Contrôle de maths L1 : suites, convergence et suites adjacentes

Exercice 1 : Théorème de Bolzano-Weierstrass (4 points)

Calculatrice interdite.

Cette question de cours porte sur les suites réelles bornées.

1. Énoncez le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles. (1 point)
2. Démontrez ce théorème par dichotomie. Vous construirez deux suites adjacentes \((a_k)\) et \((b_k)\) telles que chaque intervalle \([a_k, b_k]\) contienne une infinité de termes de la suite, puis une application \(\varphi\) strictement croissante de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\). (3 points)

Exercice 2 : Convergence et divergence par la définition (4 points)

On pose, pour tout entier \(n \geq\, 0\), \(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\) et \(v_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\).

1. Démontrez, en revenant à la définition avec \(\varepsilon\), que la suite \((u_n)\) converge vers \(2\). Vous donnerez un rang \(N\) explicite en fonction de \(\varepsilon\). (2 points)
2. En étudiant les suites extraites \((v_{2n})\) et \((v_{2n+1})\), démontrez que la suite \((v_n)\) diverge. (2 points)

Exercice 3 : Suites adjacentes et irrationalité de e (5 points)

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), on pose

\[u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n \cdot n!}.\]

1. Montrez que la suite \((u_n)\) est strictement croissante et que la suite \((v_n)\) est strictement décroissante. (2 points)
2. Montrez que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes. Que peut-on en conclure ? (1 point)
3. On note \(\ell\) leur limite commune (on admet que \(\ell = \mathrm{e}\)). Justifiez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(u_n < \ell < v_n\). Donnez un encadrement de \(\ell\) par deux fractions en prenant \(n = 3\). (1 point)
4. On suppose par l’absurde que \(\ell = \dfrac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers naturels non nuls. En multipliant l’encadrement de la question c) écrit pour \(n = q\) par \(q \cdot q!\), obtenez une contradiction. Concluez. (1 point)

Exercice 4 : Suite récurrente et intervalle stable (7 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-6, +\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{6+x}\), et la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure ci-dessous représente la courbe de \(f\), la droite d’équation \(y = x\) et les premiers termes de la suite.

1. Montrez que \(f\) est croissante sur \([0, 3]\) et que l’intervalle \([0, 3]\) est stable par \(f\), c’est-à-dire \(f([0,3]) \subset [0,3]\). (1 point)
2. Démontrez par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que \((u_n)\) converge, puis déterminez sa limite \(\ell\) en justifiant soigneusement le passage à la limite. (1,5 point)
4. Montrez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(|u_{n+1} – 3| \leq\, \dfrac{1}{5}|u_n – 3|\). Déduisez-en que \(0 \leq\, 3 – u_n \leq\, \dfrac{3}{5^n}\), puis un rang \(n\) à partir duquel \(u_n\) est une valeur approchée de \(3\) à \(10^{-6}\) près. (1,5 point)
5. On garde la même fonction \(f\) mais on part de \(u_0 = 10\). Montrez que la suite obtenue est décroissante, minorée par \(3\), et qu’elle converge encore vers \(3\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : suites, convergence et suites adjacentes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Suites numériques » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés suites numériques.

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