Cette page rassemble la correction complète de la fiche de sixième consacrée aux solides et à leur volume. Chaque solution détaille la démarche : dénombrer des cubes unités couche par couche, appliquer la formule du pavé droit, puis présenter le résultat avec la bonne unité. Pour vérifier les volumes en 6e, le corrigé explique aussi comment utiliser un tableau de conversion, où chaque unité de volume occupe trois colonnes, et rappelle l’égalité essentielle \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\).
Les problèmes de la seconde moitié sont résolus pas à pas : lecture de graduations, comparaison de deux vases, tour construite par empilement, podium, pot à crayons obtenu par soustraction de volumes et planche dont les dimensions sont données dans trois unités différentes. Les derniers exercices reviennent sur la perspective cavalière : ce qui est vrai dans la réalité (faces rectangulaires, angles droits, arêtes parallèles) et ce qui est déformé sur le dessin.
Avant de lire une solution, essaie d’abord de résoudre les énoncés de la fiche sur les volumes sans aide. Compare ensuite ta rédaction à celle proposée ici et repère tes éventuelles erreurs d’unités, les plus fréquentes dans ce chapitre.
L’essentiel : Les exercices de maths en 6ème sur « Volumes et géométrie dans l’espace » sont corrigés un par un, avec la règle utilisée. On le consulte après avoir cherché seul ; corrigé gratuit à télécharger en PDF.
Exercice 1 (volumes 6e corrigé)
Convertir les volumes suivants :
\(5\text{ m}^3=5\,000\text{ dm}^3\)
\(3\,034\text{ cm}^3=3{,}034\text{ dm}^3\)
\(15\,026\text{ mm}^3=15{,}026\text{ cm}^3\)
\(0{,}234\,28\text{ hm}^3=234{,}28\text{ dam}^3\)
\(0{,}234\,28\text{ dam}^3=234\,280\text{ dm}^3=234\,280\text{ L}\)
Exercice 2 :
- a. Le fond mesure 4 cm sur 8 cm : on peut y placer 4 rangées de 8 cubes, soit \(4 \times 8 = 32\) cubes. 32 cubes tiennent sur le fond.
b. La hauteur est de 2,5 cm : on peut empiler seulement 2 couches complètes de cubes d’arête 1 cm, soit \(32 \times 2 = 64\) cubes. On peut disposer 64 cubes entiers ; il reste en haut une demi-couche de 0,5 cm d’épaisseur, qu’on pourrait remplir avec 32 demi-cubes, c’est-à-dire l’équivalent de 16 cubes.
c. Le pavé contient donc 2,5 couches de 32 cubes : \(32 \times 2{,}5 = 80\). Chaque cube a un volume de \(1\text{ cm}^3\), donc le volume du pavé droit est \(80\text{ cm}^3\). - Volume d’un pavé droit = longueur × largeur × hauteur :
\(V = 8 \times 4 \times 2{,}5 = 32 \times 2{,}5 = 80\)
On retrouve bien \(V = 80\text{ cm}^3\).
Exercice 3 (volumes 6e corrigé)
a. On compte les dés sur le dessin : 3 dés sur la longueur, 3 dés sur la largeur et 4 dés en hauteur. Chaque dé mesure 1 cm, donc le pavé droit mesure 3 cm, 3 cm et 4 cm (c’est un pavé à base carrée).
b. \(V = 3 \times 3 \times 4 = 36\), donc \(V = 36\text{ cm}^3\) (le pavé est formé de 36 dés de \(1\text{ cm}^3\)).
Exercice 4 :
a. Sur le fond (2 m sur 4 m), on place \(2 \times 4 = 8\) cubes par couche. La hauteur est de 5,5 m : il y a 5 couches complètes, soit \(5 \times 8 = 40\) cubes, plus une demi-couche formée de 8 demi-cubes, qui équivaut à 4 cubes.
Le pavé droit contient donc l’équivalent de \(40 + 4 = 44\) cubes d’arête 1 m, c’est-à-dire \(8 \times 5{,}5 = 44\) cubes.
Chaque cube a un volume de \(1\text{ m}^3\) : le volume du pavé droit est \(44\text{ m}^3\).
b. \(V = 2 \times 4 \times 5{,}5 = 8 \times 5{,}5 = 44\), donc on retrouve \(V = 44\text{ m}^3\).
