Corrigé du contrôle de maths spé : théorème spectral et matrices positives

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

1. Version géométrique. Soit \(E\) un espace euclidien et \(u \in \mathcal{L}(E)\) autoadjoint, c’est-à-dire tel que \(\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle\) pour tous \(x, y \in E\). Alors \(E\) est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de \(u\) ; autrement dit, il existe une base orthonormée de \(E\) formée de vecteurs propres de \(u\).

   Version matricielle. Pour toute \(S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})\), il existe \(P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})\) et \(D\) diagonale réelle telles que \(S = P D P^{-1} = P D\, {^t P\).

2. Supposons \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Soit \(\lambda \in \operatorname{Sp}(S)\) et \(x \neq 0\) un vecteur propre associé. Alors \(\langle Sx, x \rangle = \lambda \|x\|^2 \geq\, 0\), et comme \(\|x\|^2 > 0\), on obtient \(\lambda \geq\, 0\).

   Réciproquement, supposons \(\operatorname{Sp}(S) \subset \mathbb{R}_+\). D’après le théorème spectral, \(S = P D\, {^t P\) avec \(P\) orthogonale et \(D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), les \(\lambda_i\) étant les valeurs propres de \(S\). Soit \(x \in \mathbb{R}^n\) ; posons \(y = {^t P x\). Alors

   \[\langle Sx, x \rangle = {^t x P D\, {^t P x = {^t y D y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \geq\, 0.\]

   Ainsi \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives.

3. Caractérisation : \(S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) si et seulement si \(\operatorname{Sp}(S) \subset \mathbb{R}_+^*\).

   Si \(S\) est définie positive et \(Sx = \lambda x\) avec \(x \neq 0\), alors \(\lambda \|x\|^2 = \langle Sx, x \rangle > 0\), donc \(\lambda > 0\). Réciproquement, si tous les \(\lambda_i\) sont strictement positifs et \(x \neq 0\), alors \(y = {^t P x \neq 0\) car \({^t P\) est inversible ; donc au moins un \(y_i\) est non nul et \(\sum \lambda_i y_i^2 > 0\).

Barème : a) 0,5 point par version correctement énoncée (base orthonormée exigée) ; b) 0,75 point pour le sens direct, 1,25 point pour la réciproque avec le changement de variable \(y = {^t P x\) ; c) 0,5 point pour l’énoncé, 0,5 point pour la preuve.

Exercice 2 : Diagonalisation orthogonale d’une matrice symétrique (4 points)

1. La matrice \(A\) est réelle et symétrique (\({^t A = A\)). D’après le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\).

2. On développe \(\det(A – \lambda I_3)\) selon la première ligne :

   \[\det(A – \lambda I_3) = (2 – \lambda)[(1 – \lambda)(-\lambda) – 4] + 2 \times (2\lambda) = (2 – \lambda)(\lambda^2 – \lambda – 4) + 4\lambda.\]

   En développant, on trouve \(-\lambda^3 + 3\lambda^2 + 6\lambda – 8\). Donc \(\chi_A(\lambda) = \lambda^3 – 3\lambda^2 – 6\lambda + 8\). Le réel \(1\) est racine évidente, et la division donne \(\chi_A(\lambda) = (\lambda – 1)(\lambda^2 – 2\lambda – 8) = (\lambda – 1)(\lambda – 4)(\lambda + 2)\).

   Les valeurs propres de \(A\) sont \(4\), \(1\) et \(-2\). Contrôle : leur somme vaut \(3 = \operatorname{tr}(A)\).

3. Chaque valeur propre est simple, donc chaque sous-espace propre est une droite.

   Pour \(\lambda = 4\) : le système \((A – 4I_3)X = 0\) donne \(-2x – 2y = 0\) et \(-2y – 4z = 0\), soit \(x = -y\) et \(y = -2z\). On obtient \(E_4 = \operatorname{Vect}(2, -2, 1)\).

