Bac S de maths 2018 en France : corrigé à télécharger

MATHÉMATIQUES
– Série S –
Enseignement Obligatoire Coefficient : 7
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
$y=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}-2)$ .
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe
symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On définit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité par les points et ′
comme indiqué sur le graphique.

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe du point M d’abscisse x
strictement positive afin que la largeur de l’arc de chaînette soit égale à sa hauteur.
1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement
positives de l’équation $(E):e^x+e^{-x}-4x-2=0$ .
2. On note la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par :
$f(x)=e^x+e^{-x}-4x-2$ .
2.
a. Vérifier que pour tout , $f(x)=x(\frac{e^x}{x}-4)+e^{-x}-2$ .
2.
b. Déterminer $\lim_{x\to +\infty}f(x)$ .
3. a. On note la fonction dérivée de la fonction . Calculer , où appartient à
l’intervalle $[0;+\infty[$ .
b. Montrer que l’équation équivaut à l’équation : .
c. En posant , montrer que l’équation admet pour unique solution
réelle le nombre $ln(2+\sqrt{5})$ .
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée de :

a. Dresser le tableau de variations de la fonction .
b. Démontrer que l’équation admet une unique solution strictement positive
que l’on notera $\alpha$ .

5. On considère l’algorithme suivant où les variables et sont des nombres réels :

a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables et contiennent respectivement les
valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes
valeurs prises par les variables, à chaque étape de l’algorithme.

b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d’algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l’allure ci-contre.
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement
positive de l’équation :

$(E')\,:\,e^{\frac{t}{39}}+e^{-\frac{t}{39}}-4\frac{t}{39}-2=0$

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population
d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A
L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques
individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la
grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de
constater que :
· 40% de la population est vaccinée ;
· 8% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
· 20% de la population a contracté la grippe.
On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les
événements :
V : « la personne est vaccinée contre la grippe » ;
G : « la personne a contracté la grippe ».
1. a. Donner la probabilité de l’événement G.
b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre
de ses branches.

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
3. La personne choisie n’est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté
la grippe est égale à 0,28.

Partie B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette
ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard habitants de la ville, en admettant que
ce choix se ramène à tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la
probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est
égale à 0,4.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les
interrogées.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?
2. Dans cette question, on suppose que = 40.
a. Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient
vaccinées.
b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit
vaccinée.
3. On interroge un échantillon de 3750 habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose
ici que = 3750.
On note Z la variable aléatoire définie par : $Z=\frac{X-1500}{30}$ .
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire Z peut être approchée par la
loi normale centrée réduite.
En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre 1450 et 1550
individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.

Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats
Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un tétraèdre sont
concourantes, c’est-à-dire d’étudier l’existence d’un point d’intersection de ses quatre hauteurs.
On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant par M
orthogonale au plan (NPQ).

Partie A : Étude de cas particuliers
On considère un cube ABCDEFGH.

On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales » du cube,
sont concourantes.
1. On considère le tétraèdre ABCE.
a. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.
b. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?
2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$ .
a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ACH) est : .
b. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.
c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues
respectivement des sommets A, C et H.
Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?

Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera
appelé un tétraèdre orthocentrique.

Partie B : Une propriété des tétraèdres orthocentriques
Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et
N sont sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans
(NPQ)et (MPQ) respectivement.

1. a. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK) ; on admet de même que
les droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.
b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au
plan (MNK) ? Justifier la réponse.
2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
Ainsi, on obtient la propriété suivante :
Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
(On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet
commun.)

Partie C : Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points :
R(- 3 ; 5 ;2) , S(1;4;- 2 ) , T ( 4; – 1 ; 5) et U ( 4 ; 7 : 3).

Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

Exercice 4 (5 points) Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(0,\vec{u},\vec{v})$ .
On pose et, pour tout entier naturel :
$z_{n+1}=\frac{3-i\sqrt{3}}{4}z_n$ .

On note le point du plan d’affixe .
1. a. Vérifier que :

$\frac{3-i\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}$ .

b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes , et sous forme
exponentielle et vérifier que est un imaginaire pur dont on précisera la partie
imaginaire.
c. Représenter graphiquement les points , , et ; on prendra pour unité le
centimètre.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
$z_n=8\times (\frac{\sqrt{3}}{2})^ne^{-i\frac{n\pi}{6}}$ .
b. Pour tout entier naturel , on pose .
Déterminer la nature et la limite de la suite .
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel ,

$\frac{z_{k+1}-z_k}{z_{k+1}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}i$ .

En déduire que, pour tout entier naturel , on a l’égalité : $A_kA_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{3}}OA_{k+1}$ .
b. Pour tout entier naturel , on appelle la longueur de la ligne brisée reliant dans
cet ordre les points $A_0,A_1,A_2,...,A_{n-1},A_n$ .
On a ainsi : $l_n=A_0A_1+A_1A_2+....+A_{n-1}A_n$ .
Démontrer que la suite est convergente et calculer sa limite.

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