Corrigé du contrôle de maths L3 : anneaux, idéaux et polynômes irréductibles

Exercice 1 : Question de cours : idéaux premiers et maximaux (3 points)

1. Un idéal \(I \neq A\) est premier si, pour tous \(a, b \in A\), la condition \(a\,b \in I\) entraîne \(a \in I\) ou \(b \in I\). Il est maximal s’il n’existe aucun idéal \(J\) tel que \(I \subsetneq J \subsetneq A\).

   Supposons d’abord \(I\) maximal. Comme \(I \neq A\), l’anneau \(A/I\) n’est pas nul. Soit \(\,\overline{x} \neq \,\overline{0}\), c’est-à-dire \(x \notin I\). L’idéal \(I + x\,A\) contient strictement \(I\), donc il est égal à \(A\) par maximalité. Il existe alors \(i \in I\) et \(a \in A\) tels que \(1 = i + x\,a\). Ainsi \(\,\overline{x}\,\,\overline{a} = \,\overline{1}\) : \(A/I\) est un corps.

   Réciproquement, supposons que \(A/I\) soit un corps. Soit \(J\) un idéal tel que \(I \subsetneq J\), et \(x \in J \setminus I\). Alors \(\,\overline{x}\) est inversible : il existe \(a \in A\) et \(i \in I\) tels que \(x\,a = 1 + i\). Donc \(1 = x\,a – i \in J\), d’où \(J = A\). Ainsi \(I\) est maximal.

2. Si \(I\) est maximal, \(A/I\) est un corps d’après a). Or un corps est intègre : si \(\,\overline{a}\,\,\overline{b} = \,\overline{0}\) avec \(\,\overline{a} \neq \,\overline{0}\), on multiplie par \(\,\overline{a}^{-1}\) et on obtient \(\,\overline{b} = \,\overline{0}\). Donc \(A/I\) est intègre. Par conséquent \(I\) est premier.

Barème : a) 0,5 point pour les définitions, 0,75 point pour chaque sens de l’équivalence ; b) 0,5 point pour « un corps est intègre », 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 2 : Les idéaux de Z/12Z (3 points)

1. Soit \(J\) un idéal de \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\). Son image réciproque \(\pi^{-1}(J)\) est un idéal de \(\mathbb{Z}\) qui contient \(12\,\mathbb{Z}\). Or \(\mathbb{Z}\) est principal, donc \(\pi^{-1}(J) = d\,\mathbb{Z}\) avec \(d \geq\, 1\). De plus, \(12 \in d\,\mathbb{Z}\) signifie que \(d\) divise 12. Comme \(\pi\) est surjective, \(J = \pi(\pi^{-1}(J)) = \pi(d\,\mathbb{Z})\).

   Réciproquement, l’image d’un idéal par un morphisme surjectif est un idéal. Enfin, deux diviseurs distincts donnent deux idéaux distincts, car \(\pi^{-1}(\pi(d\,\mathbb{Z})) = d\,\mathbb{Z} + 12\,\mathbb{Z} = d\,\mathbb{Z}\).

   Les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. On obtient six idéaux :

   \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ; \((\,\overline{2}) = \{\,\overline{0}, \,\overline{2}, \,\overline{4}, \,\overline{6}, \,\overline{8}, \overline{10}\}\) ; \((\,\overline{3}) = \{\,\overline{0}, \,\overline{3}, \,\overline{6}, \,\overline{9}\}\) ; \((\,\overline{4}) = \{\,\overline{0}, \,\overline{4}, \,\overline{8}\}\) ; \((\,\overline{6}) = \{\,\overline{0}, \,\overline{6}\}\) ; \(\{\,\overline{0}\}\).

2. Le morphisme composé \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/(\,\overline{d})\) est surjectif, de noyau \(d\,\mathbb{Z}\). Le premier théorème d’isomorphisme donne donc \((\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/(\,\overline{d}) \simeq \mathbb{Z}/d\,\mathbb{Z}\).

   Pour \(d \neq 1\), l’anneau \(\mathbb{Z}/d\,\mathbb{Z}\) est intègre si et seulement si \(d\) est premier, et c’est alors un corps. Par exemple, \(\{\,\overline{0}\}\) n’est pas premier, car \(\,\overline{3} \times \,\overline{4} = \,\overline{0}\) dans \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\).

   Les idéaux premiers sont \((\,\overline{2})\) et \((\,\overline{3})\), et ce sont aussi les idéaux maximaux.

Barème : a) 1 point pour la correspondance, 0,5 point pour la liste ; b) 0,5 point pour le quotient, 1 point pour les idéaux premiers et maximaux.

