Contrôle de maths L2 : comparaison série-intégrale et restes

Exercice 1 : Question de cours, le théorème de comparaison série-intégrale (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 3 heures.

Soit \(f\) une fonction continue, positive et décroissante sur \([1, +\infty[\). La figure ci-dessous représente une telle fonction et deux familles de rectangles.

1. Montrez que, pour tout entier \(k \geq\, 2\), \(f(k) \leq\, \displaystyle\int_{k-1}^{k} f(t)\,\mathrm{d}t \leq\, f(k-1)\). (0,5 point)
2. Démontrez que la série \(\sum f(n)\) et l’intégrale \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\) sont de même nature. (1,5 point)
3. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(w_n = \displaystyle\int_{n-1}^{n} f(t)\,\mathrm{d}t – f(n)\). Montrez que \(w_n \geq\, 0\) et que la série \(\sum w_n\) converge, quelle que soit la nature de \(\sum f(n)\). (1 point)
4. On suppose que \(\sum f(n)\) converge et on note \(R_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k)\). Montrez que \(\displaystyle\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t \leq\, R_n \leq\, \int_{n}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t\). (1 point)

Exercice 2 : La constante d’Euler (4 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(u_n = H_n – \ln n\).

1. En appliquant l’exercice 1 c) à \(f : t \mapsto \frac{1}{t}\), montrez que \(u_n = 1 – \displaystyle\sum_{k=2}^{n} w_k\), puis que la suite \((u_n)\) converge. On note \(\gamma\) sa limite. (1,5 point)
2. Montrez que \(\ln(n+1) \leq\, H_n\) pour tout \(n \geq\, 1\), puis que \(0 \leq\, \gamma \leq\, 1\). (1 point)
3. Justifiez que \(H_n = \ln n + \gamma + o(1)\), puis calculez \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Deux séries de Bertrand, somme partielle et reste (5 points)

On admet que les résultats de l’exercice 1 restent valables pour une fonction continue, positive et décroissante sur \([2, +\infty[\), les sommes commençant alors au rang 2.

1. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n \ln n}\) diverge. (1 point)
2. On note \(S_n = \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k}\). Montrez que, pour \(n \geq\, 3\),
   \[\ln(\ln(n+1)) – \ln(\ln 2) \leq\, S_n \leq\, \frac{1}{2\ln 2} + \ln(\ln n) – \ln(\ln 2),\]
   puis que \(S_n \sim \ln(\ln n)\). (2 points)
3. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n (\ln n)^2}\) converge et que son reste \(\rho_n = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k(\ln k)^2}\) vérifie \(\rho_n \sim \dfrac{1}{\ln n}\). (2 points)

Exercice 4 : Problème, la fonction zêta au voisinage de 1 (7 points)

Pour \(s > 1\), on pose \(\zeta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{s}}\) et, pour \(n \geq\, 1\), \(R_n(s) = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{s}}\).

1. Justifiez l’existence de \(\zeta(s)\), puis montrez que \(\dfrac{1}{s-1} \leq\, \zeta(s) \leq\, 1 + \dfrac{1}{s-1}\). Déduisez-en un équivalent de \(\zeta(s)\) quand \(s \to 1^{+}\). (1,5 point)
2. Encadrez \(R_n(s)\) à l’aide de l’exercice 1 d). (1 point)
3. Dans cette question, \(s = 2\). Montrez que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\) est une valeur approchée de \(\zeta(2)\) à \(10^{-3}\) près dès que \(n \geq\, 1000\), et que ce n’est pas le cas si \(n \leq\, 998\). (1 point)
4. Pour \(k \geq\, 1\) et \(s \geq\, 1\), on pose \(d_k(s) = \dfrac{1}{k^{s}} – \displaystyle\int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t^{s}}\). Montrez que \(0 \leq\, d_k(s) \leq\, \dfrac{1}{k^{s}} – \dfrac{1}{(k+1)^{s}}\), puis que, pour \(s > 1\), \(\zeta(s) – \dfrac{1}{s-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} d_k(s)\). (1,5 point)
5. Montrez que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} d_k(1) = \gamma\), où \(\gamma\) est la constante de l’exercice 2. (0,5 point)
6. On admet que, pour tout \(k \geq\, 1\), la fonction \(s \mapsto d_k(s)\) est continue sur \([1, 2]\). Montrez que \(\displaystyle\lim_{s \to 1^{+}} \sum_{k=1}^{+\infty} d_k(s) = \gamma\), c’est-à-dire \(\zeta(s) = \dfrac{1}{s-1} + \gamma + o(1)\) quand \(s \to 1^{+}\). On pourra majorer les restes \(\sum_{k > N} d_k(s)\) uniformément en \(s\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : comparaison série-intégrale et restes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries à termes positifs » en L2 et « Intégrales généralisées » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries à termes positifs, intégrales généralisées.

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