   Pour \(\lambda = 1\) : on trouve \(x = 2y\) et \(z = -2y\), d’où \(E_1 = \operatorname{Vect}(-2, -1, 2)\).

   Pour \(\lambda = -2\) : on trouve \(y = 2x\) et \(z = y\), d’où \(E_{-2} = \operatorname{Vect}(1, 2, 2)\).

   Ces trois vecteurs sont deux à deux orthogonaux, comme le prévoit le théorème spectral (par exemple \((2, -2, 1) \cdot (-2, -1, 2) = -4 + 2 + 2 = 0\)). Chacun a pour norme \(3\). En les normant, on obtient

   \[P = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 -2 1 \\ -2 -1 2 \\ 1 2 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 4 0 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 -2 \end{pmatrix}.\]

   La matrice \(P\) est orthogonale et \(A = P D\, {^t P\).

4. La matrice \(A\) admet la valeur propre \(-2 < 0\). D’après l’exercice 1, \(A\) n’est donc pas positive : par exemple \(\langle A v, v \rangle = -18\) pour \(v = (1, 2, 2)\).

   Ensuite, \(A + c I_3 = P (D + c I_3)\, {^t P\) est symétrique, de valeurs propres \(4 + c\), \(1 + c\) et \(c – 2\). Elle est définie positive si et seulement si ces trois réels sont strictement positifs, c’est-à-dire si et seulement si \(c > 2\). L’ensemble cherché est \(]2, +\infty[\).

Barème : a) 0,5 point (symétrie réelle et nom du théorème) ; b) 0,5 point pour le calcul du déterminant, 0,5 point pour la factorisation ; c) 0,25 point par sous-espace propre, 0,75 point pour P orthogonale (normalisation) et D ; d) 0,5 point pour la non-positivité, 0,5 point pour l’intervalle.

Exercice 3 : Matrices de Gram (3 points)

1. On a \({^t S = {^t A\, {^t({^t A) = {^t A A = S\), donc \(S\) est symétrique. De plus, pour tout \(x \in \mathbb{R}^n\),

   \[\langle Sx, x \rangle = {^t x\, {^t A A x = {^t(Ax)(Ax) = \|Ax\|^2 \geq\, 0.\]

   Donc \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\).

2. Si \(Ax = 0\), alors \(Sx = {^t A (Ax) = 0\) : ainsi \(\ker A \subset \ker S\). Inversement, si \(Sx = 0\), alors \(\|Ax\|^2 = \langle Sx, x \rangle = 0\), donc \(Ax = 0\). Ainsi \(\ker S = \ker A\).

   Comme \(S\) est positive, ses valeurs propres sont positives. Par conséquent, \(S\) est définie positive si et seulement si \(0 \notin \operatorname{Sp}(S)\), c’est-à-dire \(\ker S = \{0\}\). Cela équivaut à \(\ker A = \{0\}\), donc à l’inversibilité de \(A\) (matrice carrée). Ainsi \(S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) si et seulement si \(A \in GL_n(\mathbb{R})\).

3. Soit \(S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Par le théorème spectral, \(S = P D\, {^t P\) avec \(P\) orthogonale et \(D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), où \(\lambda_i \geq\, 0\). Posons \(\Delta = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})\) et \(B = \Delta\, {^t P\). Alors

   \[{^t B B = P \Delta \Delta\, {^t P = P D\, {^t P = S.\]

   Toute matrice symétrique positive s’écrit donc \({^t B B\).

Erreur fréquente : écrire « \(S\) est inversible donc définie positive » sans rappeler d’abord que \(S\) est positive ; une matrice symétrique inversible peut avoir des valeurs propres négatives.

Barème : a) 0,5 point pour la symétrie, 0,5 point pour l’identité avec \(\|Ax\|^2\) ; b) 0,5 point pour l’égalité des noyaux, 0,5 point pour l’équivalence ; c) 1 point (construction de \(B\) et vérification).

