Contrôle de maths L1 : matrices, rang, trace et changement de base

Exercice 1 : Question de cours : changement de base et trace (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\) sur \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\).

1. Soit \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}^{\prime}\) deux bases de \(E\). Définissez la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\). Énoncez ensuite la formule reliant les matrices \(A\) et \(A^{\prime}\) d’un endomorphisme \(u\) de \(E\) dans \(\mathcal{B}\) et dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). (1 point)
2. Démontrez que, pour toutes matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\). (1 point)
3. Déduisez-en que deux matrices semblables ont la même trace. Montrez aussi qu’il n’existe pas de matrices \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB – BA = I_n\). (1 point)

Exercice 2 : Un endomorphisme de R2[X] (5 points)

On note \(\mathcal{B} = (1, X, X^2)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2[X]\), et on définit \(\varphi\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) par \(\varphi(P) = (X – 1)\,P^{\prime}\).

1. Montrez que \(\varphi\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\). (0,5 point)
2. Déterminez la matrice \(A\) de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{B}\). (1 point)
3. On pose \(\mathcal{B}^{\prime} = \big(1, X – 1, (X – 1)^2\big)\), dont on admet que c’est une base de \(\mathbb{R}_2[X]\). Écrivez la matrice de passage \(P\) de \(\mathcal{B}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), puis calculez \(P^{-1}\) en exprimant les vecteurs de \(\mathcal{B}\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). (1,5 point)
4. Calculez directement la matrice \(A^{\prime}\) de \(\varphi\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\), puis vérifiez par le calcul que \(A^{\prime} = P^{-1} A P\). (1,5 point)
5. Donnez le rang et la trace de \(A\). Déduisez-en la dimension du noyau de \(\varphi\), puis déterminez ce noyau. (0,5 point)

Exercice 3 : Rang d’une matrice à paramètre (4 points)

Pour tout réel \(a\), on pose \[M_a = \begin{pmatrix} 1 1 a \\ 1 a 1 \\ a 1 1 \end{pmatrix}.\]

1. À l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes, transformez \(M_a\) en une matrice triangulaire supérieure. Factorisez le dernier coefficient diagonal obtenu. (2 points)
2. Déduisez-en le rang de \(M_a\) selon les valeurs de \(a\). (1,5 point)
3. Pour \(a = -2\), donnez une relation linéaire non triviale entre les colonnes de \(M_{-2}\). (0,5 point)

Exercice 4 : Matrices semblables ou non (3 points)

On rappelle que \(A\) et \(B\) sont semblables s’il existe \(P \in GL_n(\mathbb{R})\) telle que \(B = P^{-1} A P\).

1. Les matrices \(\begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 2 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) sont-elles semblables ? (1 point)
2. Les matrices \(I_2\) et \(\begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\) ont la même trace et le même rang. Sont-elles semblables ? (1 point)
3. Montrez que \(N = \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\) et \(N^{\prime} = \begin{pmatrix} 0 0 \\ 1 0 \end{pmatrix}\) sont semblables, en exhibant une matrice \(P\) convenable. (1 point)

Exercice 5 : Problème : matrice d’un projecteur de R3 (5 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\), muni de sa base canonique \(\mathcal{C}\), on considère le plan \(F = \{(x, y, z) \,:\, x + y + z = 0\}\) et la droite \(G = \operatorname{Vect}(w)\), avec \(w = (1, 1, 1)\).

1. Montrez que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\). (1 point)
2. On note \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\). Calculez \(p(x, y, z)\), puis écrivez la matrice \(A\) de \(p\) dans \(\mathcal{C}\). (1,5 point)
3. On pose \(f_1 = (1, -1, 0)\), \(f_2 = (0, 1, -1)\) et \(\mathcal{B}^{\prime} = (f_1, f_2, w)\). Justifiez que \(\mathcal{B}^{\prime}\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et donnez la matrice \(D\) de \(p\) dans \(\mathcal{B}^{\prime}\). (1 point)
4. Déduisez-en le rang et la trace de \(A\), puis vérifiez la trace sur l’expression de \(A\). (0,5 point)
5. En notant \(Q\) la matrice de passage de \(\mathcal{C}\) à \(\mathcal{B}^{\prime}\), montrez sans calculer \(A^2\) que \(A^2 = A\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : matrices, rang, trace et changement de base

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Matrices et changement de base » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés matrices et changement de base.

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