Corrigé du contrôle de maths L1 : complexes, racines n-ièmes et trigonométrie

Exercice 1 : Question de cours : racines n-ièmes de l’unité (4 points)

1. Soit \(z \in \mathbb{U}_n\). Alors \(z \neq 0\), et on écrit \(z = re^{i\theta}\) avec \(r > 0\) et \(\theta \in \mathbb{R}\). L’égalité \(z^n = 1\) s’écrit \(r^n e^{in\theta} = 1 \cdot e^{i0}\). Par unicité de la forme exponentielle, \(r^n = 1\), donc \(r = 1\) car \(r > 0\). De plus, \(n\theta \in 2\pi\mathbb{Z}\) : il existe \(m \in \mathbb{Z}\) tel que \(\theta = \dfrac{2m\pi}{n}\).

   Par division euclidienne, \(m = qn + k\) avec \(0 \leq\, k \leq\, n-1\). Alors \(e^{2im\pi/n} = e^{2iq\pi}e^{2ik\pi/n} = e^{2ik\pi/n}\). Réciproquement, \((e^{2ik\pi/n})^n = e^{2ik\pi} = 1\).

   Enfin, si \(0 \leq\, k < l \leq\, n-1\), les arguments \(\dfrac{2k\pi}{n}\) et \(\dfrac{2l\pi}{n}\) diffèrent de \(\dfrac{2(l-k)\pi}{n} \in ]0, 2\pi[\), qui n’est pas multiple de \(2\pi\). Donc \(\mathbb{U}_n\) contient exactement les \(n\) nombres distincts \(e^{2ik\pi/n}\), \(0 \leq\, k \leq\, n-1\).

2. Posons \(\omega_1 = e^{2i\pi/n}\) ; les éléments de \(\mathbb{U}_n\) sont les \(\omega_1^k\). Comme \(n \geq\, 2\), \(\omega_1 \neq 1\), et la somme géométrique donne

   \[\sum_{k=0}^{n-1} \omega_1^k = \dfrac{1 – \omega_1^n}{1 – \omega_1} = \dfrac{1 – 1}{1 – \omega_1} = 0.\]

   La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle.

3. On a \(|z + z^{\prime}|^2 = (z + z^{\prime})(\overline{z} + \overline{z^{\prime}}) = |z|^2 + |z^{\prime}|^2 + 2\operatorname{Re}(z\overline{z^{\prime}})\). Or \(\operatorname{Re}(w) \leq\, |w|\) pour tout complexe \(w\), et \(|z\overline{z^{\prime}}| = |z|\,|z^{\prime}|\).

   Donc \(|z + z^{\prime}|^2 \leq\, (|z| + |z^{\prime}|)^2\). Les deux membres étant positifs, \(|z + z^{\prime}| \leq\, |z| + |z^{\prime}|\).

Barème : a) 0,5 point pour le module, 0,5 point pour l’argument, 0,5 point pour la réduction à k entre 0 et n-1, 0,5 point pour le caractère distinct ; b) 0,5 point pour la raison différente de 1, 0,5 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour la majoration.

Exercice 2 : Formules de Moivre et d’Euler (5 points)

1. D’après la formule d’Euler, \(\cos x = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\). Par la formule du binôme :

   \[\cos^3 x = \dfrac{e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}}{8} = \dfrac{2\cos(3x) + 6\cos x}{8}.\]

   Donc \(\cos^3 x = \dfrac{1}{4}\cos(3x) + \dfrac{3}{4}\cos x\).

2. D’après la formule de Moivre, \(\cos(3x) = \operatorname{Re}((\cos x + i\sin x)^3)\). En développant, la partie réelle vaut \(\cos^3 x – 3\cos x\sin^2 x\). Ensuite, on remplace \(\sin^2 x\) par \(1 – \cos^2 x\).

   On obtient \(\cos(3x) = 4\cos^3 x – 3\cos x\), ce qui est cohérent avec la question a).

