Corrigé du sujet
Exercice 1 (brevet maths 2024)
Question 1. La fonction \(f(x)=-2x+3\) est affine : sa représentation est une droite de coefficient directeur \(-2\) (négatif, donc la droite descend) et d’ordonnée à l’origine 3 (elle passe par le point de coordonnées \((0\,;3)\)). De plus \(f(1{,}5)=-2\times 1{,}5+3=0\) : la droite coupe l’axe des abscisses en 1,5. Seule la droite B convient : réponse B.
Question 2. Le point C de la courbe a pour abscisse 1 et pour ordonnée 2. Puis l’image de 1 est donc 2 : réponse A.
Question 3. La cellule B1 contient la valeur de \(x\) (ici \(-3\)). De plus, pour calculer \(h(x)=-x+1\), la formule doit faire référence à cette cellule afin que, étirée vers la droite, elle devienne =-C1+1, =-D1+1, etc. Ensuite, la réponse A ne donne qu’un nombre fixe et la réponse B utilise une lettre que le tableur ne connaît pas : réponse C.
Question 4. Avec l’identité remarquable \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) où \(a=3x\) et \(b=7\) : \((3x-7)^2=9x^2-2\times 3x\times 7+49=9x^2-42x+49\). Réponse B.
Exercice 2 :
1) a) Le triangle HPS est rectangle en P. D’après le théorème de Pythagore :
\[HS^2=HP^2+PS^2=90^2+140^2=8\,100+19\,600=27\,700\]
Donc \(HS=\sqrt{27\,700}\approx166{,}433\) cm, soit HS ≈ 166,4 cm arrondi au millimètre.
b) La longueur du panneau est 1 700 mm = 170 cm. \(95\,\%\) de cette longueur valent \(\dfrac{95}{100}\times 170=161{,}5\) cm.
Or \(166{,}4\gt161{,}5\) : le support est conforme au conseil du fabricant.
2) Dans le triangle HPS rectangle en P, le côté opposé à l’angle \(\widehat{HSP}\) est [HP] et le côté adjacent est [PS] :
\[\tan\widehat{HSP}=\dfrac{HP}{PS}=\dfrac{90}{140}\]
À la calculatrice, \(\widehat{HSP}\approx32{,}7^\circ\). Cet angle est compris entre 30° et 35° : l’inclinaison permet un fonctionnement optimal.
3) Les droites (UT) et (HP) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (PS) ; elles sont donc parallèles entre elles.
Les points S, T, P d’une part et S, U, H d’autre part sont alignés, et (UT) est parallèle à (HP). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{ST}{SP}=\dfrac{SU}{SH}=\dfrac{UT}{HP}\quad\text{soit}\quad\dfrac{ST}{140}=\dfrac{50}{90}\]
Donc \(ST=\dfrac{140\times 50}{90}=\dfrac{700}{9}\approx77{,}78\) cm, soit ST ≈ 77,8 cm au millimètre près.
4) Une équerre est formée des trois côtés du triangle HPS : \(90+140+166{,}43\approx396{,}43\) cm, c’est-à-dire environ 3,96 m.
- Les trois équerres : \(3\times 396{,}43\approx1\,189{,}3\) cm.
- Les trois barres latérales : \(3\times 400=1\,200\) cm.
- Longueur totale : \(1\,189{,}3+1\,200=2\,389{,}3\) cm, soit environ 23,89 m.
Cinq tubes ne donnent que \(5\times 4{,}5=22{,}5\) m, ce qui est inférieur à 23,89 m : il faut donc au moins 6 tubes.
Six tubes suffisent : chaque barre latérale de 4 m est coupée dans un tube (3 tubes) et chaque équerre, qui mesure environ 3,96 m, est coupée dans un autre tube de 4,5 m (3 tubes). Par ailleurs, les chutes de 0,5 m des tubes des barres latérales peuvent même servir pour les trois barres de renfort de 50 cm.
Budget minimum : \(6\times 37=222\) €. Olivia doit bien prévoir au moins 222 €.
Exercice 3 (brevet maths 2024)
Partie A
1) Les 5 boules sont indiscernables au toucher : chaque boule a la même chance d’être tirée. Deux boules portent la lettre G, donc la probabilité de gagner est \(\dfrac{2}{5}\). \(P(\text{gagner au jeu 1})=\dfrac{2}{5}\).
2) Les 6 secteurs sont identiques, donc les issues 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont équiprobables. Parmi elles, les nombres premiers sont 2, 3 et 5 (1 n’est pas premier ; 4 et 6 sont divisibles par 2). Puis il y a donc 3 issues favorables sur 6 : \(P(\text{gagner au jeu 2})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
3) a) \(\dfrac{2}{5}=0{,}4\) et \(\dfrac{1}{2}=0{,}5\). Comme \(0{,}4\lt0{,}5\), c’est le jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.
b) On garde les 2 boules G. Ensuite, pour que la probabilité soit \(\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{8}\), il faut 8 boules en tout, dont 2 seulement portent la lettre G. Puis il faut donc ajouter 3 boules ne portant pas la lettre G, par exemple 3 boules portant la lettre N (ou 3 boules P, ou 1 N et 2 P…). De plus, on obtient alors \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\).
