Corrigé du contrôle de maths sup : séries numériques et familles sommables

Exercice 1 : Question de cours sur le lien suite-série (3 points)

1. Notons \(S_N = \sum_{n=0}^{N-1} (u_{n+1} – u_n)\) la somme partielle d’ordre \(N – 1\). Les termes se simplifient deux à deux (télescopage) : \(S_N = u_N – u_0\). La série converge si et seulement si \((S_N)\) converge, c’est-à-dire si et seulement si \((u_N)\) converge. Dans ce cas, \(\sum_{n=0}^{+\infty} (u_{n+1} – u_n) = \lim u_n – u_0\).
2. Pour \(n \geq\, 1\), \(\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n + 1}\) : c’est \(-(w_{n+1} – w_n)\) avec \(w_n = \dfrac{1}{n}\), qui tend vers 0. Donc \(\sum_{n=1}^{N} \dfrac{1}{n(n + 1)} = 1 – \dfrac{1}{N + 1}\), et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n + 1)} = 1\).
   
   De même, \(\ln(1 + \dfrac{1}{n}) = \ln(n + 1) – \ln n\), et la suite \((\ln n)\) diverge vers \(+\infty\). D’après a), la série \(\sum \ln(1 + \dfrac{1}{n})\) diverge (ses sommes partielles valent \(\ln(N + 1)\)).
3. En réduisant au même dénominateur :
   \[\frac{1}{n(n + 1)} – \frac{1}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{(n + 2) – n}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{2}{n(n + 1)(n + 2)}.\]
   La suite \(t_n = \dfrac{1}{n(n + 1)}\) tend vers 0, donc par télescopage :
   \[\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2}(t_1 – t_{N+1}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} – \frac{1}{(N + 1)(N + 2)}).\]
   La somme vaut \(\dfrac{1}{4}\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour le télescopage, 0,5 pour l’équivalence et la somme) ; b) 1 point (0,5 par série) ; c) 1 point (0,5 pour la vérification, 0,5 pour la somme).

Exercice 2 : Nature de cinq séries (4 points)

1. \(u_n \geq\, 0\) et \(u_n \sim \dfrac{n^2}{n^4} = \dfrac{1}{n^2}\). La série de Riemann \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge (exposant \(2 > 1\)). Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum u_n\) converge.
2. Posons \(y = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0\). Comme \(\sin y = y – \dfrac{y^3}{6} + o(y^3)\), on a \(u_n = \dfrac{y^3}{6} + o(y^3)\), soit \(u_n \sim \dfrac{1}{6 n^{3/2}}\). Ce terme est positif et \(\dfrac{3}{2} > 1\) : \(\sum u_n\) converge par comparaison à une série de Riemann.
3. Comme \(\ln(1 + x) = x – \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)\), \(u_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}\). La série \(\sum (-u_n)\) est à termes positifs à partir d’un certain rang, avec \(-u_n \sim \dfrac{1}{2n^2}\). Elle converge par comparaison, donc \(\sum u_n\) converge. (Du reste, \(\ln(1 + x) \leq\, x\) montre que \(u_n \leq\, 0\) pour tout \(n\).)
4. Pour \(n \geq\, 2\), \(u_n = \exp(n^2 \ln(1 – \dfrac{1}{n}))\). Or
   \[n^2 \ln(1 – \frac{1}{n}) = n^2 (-\frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + O(\frac{1}{n^3})) = -n – \frac{1}{2} + O(\frac{1}{n}).\]
   Donc \(u_n = e^{-1/2} e^{-n} e^{O(1/n)} \sim e^{-1/2} e^{-n}\). La série géométrique \(\sum e^{-n}\) converge (raison \(e^{-1} < 1\)). \(\sum u_n\) converge.
5. \(u_n = \dfrac{1}{n} \exp(\dfrac{\ln n}{n})\) et \(\dfrac{\ln n}{n} \to 0\) par croissances comparées, donc \(u_n \sim \dfrac{1}{n}\). Ces termes sont positifs et la série harmonique diverge : \(\sum u_n\) diverge.

Erreur fréquente : en d), écrire \((1 – \frac{1}{n})^{n^2} \sim e^{-n}\) en oubliant le facteur \(e^{-1/2}\) ; ici la conclusion ne change pas, mais l’équivalent est faux.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point (0,5 pour le développement, 0,5 pour la conclusion) ; c) 1 point (0,5 pour l’équivalent, 0,5 pour le signe constant et la conclusion) ; d) 1 point (0,5 pour le développement, 0,5 pour la comparaison géométrique) ; e) 0,5 point.

Exercice 3 : Comparaison série-intégrale (4 points)

1. Sur \([2, +\infty[\), \(x > 0\) et \(\ln x > 0\), donc \(f(x) > 0\). La fonction \(x \mapsto x \ln x\) a pour dérivée \(\ln x + 1 > 0\) : elle est strictement croissante et positive, donc \(f\) est décroissante. Comme \((\ln(\ln x))^{\prime} = \dfrac{1/x}{\ln x}\), une primitive de \(f\) est \(x \mapsto \ln(\ln x)\).
2. Soit \(k \geq\, 3\). Pour \(x \in [k, k + 1]\), la décroissance donne \(f(x) \leq\, f(k)\) ; pour \(x \in [k – 1, k] \subset [2, +\infty[\), elle donne \(f(x) \geq\, f(k)\). Par croissance de l’intégrale sur des segments de longueur 1 : \(\int_k^{k+1} f \leq\, f(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} f\). Sur la figure, les rectangles du graphique du haut recouvrent la courbe, ceux du graphique du bas sont sous la courbe.
3. En sommant pour \(k\) de 3 à \(N\), puis en ajoutant \(f(2) = \dfrac{1}{2 \ln 2}\) (relation de Chasles) :
   \[f(2) + \ln(\ln(N + 1)) – \ln(\ln 3) \leq\, S_N \leq\, f(2) + \ln(\ln N) – \ln(\ln 2).\]
   Le minorant tend vers \(+\infty\), donc \(S_N \to +\infty\) : la série \(\sum \dfrac{1}{n \ln n}\) diverge.
   