3. On a \(1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}) = 2\cos\dfrac{\theta}{2}\, e^{i\theta/2}\).

   Si \(\theta \in ]-\pi, \pi[\), alors \(\dfrac{\theta}{2} \in ]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}[\), donc \(\cos\dfrac{\theta}{2} > 0\). L’écriture obtenue est donc une forme exponentielle. Le module vaut \(2\cos\dfrac{\theta}{2}\) et un argument est \(\dfrac{\theta}{2}\).

4. La somme cherchée est la partie réelle de \(\sum_{k=0}^{n} e^{ikx}\). Comme \(x \notin 2\pi\mathbb{Z}\), \(e^{ix} \neq 1\). On factorise alors numérateur et dénominateur par l’angle moitié :

   \[\sum_{k=0}^{n} e^{ikx} = \dfrac{e^{i(n+1)x} – 1}{e^{ix} – 1} = \dfrac{e^{i(n+1)x/2} \times 2i\sin\dfrac{(n+1)x}{2}}{e^{ix/2} \times 2i\sin\dfrac{x}{2}} = e^{inx/2}\,\dfrac{\sin\dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}.\]

   En prenant la partie réelle : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cos(kx) = \dfrac{\cos\dfrac{nx}{2}\,\sin\dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin\dfrac{x}{2}}\). Pour \(n = 1\), on retrouve bien \(1 + \cos x\).

Barème : a) 0,5 point pour Euler, 0,5 point pour le développement, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour Moivre, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la factorisation, 1 point pour le module et l’argument justifiés ; d) 0,5 point pour la somme géométrique, 0,5 point pour l’angle moitié et le résultat.

Exercice 3 : Équations dans C (5 points)

1. Cherchons \(w = \alpha + i\beta\) avec \(\alpha, \beta\) réels et \(w^2 = -8 – 6i\). En identifiant les parties réelles et imaginaires, puis les modules :

   \[\alpha^2 – \beta^2 = -8, \qquad 2\alpha\beta = -6, \qquad \alpha^2 + \beta^2 = |-8 – 6i| = 10.\]

   On en déduit \(\alpha^2 = 1\) et \(\beta^2 = 9\). De plus, \(\alpha\beta < 0\), donc \(\alpha\) et \(\beta\) sont de signes contraires. Les racines carrées de \(-8 – 6i\) sont \(1 – 3i\) et \(-1 + 3i\). Vérification : \((1 – 3i)^2 = 1 – 6i – 9 = -8 – 6i\).

2. Le discriminant vaut \(\Delta = (3+i)^2 – 4(4 + 3i) = 8 + 6i – 16 – 12i = -8 – 6i\). D’après a), \(\delta = 1 – 3i\) vérifie \(\delta^2 = \Delta\). Les solutions sont donc

   \[z_1 = \dfrac{3 + i + 1 – 3i}{2} = 2 – i, \qquad z_2 = \dfrac{3 + i – 1 + 3i}{2} = 1 + 2i.\]

   Vérification : \(z_1 + z_2 = 3 + i\) et \(z_1 z_2 = 2 + 4i – i + 2 = 4 + 3i\). L’ensemble des solutions est \(\{2 – i,\ 1 + 2i\}\).

3. On a \(8i = 8e^{i\pi/2}\), et \(z_0 = 2e^{i\pi/6}\) est une solution particulière, car \(z_0^3 = 8e^{i\pi/2}\). Pour \(z \in \mathbb{C}\), \(z^3 = z_0^3\) équivaut à \((\dfrac{z}{z_0})^3 = 1\), c’est-à-dire \(\dfrac{z}{z_0} \in \mathbb{U}_3\).