Exercice 3 : Idéaux de Z[X] et anneau quotient R[X]/(X²+1) (4 points)

1. L’évaluation \(\operatorname{ev}_0 : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}\), \(P \mapsto P(0)\), est un morphisme d’anneaux. Il est surjectif, car l’entier \(n\) est l’image du polynôme constant \(n\).

   Calculons son noyau. Si \(P = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n\), alors \(P(0) = 0\) équivaut à \(a_0 = 0\), donc à \(P = X\,Q\) avec \(Q \in \mathbb{Z}[X]\). Ainsi \(\operatorname{Ker}(\operatorname{ev}_0) = (X)\). Le premier théorème d’isomorphisme donne \(\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}\).

   Or \(\mathbb{Z}\) est intègre sans être un corps, car 2 n’y est pas inversible. D’après l’exercice 1, \((X)\) est premier mais n’est pas maximal. On a d’ailleurs \((X) \subsetneq (2, X) \subsetneq \mathbb{Z}[X]\).

2. Considérons \(\psi : \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), qui associe à \(P\) la classe de \(P(0)\) modulo 2. C’est un morphisme surjectif.

   Son noyau est formé des \(P\) dont le coefficient constant est pair. Un tel \(P\) s’écrit \(P = 2k + X\,Q\), donc il appartient à \((2, X)\). Inversement, tout élément \(2\,U + X\,V\) de \((2, X)\) a un coefficient constant pair. Ainsi \(\operatorname{Ker}\psi = (2, X)\) et \(\mathbb{Z}[X]/(2, X) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\), qui est un corps. Donc \((2, X)\) est maximal.

3. L’évaluation \(\operatorname{ev}_i : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{C}\), \(P \mapsto P(i)\), est un morphisme d’anneaux. Il est surjectif, car \(a + b\,i\) est l’image de \(a + b\,X\).

   Pour le noyau, effectuons la division euclidienne \(P = (X^2 + 1)\,Q + a + b\,X\), avec \(a, b\) réels. Comme \(i^2 + 1 = 0\), on obtient \(P(i) = a + b\,i\). Ainsi \(P(i) = 0\) équivaut à \(a = b = 0\), c’est-à-dire à \(X^2 + 1 \mid P\). Le noyau est donc \((X^2 + 1)\).

   Par le premier théorème d’isomorphisme, \(\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1) \simeq \mathbb{C}\).

Barème : a) 0,5 point pour le morphisme, 0,5 point pour le noyau, 0,5 point pour premier non maximal ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour la surjectivité, 0,5 point pour le noyau, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 4 : L’anneau des entiers de Gauss (5 points)

1. La conjugaison est multiplicative, donc \(N(z\,w) = z\,w\,\overline{z\,w} = z\,\,\overline{z}\,w\,\,\overline{w} = N(z)\,N(w)\).

   Si \(u\,v = 1\), alors \(N(u)\,N(v) = N(1) = 1\), avec \(N(u), N(v)\) entiers naturels. Donc \(N(u) = 1\), soit \(a^2 + b^2 = 1\). Cela donne \(u \in \{1, -1, i, -i\}\). Réciproquement, ces quatre éléments sont inversibles, puisque \(i \times (-i) = 1\). Les inversibles de \(\mathbb{Z}[i]\) sont \(\pm 1\) et \(\pm i\).

2. Soit \(z \in \mathbb{Z}[i]\) et \(w \neq 0\). Écrivons \(\dfrac{z}{w} = x + i\,y\) avec \(x, y\) rationnels. On choisit des entiers \(a\) et \(b\) tels que \(|x – a| \leq\, \frac{1}{2}\) et \(|y – b| \leq\, \frac{1}{2}\). On pose ensuite \(q = a + i\,b\) et \(r = z – q\,w\).

   

   D’une part, \(r \in \mathbb{Z}[i]\), car \(z\) et \(q\,w\) y sont. D’autre part, \(N(r) = |w|^2 | \dfrac{z}{w} – q |^2 \leq\, N(w) ( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} ) = \dfrac{N(w)}{2}\). Donc \(N(r) < N(w)\). Ainsi \(\mathbb{Z}[i]\) est euclidien pour \(N\).

3. On a \(5 = (2 + i)(2 – i)\) et \(13 = (3 + 2i)(3 – 2i)\).

   Montrons que \(2 + i\) est irréductible. Si \(2 + i = u\,v\), alors \(N(u)\,N(v) = 5\). Comme 5 est premier, \(N(u) = 1\) ou \(N(v) = 1\), donc \(u\) ou \(v\) est inversible. Le même argument s’applique à \(2 – i\) (norme 5) et à \(3 \pm 2i\) (norme 13, premier). Les facteurs ne sont pas inversibles, car leur norme diffère de 1.