Exercice 4 : Quotient de Rayleigh (3 points)

1. D’après le théorème spectral, il existe une base orthonormée \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) telle que \(S e_i = \lambda_i e_i\) pour tout \(i\). Soit \(x = \sum x_i e_i\). Par linéarité, \(Sx = \sum \lambda_i x_i e_i\). Comme la base est orthonormée, on obtient

   \[\langle Sx, x \rangle = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 \quad \text{et} \quad \|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2.\]

   Puisque \(\lambda_1 \leq\, \lambda_i \leq\, \lambda_n\) et \(x_i^2 \geq\, 0\), on en déduit \(\lambda_1 \sum x_i^2 \leq\, \sum \lambda_i x_i^2 \leq\, \lambda_n \sum x_i^2\). Donc \(\lambda_1 \|x\|^2 \leq\, \langle Sx, x \rangle \leq\, \lambda_n \|x\|^2\).

2. Pour \(\|x\| = 1\), on a \(\langle Sx, x \rangle \leq\, \lambda_n\), avec égalité pour \(x = e_n\). Le maximum existe donc et vaut \(\lambda_n\). De plus, l’égalité équivaut à \(\sum (\lambda_n – \lambda_i) x_i^2 = 0\). C’est une somme de termes positifs, donc \(x_i = 0\) dès que \(\lambda_i < \lambda_n\). Le maximum est atteint exactement aux vecteurs unitaires de \(E_{\lambda_n}(S)\).

3. Pour \(X = (x, y, z)\), on a \({^t X A X = 2x^2 + y^2 + 2 \times (-2)xy + 2 \times (-2)yz = q(x, y, z)\), où \(A\) est la matrice de l’exercice 2. Ses valeurs propres extrêmes sont \(-2\) et \(4\).

   Sur la sphère unité, le maximum de \(q\) vaut \(4\), atteint en \(\pm \frac{1}{3}(2, -2, 1)\) ; le minimum vaut \(-2\), atteint en \(\pm \frac{1}{3}(1, 2, 2)\). Vérification : \(q(2, -2, 1) = 8 + 4 + 16 + 8 = 36 = 4 \times 9\).

Barème : a) 0,5 point pour la base orthonormée de vecteurs propres, 1 point pour les deux expressions et l’encadrement ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour la matrice de q, 0,5 point pour les extremums et les points.

Exercice 5 : Problème : racine carrée et décomposition polaire (6 points)

Existence et unicité de la racine carrée

1. Par le théorème spectral, \(S = P D\, {^t P\) avec \(P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})\) et \(D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\). Comme \(S\) est positive, les \(\lambda_i\) sont positifs (exercice 1). Posons \(R = P \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})\, {^t P\).

   Alors \(R\) est symétrique, et ses valeurs propres \(\sqrt{\lambda_i}\) sont positives : \(R \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})\). Enfin \(R^2 = P D\, {^t P = S\), car \({^t P P = I_n\). La matrice \(R\) convient.

2. On a \(R^{\prime} S = R^{\prime 3} = S R^{\prime}\) : les matrices \(R^{\prime}\) et \(S\) commutent. Soit alors \(x \in E_\lambda(S)\). On calcule \(S(R^{\prime} x) = R^{\prime}(Sx) = \lambda R^{\prime} x\), donc \(R^{\prime} x \in E_\lambda(S)\) : chaque sous-espace propre de \(S\) est stable par \(R^{\prime}\).

   Notons \(r\) l’endomorphisme induit par \(R^{\prime}\) sur \(E_\lambda(S)\). Il est autoadjoint pour le produit scalaire restreint, car \(R^{\prime}\) est symétrique. Par le théorème spectral, \(r\) est donc diagonalisable. Si \(\mu\) est une valeur propre de \(r\) et \(x \neq 0\) un vecteur propre, alors \(\mu \|x\|^2 = \langle R^{\prime} x, x \rangle \geq\, 0\), donc \(\mu \geq\, 0\). De plus, \(r^2 = \lambda \operatorname{id}\), donc \(\mu^2 = \lambda\), et finalement \(\mu = \sqrt{\lambda}\).