   Les solutions sont donc \(z_k = 2e^{i(\pi/6 + 2k\pi/3)}\), \(k \in \{0, 1, 2\}\) :

   \[z_0 = 2e^{i\pi/6} = \sqrt{3} + i, \qquad z_1 = 2e^{5i\pi/6} = -\sqrt{3} + i, \qquad z_2 = 2e^{3i\pi/2} = -2i.\]

   

   Les trois solutions sont \(\sqrt{3} + i\), \(-\sqrt{3} + i\) et \(-2i\) ; elles forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\).

Barème : a) 1 point pour le système avec le module, 0,5 point pour les deux racines ; b) 0,5 point pour le discriminant, 1 point pour les deux solutions ; c) 0,5 point pour la solution particulière, 0,5 point pour la réduction aux racines cubiques de l’unité, 0,5 point pour les formes algébriques, 0,5 point pour le triangle équilatéral.

Exercice 4 : Problème : pentagone régulier et cosinus de 2pi sur 5 (6 points)

1. Les nombres \(1, \omega, \ldots, \omega^4\) sont les éléments de \(\mathbb{U}_5\). D’après la question de cours avec \(n = 5\), leur somme est nulle.

2. Comme \(|\omega| = 1\) et \(\omega^5 = 1\), on a \(\omega^4 = \omega^{-1} = \overline{\omega}\). Donc \(a = \omega + \overline{\omega} = 2\operatorname{Re}(\omega) = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}\). De même, \(\omega^3 = \overline{\omega^2}\), donc \(b = 2\cos\dfrac{4\pi}{5}\).

   Ensuite, \(a + b = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1\) d’après a). Enfin, en utilisant \(\omega^5 = 1\) :

   \[ab = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1.\]

   Ainsi \(a + b = -1\) et \(ab = -1\).

3. Les réels \(a\) et \(b\) ont pour somme \(-1\) et pour produit \(-1\). Ce sont donc les racines de \(X^2 + X – 1\), c’est-à-dire \(\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) et \(\dfrac{-1 – \sqrt{5}}{2}\).

   Or \(\dfrac{2\pi}{5} \in ]0, \dfrac{\pi}{2}[\), donc \(a = 2\cos\dfrac{2\pi}{5} > 0\), et \(a\) est la racine positive. Donc \(\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\sqrt{5} – 1}{4}\).

4. Comme \(\omega = e^{2i\pi/5}\), l’application \(z \mapsto \omega z\) est la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{2\pi}{5}\). Elle envoie \(\omega^k\) sur \(\omega^{k+1}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, 3\), et \(\omega^4\) sur \(\omega^5 = 1\) : elle permute donc les cinq sommets.

   De plus, \(|\omega^{k+1} – \omega^k| = |\omega^k|\,|\omega – 1| = |\omega – 1|\). Par l’angle moitié, \(\omega – 1 = e^{i\pi/5}(e^{i\pi/5} – e^{-i\pi/5}) = 2i\sin\dfrac{\pi}{5}\,e^{i\pi/5}\). Chaque côté mesure donc \(2\sin\dfrac{\pi}{5}\) : le pentagone est régulier.

5. Le point fixe vérifie \(z_0 = (1+i)z_0 + 2\), soit \(-iz_0 = 2\), donc \(z_0 = 2i\). En soustrayant \(z_0 = (1+i)z_0 + 2\) à \(f(z) = (1+i)z + 2\), on obtient \(f(z) – 2i = (1+i)(z – 2i)\), avec \(1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\).

   Ainsi \(f\) est la similitude directe de centre \(2i\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\). Elle multiplie les distances par \(\sqrt{2}\). Par conséquent, l’image du pentagone est un pentagone régulier de centre \(f(0) = 2\) et de côté \(2\sqrt{2}\sin\dfrac{\pi}{5}\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point pour les deux cosinus, 0,5 point pour la somme, 0,5 point pour le produit ; c) 0,5 point pour le trinôme, 0,5 point pour ses racines, 0,5 point pour le choix du signe ; d) 0,5 point pour la rotation, 0,5 point pour la longueur ; e) 0,5 point pour le point fixe et la nature, 0,5 point pour l’image du pentagone.

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