Exercice 5 (volumes 6e corrigé)
a. Le fond est formé de 8 rangées de 6 boîtes d’arête 1 dm : il mesure 8 dm sur 6 dm. On a ajouté 5 couches à la première, il y a donc \(1 + 5 = 6\) couches, soit une hauteur de 6 dm.
Le carton mesure 8 dm, 6 dm et 6 dm.
b. \(V = 8 \times 6 \times 6 = 48 \times 6 = 288\), donc \(V = 288\text{ dm}^3\) (le carton contient 288 boîtes de \(1\text{ dm}^3\)).
Exercice 6 :
Pour passer d’une unité de volume à l’unité immédiatement inférieure, on multiplie par 1 000.
a. \(1\text{ cm}^3 = 1\,000\text{ mm}^3\), donc \(12{,}4\text{ cm}^3 = 12{,}4 \times 1\,000\text{ mm}^3\), soit \(12{,}4\text{ cm}^3 = 12\,400\text{ mm}^3\).
b. \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\), donc \(0{,}6\text{ dm}^3 = 600\text{ cm}^3\).
c. \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3\), donc \(2{,}85\text{ m}^3 = 2\,850\,000\text{ cm}^3\).
d. \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\,000\text{ mm}^3\), donc \(50\text{ dm}^3 = 50\,000\,000\text{ mm}^3\).
Exercice 7 (volumes 6e corrigé)
On utilise \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\).
• Pour se laver : \(58\,000\text{ cm}^3 = 58\text{ dm}^3\) (on divise par 1 000), soit 58 L.
Également, • Pour la vaisselle : \(0{,}015\text{ m}^3 = 15\text{ dm}^3\) (on multiplie par 1 000), soit 15 L.
• Pour la lessive : \(20\,000\,000\text{ mm}^3 = 20\,000\text{ cm}^3 = 20\text{ dm}^3\), soit 20 L.
Ces trois usages représentent \(58 + 15 + 20 = 93\) L sur les 150 L consommés chaque jour.
Exercice 8 :
On repère d’abord ce que vaut une petite graduation, en comptant les intervalles entre le fond du récipient (0) et la valeur écrite.
a. Entre le fond et le trait « 10 mL », il y a 5 intervalles : une graduation vaut \(10 : 5 = 2\) mL. L’eau arrive 2 graduations sous 10 mL : \(10 – 2 \times 2 = 6\).
L’éprouvette contient 6 mL, soit \(6\text{ cm}^3\) (car \(1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3\)).
b. Entre le fond et le trait « 1 dL », il y a 5 intervalles : une graduation vaut \(1 : 5 = 0{,}2\) dL, soit 20 mL. L’eau arrive une graduation au-dessus de 1 dL : \(1 + 0{,}2 = 1{,}2\) dL.
Le bécher contient 1,2 dL = 120 mL, soit \(120\text{ cm}^3\).
c. Entre deux nombres écrits (1 L et 2 L), il y a 2 intervalles : une graduation vaut 0,5 L. L’eau arrive une graduation au-dessus de 2 L : \(2 + 0{,}5 = 2{,}5\) L.
Le récipient contient 2,5 L = \(2{,}5\text{ dm}^3\), soit \(2\,500\text{ cm}^3\).
Exercice 9 (volumes 6e corrigé)
Les dimensions doivent être exprimées dans la même unité : 40 mm = 4 cm. Le volume du pavé droit est donc \(V = 5 \times 3 \times 4 = 60\text{ cm}^3\).
• Yasmina : \(40 \times 5 \times 3 = 600\). Elle a mélangé des millimètres et des centimètres : son calcul est faux.
• Louise : \(4 \times 5 \times 3 = 60\) : juste.
• Cyril : \(3 \times 4 \times 5 = 60\) : juste (l’ordre des facteurs ne change pas le produit).
• Valentin : \(20 \times 3 = 60\) : juste, car \(20\) est l’aire de la face avant \((4 \times 5 = 20\text{ cm}^2)\), qu’il multiplie par la profondeur 3 cm.
Les calculs de Louise, Cyril et Valentin donnent le volume \(60\text{ cm}^3\).
Exercice 10 :
On sait que \(1\text{ L} = 1\text{ dm}^3\) et que \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\).
Donc \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\) : les deux gourdes contiennent exactement la même quantité d’eau, même si elles n’ont pas la même forme.
