}5 \times \cos 40° \approx 2{,}681\) m.
AB ≈ 268 cm (au centimètre près).
2. Le triangle BDE est rectangle en D, avec \(\widehat{BED} = 40°\). BD = 20 cm est le côté opposé à l’angle \(\widehat{BED}\) et DE le côté adjacent.
\(\tan \widehat{BED} = \dfrac{BD}{DE}\), donc \(DE = \dfrac{20}{\tan 40°} \approx 23{,}84\) cm.
La profondeur d’une marche est DE ≈ 238 mm (au millimètre près).
Exercice 3 (brevet maths 2022)
1. Le sol de la yourte est un disque de diamètre 7 m, donc de rayon 3,5 m.
\(\text{Aire} = \pi \times 3{,}5^2 = 12{,}25\pi \approx 38{,}5\) m².
Comme \(38{,}5 \gt 35\), l’appartement de Samia a une surface au sol plus petite que celle de la yourte.
2. Le cylindre a pour rayon 3,5 m et pour hauteur 2,5 m :
\(V_{\text{cylindre}} = \pi \times 3{,}5^2 \times 2{,}5 = 30{,}625\pi \approx 96{,}21\) m³.
Le cône a le même rayon et pour hauteur \(4{,}5 – 2{,}5 = 2\) m :
\(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 2 = \dfrac{24{,}5\pi}{3} \approx 25{,}66\) m³.
\(V_{\text{yourte}} = 30{,}625\pi + \dfrac{24{,}5\pi}{3} \approx 121{,}87\) m³, soit environ 121,9 m³ au dixième près.
3. À l’échelle \(\dfrac{1}{25}\), toutes les longueurs sont divisées par 25 : \(4{,}5 : 25 = 0{,}18\) m. De plus, la maquette mesure 18 cm de haut.
Exercice 4 :
1. Dans le triangle IKJ, le plus grand côté est [IJ].
\(IJ^2 = 4^2 = 16\) et \(IK^2 + KJ^2 = 3{,}2^2 + 2{,}4^2 = 10{,}24 + 5{,}76 = 16\).
Comme \(IJ^2 = IK^2 + KJ^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IKJ est rectangle en K.
2. Les droites (KJ) et (LM) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (IL) (angles droits en K et en L), donc elles sont parallèles.
Les points I, K, L d’une part et I, J, M d’autre part sont alignés, avec (KJ) // (LM). D’après le théorème de Thalès :
\(\dfrac{IK}{IL} = \dfrac{IJ}{IM} = \dfrac{KJ}{LM}\), avec \(IL = IK + KL = 3{,}2 + 1{,}8 = 5\) m.
\(\dfrac{3{,}2}{5} = \dfrac{2{,}4}{LM}\), donc \(LM = \dfrac{5 \times 2{,}4}{3{,}2} = 3{,}75\). Ensuite, on a bien LM = 3,75 m.
3. Le triangle KLM est rectangle en L. D’après le théorème de Pythagore :
\(KM^2 = KL^2 + LM^2 = 1{,}8^2 + 3{,}75^2 = 3{,}24 + 14{,}0625 = 17{,}3025\).
\(KM = \sqrt{17{,}3025} \approx 4{,}159\), soit KM ≈ 4,16 m au centimètre près.
Exercice 5 :
Les points A, E, D sont alignés ainsi que les points C, E, B, dans le même ordre. Par ailleurs, on compare les rapports :
\(\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{7}{9}\) et \(\dfrac{EC}{EB} = \dfrac{10}{13}\).
Produits en croix : \(7 \times 13 = 91\) et \(9 \times 10 = 90\). Comme \(91 \neq 90\), on a \(\dfrac{EA}{ED} \neq \dfrac{EC}{EB}\).
Si les droites (AC) et (BD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité de ces rapports. Donc les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.
Exercice 6 :
D’après la figure, le triangle ADE est rectangle en E et le triangle ABC est rectangle en B. Puis les points E, A, B sont alignés si et seulement si \(\widehat{DAE} + \widehat{DAC} + \widehat{CAB} = 180°\).
Angle \(\widehat{DAE}\) : dans le triangle ADE rectangle en E, DE = 3 cm est le côté opposé et AD = 5 cm l’hypoténuse.
\(\sin \widehat{DAE} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\), donc \(\widehat{DAE} \approx 36{,}87°\).
Angle \(\widehat{CAB}\) : dans le triangle ABC rectangle en B, AB = 3 cm est le côté adjacent et AC = 4,2 cm l’hypoténuse.
\(\cos \widehat{CAB} = \dfrac{3}{4{,}2}\), donc \(\widehat{CAB} \approx 44{,}42°\).
Somme : \(36{,}87° + 102° + 44{,}42° \approx 183{,}29°\).
La somme n’est pas égale à 180°, donc l’angle \(\widehat{EAB}\) n’est pas plat : les points E, A et B ne sont pas alignés.
Exercice 7 :
Au départ, le lutin est orienté vers la droite (orientation 90). À chaque chiffre, il se réoriente à 90 puis tourne de 30° : vers le haut (sens inverse des aiguilles d’une montre) si la réponse est 0, vers le bas si la réponse est 1, et avance de 50 pas, c’est-à-dire d’un segment du quadrillage.
1. Code 0-0-1-0 : A → D (monte) → E (monte) → S (descend) → J (monte). Ensuite, le lutin arrive à la porte 1.
2. Pour arriver à la porte 3, il faut descendre trois fois et monter une fois, par exemple le code 0-1-1-1 (A → D → M → O → L). Puis les codes 1-0-1-1, 1-1-0-1 et 1-1-1-0 conviennent aussi.
3. a. Pour arriver à la porte 2, il faut deux « 0 » et deux « 1 ». De plus, les six codes sont :
0-0-1-1 ; 0-1-0-1 ; 0-1-1-0 ; 1-0-0-1 ; 1-0-1-0 ; 1-1-0-0.
3. b. Dans chacun des six cas, la somme des chiffres vaut \(0 + 0 + 1 + 1 = 2\). Ensuite, on constate que la somme des chiffres est toujours égale à 2, le numéro de la porte.
4. Chaque « 1 » fait descendre le lutin d’un rang et chaque « 0 » le fait monter ; la somme des chiffres compte donc le nombre de « 1 », c’est-à-dire le nombre de descentes. La somme des chiffres du code est le numéro de la porte atteinte.
Brevet maths 2022 : méthode de travail
Avant tout, repère ce que l’on te demande de trouver. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec brevet de maths 2016 : sujet blanc.