Partie B
On peut compter toutes les issues de l’expérience : 5 boules possibles et 6 secteurs possibles, soit \(5\times 6=30\) couples (boule ; secteur) équiprobables.
Les couples gagnants associent une des 2 boules G à l’un des 3 secteurs premiers (2, 3 ou 5) : il y en a \(2\times 3=6\).
\[P(\text{gagner})=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}\]
On retrouve le même résultat en multipliant les probabilités le long de la branche gagnante d’un arbre : \(\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{5}\). La probabilité de gagner à la combinaison des deux jeux est \(\dfrac{1}{5}\), soit 0,2 ou 20 %.
Exercice 4 :
1) a) Avec 4 : \(4^2=16\) ; \(16\times 2=32\) ; \(32+4=36\) ; \(36-66=-30\). Le résultat est bien \(-30\).
b) Avec \(-3\) : \((-3)^2=9\) ; \(9\times 2=18\) ; \(18+(-3)=15\) ; \(15-66=-51\). Le résultat est \(-51\).
2) a) La première instruction doit calculer le carré du nombre, c’est-à-dire nombre choisi × nombre choisi, et la deuxième doit multiplier ce carré par 2 :
- A : « nombre choisi » ;
- B : 2.
b) Le script part de 0, applique le programme de calcul, puis ajoute 0,5 au nombre choisi, et cela 20 fois : il teste donc les nombres 0 ; 0,5 ; 1 ; … ; 9,5. Ensuite, le lutin ne parle que lorsque le résultat est égal à 0.
Vérification : \(5{,}5^2=30{,}25\) ; \(30{,}25\times 2=60{,}5\) ; \(60{,}5+5{,}5=66\) ; \(66-66=0\).
5,5 est donc un nombre de départ pour lequel le programme donne 0 : c’est une solution de l’équation « résultat = 0 », la seule parmi les nombres testés.
3) a) On choisit \(x\) ; son carré est \(x^2\) ; multiplié par 2 : \(2x^2\) ; on ajoute le nombre de départ : \(2x^2+x\) ; on soustrait 66. L’expression obtenue est \(2x^2+x-66\).
b) On cherche \(x\) tel que \((2x-11)(x+6)=0\). Par ailleurs, un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
- \(2x-11=0\) donne \(2x=11\), donc \(x=\dfrac{11}{2}=5{,}5\) ;
- \(x+6=0\) donne \(x=-6\).
Le résultat du programme est égal à 0 pour \(x=5{,}5\) et pour \(x=-6\). Puis le script de Lucie n’a pas trouvé \(-6\) car il ne teste que des nombres compris entre 0 et 9,5.
Exercice 5 :
1) On lit les longueurs sur la figure grâce aux codages.
- Segments : [DE] et [HI] mesurent 90 m (trois traits) ; [FG], [JK] et [LA] mesurent 60 m (deux traits, comme [LA] qui est donné) ; [BC] mesure 120 m. Total : \(90+90+60+60+60+120=480\) m.
- Quarts de cercle EF, GH, KL et AB : ils ont tous un rayon de 30 m. Quatre quarts de cercle forment un cercle entier : \(2\times \pi\times 30=60\pi\) m.
- Demi-cercles CD et IJ : leur rayon est codé par deux traits, donc il mesure 60 m (diamètre 120 m). Deux demi-cercles forment un cercle entier : \(2\times \pi\times 60=120\pi\) m.
\[L=480+60\pi+120\pi=480+180\pi\approx1\,045{,}49\text{ m}\]
La longueur de la piste est bien d’environ 1 045 m, arrondie à l’unité.
2) Le professionnel parcourt 1 045 m en 60 s :
\[v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{1\,045}{60}\approx17{,}416\ldots\]
Sa vitesse moyenne est d’environ 17,42 m/s.
3) L’amateur parcourt 1 045 m, soit 1,045 km, en 72 s. Or \(72\text{ s}=\dfrac{72}{3\,600}\text{ h}=0{,}02\text{ h}\).
\[v=\dfrac{1{,}045}{0{,}02}=52{,}25\text{ km/h}\]
Comme \(52{,}25\lt60\), l’amateur respecte les règles de sécurité. (Avec la longueur exacte \(480+180\pi\) m, on trouve environ 52,27 km/h : la conclusion est la même.)
4) a) \(60=2\times 2\times 3\times 5=2^2\times 3\times 5\) et \(72=2\times 2\times 2\times 3\times 3=2^3\times 3^2\). \(60=2^2\times 3\times 5\) et \(72=2^3\times 3^2\).
b) Le professionnel repasse sur la ligne de départ toutes les 60 s et l’amateur toutes les 72 s. Ensuite, ils s’y retrouvent ensemble au bout d’une durée qui est à la fois un multiple de 60 et un multiple de 72 ; la première fois correspond au plus petit multiple commun.
Il doit contenir tous les facteurs premiers des deux décompositions avec le plus grand exposant : \(2^3\times 3^2\times 5=8\times 9\times 5=360\).
Ils se retrouveront pour la première fois ensemble sur la ligne de départ au bout de 360 s, soit 6 minutes.
c) \(360: 60=6\) et \(360: 72=5\). Le professionnel aura effectué 6 tours et l’amateur 5 tours.
Retour à l’énoncé : Brevet de maths 2024 blanc n° 1 : sujet et corrigé en PDF..