Exercice 11 (volumes 6e corrigé)
Volume du vase B (pavé droit) : \(V_B = 8 \times 8 \times 25 = 64 \times 25 = 1\,600\text{ cm}^3\).
Volume du vase A (cube d’arête 12 cm) : \(V_A = 12 \times 12 \times 12 = 144 \times 12 = 1\,728\text{ cm}^3\).
Comme \(1\,600 \lt 1\,728\), l’eau du vase B tient dans le vase A : cela ne va pas déborder (il restera même \(128\text{ cm}^3\) de libre).
Exercice 12 :
a. \(V = 3{,}6 \times 1{,}8 \times 1{,}5 = 6{,}48 \times 1{,}5 = 9{,}72\), donc le volume d’un pavé est \(9{,}72\text{ m}^3\).
b. Chaque empilement compte 24 pavés de 1,5 m de hauteur : \(24 \times 1{,}5 = 36\). La tour mesure 36 m de haut.
c. Première façon : la tour est formée de \(2 \times 24 = 48\) pavés, donc \(V = 48 \times 9{,}72 = 466{,}56\text{ m}^3\).
Deuxième façon : la tour est un pavé droit à base carrée de 3,6 m de côté (deux pavés de 1,8 m de large côte à côte) et de 36 m de haut, donc \(V = 3{,}6 \times 3{,}6 \times 36 = 12{,}96 \times 36 = 466{,}56\text{ m}^3\).
Le volume de la tour est \(466{,}56\text{ m}^3\).
Exercice 13 :
Les codages (trois petits traits) indiquent que la largeur de chaque marche et la profondeur du podium mesurent toutes 4 dm. Chaque pavé a donc une base carrée de 4 dm sur 4 dm, c’est-à-dire une aire de base de \(16\text{ dm}^2\).
a. Pavé n° 1 : \(4 \times 4 \times 5 = 80\text{ dm}^3\), soit \(80\,000\text{ cm}^3\).
Pavé n° 2 : \(4 \times 4 \times 3{,}6 = 57{,}6\text{ dm}^3\), soit \(57\,600\text{ cm}^3\).
Pavé n° 3 : \(4 \times 4 \times 2{,}4 = 38{,}4\text{ dm}^3\), soit \(38\,400\text{ cm}^3\).
(On multiplie par 1 000 pour passer des \(\text{dm}^3\) aux \(\text{cm}^3\).)
b. \(80\,000 + 57\,600 + 38\,400 = 176\,000\). Le volume du podium est \(176\,000\text{ cm}^3\), soit \(176\text{ dm}^3\).
Exercice 14 :
a. \(V_P = 9 \times 9 \times 12 = 81 \times 12 = 972\), donc \(V_P = 972\text{ cm}^3\).
b. \(V_{P^{\prime}} = 7 \times 7 \times 11 = 49 \times 11 = 539\), donc \(V_{P^{\prime}} = 539\text{ cm}^3\).
c. Le plastique utilisé correspond au pavé \(P\) auquel on retire la partie creusée \(P^{\prime}\) : \(972 – 539 = 433\).
Le pot à crayons nécessite \(433\text{ cm}^3\) de plastique.
Exercice 15 :
On exprime d’abord les trois dimensions en décimètres : 2 m = 20 dm ; 4,2 dm ; 5 cm = 0,5 dm.
\(V = 20 \times 4{,}2 \times 0{,}5 = 84 \times 0{,}5 = 42\), donc \(V = 42\text{ dm}^3\).
Comme \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3\), on divise par 1 000 : \(V = 0{,}042\text{ m}^3\).
Exercice 16 :
a. Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés : [EF], [FB] et [FG]. Le sommet caché est F.
b. Sur le dessin, la face CDHG est un parallélogramme, mais toutes les faces d’un pavé droit sont des rectangles : dans la réalité, CDHG est un rectangle.
c. La face ADHE est un rectangle, donc l’angle \(\widehat{EHD}\) est un angle droit : il mesure 90°.
d. Les arêtes perpendiculaires à [AD] sont celles qui partent de A ou de D sans être dans le prolongement de [AD] : [AB], [AE], [DC] et [DH].
e. • Deux faces parallèles (faces opposées) : par exemple ABCD et EFGH (ou ADHE et BCGF, ou ABFE et DCGH).
• Deux faces perpendiculaires (faces qui ont une arête commune) : par exemple ABCD et ADHE.