   Ainsi \(r\) est diagonalisable avec pour seule valeur propre \(\sqrt{\lambda}\) : \(r = \sqrt{\lambda}\, \operatorname{id}\). Le même raisonnement s’applique à \(R\). Par conséquent, \(R\) et \(R^{\prime}\) coïncident sur chaque \(E_\lambda(S)\). Or \(S\) est diagonalisable, donc \(\mathbb{R}^n\) est la somme de ces sous-espaces. On conclut que \(R^{\prime} = R\) : la racine carrée positive est unique.

Décomposition polaire

3. Existence. Posons \(S = {^t M M\). D’après l’exercice 3, \(S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\), car \(M\) est inversible. Soit \(R\) sa racine carrée positive. Ses valeurs propres \(\sqrt{\lambda_i}\) sont strictement positives, donc \(R \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\) et \(R\) est inversible. Posons \(O = M R^{-1}\). Comme \(R^{-1}\) est symétrique,

   \[{^t O O = R^{-1}\, {^t M M R^{-1} = R^{-1} R^2 R^{-1} = I_n.\]

   Donc \(O \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})\) et \(M = OR\).

   Unicité. Si \(M = OR\) avec \(O\) orthogonale et \(R \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})\), alors \({^t M M = {^t R\, {^t O O R = R^2\). Ainsi \(R\) est une racine carrée positive de \({^t M M\) ; par la question b, elle est unique. Ensuite \(O = M R^{-1}\) est imposée. Le couple \((O, R)\) existe et il est unique.

4. On calcule \({^t M M = \begin{pmatrix} 1 -2 \\ 2 -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 2 \\ -2 -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 4 \\ 4 5 \end{pmatrix}\). Cette matrice a pour valeurs propres \(9\), de vecteur propre \((1, 1)\), et \(1\), de vecteur propre \((1, -1)\). Sa racine carrée positive est donc

   \[R = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 1 1 \\ 1 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 -1 \\ -1 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}.\]

   On vérifie que \(R^2 = \begin{pmatrix} 5 4 \\ 4 5 \end{pmatrix}\). Ensuite \(R^{-1} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 -1 \\ -1 2 \end{pmatrix}\), puis

   \[O = M R^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 3 \\ -3 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 1 \\ -1 0 \end{pmatrix}.\]

   Ainsi \(M = OR\) avec \(R = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 1 2 \end{pmatrix}\) et \(O\), de déterminant \(1\), la rotation d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).

5. Pour \(\|x\| = 1\), on a \(\|Mx\|^2 = \langle {^t M M x, x \rangle\). D’après l’exercice 4 appliqué à \({^t M M\), de valeurs propres \(1\) et \(9\), cette quantité est comprise entre \(1\) et \(9\), et ces bornes sont atteintes. Donc \(\max \|Mx\| = 3\), atteint en \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)\), et \(\min \|Mx\| = 1\), atteint en \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)\).

   Géométriquement, \(R\) transforme le cercle unité en une ellipse de demi-axes \(3\) (direction \((1, 1)\)) et \(1\) (direction \((1, -1)\)). Ensuite, \(O\) la fait tourner d’un quart de tour dans le sens indirect. L’image du cercle unité par \(M\) est donc une ellipse de demi-grand axe \(3\) dirigé par \((1, -1)\) et de demi-petit axe \(1\) dirigé par \((1, 1)\).

   

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour la commutation et la stabilité, 0,75 point pour l’étude de l’endomorphisme induit, 0,25 point pour la conclusion par somme directe ; c) 1 point pour l’existence (dont \(O\) orthogonale), 0,5 point pour l’unicité ; d) 0,5 point pour R, 0,5 point pour O et sa nature ; e) 0,5 point pour les extremums, 0,5 point pour l’ellipse.

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Après le corrigé du contrôle : théorème spectral et matrices positives

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