Contrôle de maths L2 : isométries et théorème spectral

Exercice 1 : Question de cours : endomorphismes symétriques et matrices orthogonales (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(E\) est un espace euclidien de dimension \(n \geq\, 1\), et \(\mathbb{R}^n\) est muni de son produit scalaire canonique.

1. Soit \(u\) un endomorphisme symétrique de \(E\), et \(\lambda \neq \mu\) deux valeurs propres de \(u\). Démontrez que les sous-espaces propres \(E_\lambda(u)\) et \(E_\mu(u)\) sont orthogonaux. (1,5 point)
2. Énoncez le théorème spectral, pour un endomorphisme symétrique puis pour une matrice symétrique réelle. (1 point)
3. Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Démontrez que \(M^{T} M = I_n\) si et seulement si les colonnes de \(M\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^n\), puis que \(\det M \in \{-1, 1\}\) dans ce cas. (1,5 point)

Exercice 2 : Axe et angle d’une rotation (5 points)

L’espace \(\mathbb{R}^3\) est muni de sa structure euclidienne orientée canonique. On considère
\[A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 -1 2 \\ 2 2 -1 \\ -1 2 2 \end{pmatrix}.\]

1. Démontrez que \(A\) est une matrice orthogonale. (1 point)
2. Calculez \(\det A\) et déduisez-en que \(A\) est la matrice d’une rotation \(r\). (1 point)
3. Déterminez l’axe de \(r\). (1 point)
4. On oriente l’axe par le vecteur \(w = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)\). Déterminez l’angle \(\theta \in ]-\pi, \pi]\) de la rotation \(r\). (2 points)

Exercice 3 : Matrice d’une réflexion (3 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien canonique, on note \(P\) le plan d’équation \(x – 2y + 2z = 0\) et \(s\) la réflexion (symétrie orthogonale) par rapport à \(P\).

1. Démontrez que \(s(x) = x – \dfrac{2 \langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\, n\), où \(n = (1, -2, 2)\), puis écrivez la matrice \(S\) de \(s\) dans la base canonique. (1,5 point)
2. Vérifiez que \(S\) est symétrique et orthogonale, et donnez \(\det S\) sans calcul de déterminant. (1 point)
3. Calculez l’image du vecteur \((1, 1, 1)\) par \(s\). (0,5 point)

Exercice 4 : Problème : théorème spectral pour une matrice 3×3 (8 points)

On considère la matrice symétrique réelle
\[B = \begin{pmatrix} 5 -1 2 \\ -1 5 2 \\ 2 2 2 \end{pmatrix}.\]

1. Justifiez, sans calcul, qu’il existe une matrice orthogonale \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(B = P D P^{T}\). (0,5 point)
2. Vérifiez que \((1, 1, -2)\) appartient au noyau de \(B\), puis calculez le rang de \(B – 6 I_3\). Déduisez-en le spectre de \(B\) et la dimension de chaque sous-espace propre. (2 points)
3. Déterminez une base orthonormée de \(\mathbb{R}^3\) formée de vecteurs propres de \(B\), puis des matrices \(P\) et \(D\) qui conviennent. (2 points)
4. Démontrez que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^3\), \(\langle Bx, x \rangle \geq\, 0\), et déterminez les vecteurs \(x\) pour lesquels \(\langle Bx, x \rangle = 0\). La matrice \(B\) est-elle définie positive ? (1,5 point)
5. Déterminez une matrice \(R\) symétrique à valeurs propres positives telle que \(R^2 = B\), et exprimez-la simplement en fonction de \(B\). (1,5 point)
6. Calculez \(B^k\) pour tout entier \(k \geq\, 1\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : isométries et théorème spectral

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Isométries et théorème spectral » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés isométries et théorème spectral.

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