Exercice 17 :
a. Les bases sont les deux faces pentagonales superposées : ABCDE et A’B’C’D’E’.
b. Les bases ont 5 côtés, donc le prisme possède 5 faces latérales (ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DEE’D’ et EAA’E’).
c. • La face CDD’C’ est un rectangle dans la réalité, et elle est aussi dessinée comme un rectangle, car elle est placée de face (dans le plan frontal, elle n’est pas déformée).
• La face BCC’B’ est un rectangle dans la réalité, mais elle est représentée par un parallélogramme, car elle est vue en fuyante.
d. Dans un prisme droit, toutes les arêtes latérales ont la même longueur, égale à la hauteur du prisme : [BB’], [CC’], [DD’] et [EE’] ont la même longueur que [AA’].
Ces arêtes sont aussi parallèles entre elles (et perpendiculaires aux bases).
Exercice 18 :
a. Les bases sont les deux faces triangulaires : ABC et DFE. Le codage de l’angle droit en C montre que ce sont des triangles rectangles (rectangles en C et en F).
b. • La face BCFE est un rectangle dans la réalité ; sur la représentation, c’est un parallélogramme.
• La face ACFD est un rectangle dans la réalité ; sur la représentation, c’est aussi un parallélogramme.
Toutes les faces latérales d’un prisme droit sont des rectangles, mais les faces fuyantes sont déformées par la perspective cavalière.
c. L’angle \(\widehat{BEF}\) est un angle de la face BCFE, qui est un rectangle : il mesure 90°.
L’angle \(\widehat{CBE}\) est aussi un angle du rectangle BCFE : il mesure 90°.
Exercice 19 :
1) Le volume d’eau est celui d’un pavé droit de 60 cm sur 30 cm sur 25 cm :
\(V_{eau} = 60 \times 30 \times 25 = 1\,800 \times 25 = 45\,000\)
Donc \(V_{eau} = 45\,000\text{ cm}^3\). Comme \(1\text{ L} = 1\,000\text{ cm}^3\) (c’est-à-dire \(1\text{ dm}^3\)), on divise par 1 000 : l’aquarium contient 45 L d’eau.
2) La contenance totale correspond à la hauteur de 40 cm :
\(V_{total} = 60 \times 30 \times 40 = 1\,800 \times 40 = 72\,000\text{ cm}^3\), soit 72 L.
3) \(72 – 45 = 27\). Il faut encore verser 27 L.
4) \(27 : 5 = 5{,}4\). Avec 5 seaux, on verse seulement \(5 \times 5 = 25\) L, ce qui ne suffit pas (il manque 2 L). Il faut donc 6 seaux au minimum ; le sixième ne sera pas rempli en entier.
Exercice 20 :
1) Un cube a une arête de 2 cm, donc :
- sur la longueur : \(10 : 2 = 5\) cubes ;
- sur la largeur : \(6 : 2 = 3\) cubes ;
- sur la hauteur : \(8 : 2 = 4\) cubes.
Le nombre total de cubes est \(5 \times 3 \times 4 = 60\). La boîte pleine contient 60 cubes.
2) Volume d’un cube : \(2 \times 2 \times 2 = 8\text{ cm}^3\).
Volume de la boîte : \(10 \times 6 \times 8 = 60 \times 8 = 480\text{ cm}^3\).
Contrôle : \(60 \times 8 = 480\). Le volume de la boîte (480 cm³) est bien égal à 60 fois le volume d’un cube (8 cm³).
3) Avec des cubes d’arête 3 cm, on ne peut placer que des cubes entiers :
- sur la longueur : \(10 : 3 = 3{,}33\ldots\), donc 3 cubes ;
- sur la largeur : \(6 : 3 = 2\), donc 2 cubes ;
- sur la hauteur : \(8 : 3 = 2{,}66\ldots\), donc 2 cubes.
Léo peut ranger au maximum \(3 \times 2 \times 2 = 12\) cubes. Le volume d’un cube est \(3 \times 3 \times 3 = 27\text{ cm}^3\), donc les cubes occupent \(12 \times 27 = 324\text{ cm}^3\).
\(480 – 324 = 156\). Il reste 156 cm³ de vide dans la boîte.
Volumes 6e corrigé : méthode de travail
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. De plus, un travail régulier sur volumes 6e corrigé vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Géométrie dans l’espace sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec la bissectrice d’un angle : corrigé des exercices de maths en 6ème en PDF.