   Donc \(5 = (2 + i)(2 – i)\) et \(13 = (3 + 2i)(3 – 2i)\) sont des décompositions en irréductibles. En particulier, 5 et 13 ne sont pas irréductibles dans \(\mathbb{Z}[i]\).

4. On a \(N(3) = 9\). Supposons \(3 = u\,v\) avec \(u\) et \(v\) non inversibles. Alors \(N(u)\,N(v) = 9\) et \(N(u) \neq 1\), \(N(v) \neq 1\). Donc \(N(u) = 3\), soit \(a^2 + b^2 = 3\).

   Or un carré est congru à 0 ou 1 modulo 4. Une somme de deux carrés est donc congrue à 0, 1 ou 2 modulo 4, jamais à 3. C’est absurde. Donc 3 est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\).

Barème : a) 0,5 point pour la multiplicativité, 0,5 point pour les inversibles ; b) 0,5 point pour le choix de q, 1 point pour la majoration de N(r) ; c) 0,5 point pour les décompositions, 1 point pour les justifications par la norme ; d) 1 point.

Erreur fréquente : conclure que 5 est irréductible dans \(\mathbb{Z}[i]\) parce qu’il est premier dans \(\mathbb{Z}\).

Exercice 5 : Problème : irréductibilité de polynômes à coefficients entiers (5 points)

1. Critère d’Eisenstein. Soit \(P = a_n X^n + \cdots + a_1 X + a_0 \in \mathbb{Z}[X]\), avec \(n \geq\, 1\). On suppose qu’il existe un nombre premier \(p\) tel que \(p\) ne divise pas \(a_n\), \(p\) divise \(a_0, \ldots, a_{n-1}\) et \(p^2\) ne divise pas \(a_0\). Alors \(P\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

   Pour \(X^5 – 6X + 3\), on prend \(p = 3\). En effet, 3 ne divise pas 1, 3 divise \(0\), \(-6\) et \(3\), et 9 ne divise pas 3. Donc \(X^5 – 6X + 3\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

2. On a \((X – 1)\,\Phi = X^5 – 1\). En remplaçant \(X\) par \(X + 1\), on obtient \(X\,\Phi(X + 1) = (X + 1)^5 – 1\). La formule du binôme donne alors :
   \[\Phi(X + 1) = X^4 + 5X^3 + 10X^2 + 10X + 5.\]

   Le critère d’Eisenstein s’applique avec \(p = 5\) : 5 divise 5, 10, 10 et 5, ne divise pas 1, et 25 ne divise pas 5. Donc \(\Phi(X + 1)\) est irréductible.

   Si l’on avait \(\Phi = A\,B\) avec \(A\) et \(B\) non constants, alors \(\Phi(X + 1) = A(X + 1)\,B(X + 1)\) serait une factorisation en facteurs non constants. Donc \(\Phi\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

3. Le polynôme \(X^3 + X + 1\) est de degré 3. S’il était réductible, il aurait un facteur de degré 1, donc une racine dans \(\mathbb{F}_2\). Or il prend la valeur 1 en 0, et \(1 + 1 + 1 = 1\) en 1. Il n’a pas de racine, donc il est irréductible dans \(\mathbb{F}_2[X]\).
4. Modulo 2, on a \(-4 \equiv 0\), \(7 \equiv 1\) et \(9 \equiv 1\). Donc \(\,\overline{S} = X^3 + X + 1\), irréductible d’après c).

   Supposons \(S = A\,B\) dans \(\mathbb{Q}[X]\), avec \(A\) et \(B\) non constants. Quitte à diviser \(A\) par son coefficient dominant et à multiplier \(B\) par ce même coefficient, on peut supposer \(A\) et \(B\) unitaires. Le lemme de Gauss donne alors \(A, B \in \mathbb{Z}[X]\).

   Réduisons modulo 2 : \(\,\overline{S} = \,\overline{A}\,\,\overline{B}\). Comme \(A\) et \(B\) sont unitaires, \(\,\overline{A}\) et \(\,\overline{B}\) gardent leurs degrés, qui sont au moins 1. Cela contredit l’irréductibilité de \(\,\overline{S}\). Donc \(S\) est irréductible dans \(\mathbb{Q}[X]\).

Barème : a) 0,5 point pour l’énoncé, 0,5 point pour l’application ; b) 0,5 point pour le calcul de Φ(X+1), 0,5 point pour Eisenstein, 0,5 point pour le retour à Φ ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la réduction, 1 point pour l’argument (unitaires, lemme de Gauss, degrés conservés).

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Après le corrigé du contrôle : anneaux, idéaux et polynômes irréductibles

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