   Pour l’équivalent, \(\ln(N + 1) = \ln N + \ln(1 + \frac{1}{N}) \sim \ln N\), donc \(\ln(\ln(N + 1)) = \ln(\ln N) + o(1)\). En divisant l’encadrement par \(\ln(\ln N) \to +\infty\), les deux bornes tendent vers 1. Par le théorème des gendarmes, \(S_N \sim \ln(\ln N)\).
4. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x (\ln x)^2}\) sur \([2, +\infty[\). Elle est positive et décroissante (inverse d’un produit de fonctions positives croissantes), et \(x \mapsto -\dfrac{1}{\ln x}\) en est une primitive. Comme en b), \(g(k) \leq\, \int_{k-1}^{k} g\) pour \(k \geq\, 3\), donc
   \[\sum_{k=2}^{N} g(k) \leq\, g(2) + \frac{1}{\ln 2} – \frac{1}{\ln N} \leq\, g(2) + \frac{1}{\ln 2}.\]
   Les sommes partielles d’une série à termes positifs sont majorées : \(\sum \dfrac{1}{n (\ln n)^2}\) converge.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point (0,5 par inégalité) ; c) 1,5 point (0,5 pour l’encadrement, 0,5 pour la divergence, 0,5 pour l’équivalent) ; d) 1 point.

Exercice 4 : Une série alternée et un piège des équivalents (3,5 points)

1. La suite \((\dfrac{1}{\sqrt{n}})\) est décroissante et tend vers 0. D’après le théorème des séries alternées, \(\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge. En revanche, \(|\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}| = \dfrac{1}{n^{1/2}}\) et la série de Riemann d’exposant \(\dfrac{1}{2} \leq\, 1\) diverge : la convergence n’est pas absolue.
2. Le théorème des séries alternées précise aussi le reste : \(R_n\) est du signe de son premier terme \((-1)^{n+1}\), et \(|R_n| \leq\, \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}\).

La figure montre les sommes partielles \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\) : elles encadrent alternativement la somme, et l’écart à la somme (qui vaut \(-R_n\)) décroît comme \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).

3. Pour \(n \geq\, 2\), \(\sqrt{n} + (-1)^n \geq\, \sqrt{2} – 1 > 0\), donc \(v_n\) est bien défini. Posons \(h = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \to 0\). Alors \(v_n = \dfrac{h}{1 + h}\), et \(\dfrac{1}{1 + h} = 1 – h + O(h^2)\). Donc \(v_n = h – h^2 + O(h^3)\) avec \(h^2 = \dfrac{1}{n}\) et \(|h|^3 = \dfrac{1}{n^{3/2}}\) :
   \[v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^{3/2}}).\]
   La série \(\sum \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge (question a). La série des \(O(n^{-3/2})\) converge absolument par comparaison à une série de Riemann d’exposant \(\dfrac{3}{2} > 1\). La série \(\sum \dfrac{1}{n}\) diverge. Une somme de deux séries convergentes et d’une série divergente diverge : \(\sum v_n\) diverge.
4. D’après c), \(v_n – \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = O(\dfrac{1}{n}) = o(\dfrac{1}{\sqrt{n}})\), donc \(v_n \sim \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Pourtant l’une des séries converge et l’autre diverge. Il n’y a pas de contradiction : le théorème de comparaison par équivalents ne s’applique qu’à des séries de signe constant (au moins à partir d’un certain rang), ce qui n’est pas le cas ici.

Barème : a) 1 point (0,5 pour le théorème des séries alternées, 0,5 pour la non-convergence absolue) ; b) 0,5 point ; c) 1,5 point (0,75 pour le développement, 0,75 pour la conclusion) ; d) 0,5 point.

Exercice 5 : Familles sommables et produit de Cauchy (5,5 points)

1. La famille est à termes positifs. D’après le théorème de Fubini positif, sa somme dans \([0, +\infty]\) vaut
   \[\sum_{p=1}^{+\infty} (\sum_{q=1}^{+\infty} \frac{1}{p^2 q^2}) = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = (\frac{\pi^2}{6})^2.\]
   Cette somme est finie : la famille est sommable, de somme \(\dfrac{\pi^4}{36}\).
2. Les couples de \(I_n\) sont \((p, n – p)\) pour \(p \in \{1, \ldots, n – 1\}\) : \(\operatorname{card} I_n = n – 1\). Les \(I_n\), \(n \geq\, 2\), forment une partition de \((\mathbb{N}^*)^2\). La famille est à termes positifs, donc le théorème de sommation par paquets positif s’applique :
   \[\sum_{(p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{(p + q)^3} = \sum_{n=2}^{+\infty} \sum_{(p, q) \in I_n} \frac{1}{n^3} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{n – 1}{n^3} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2} – \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^3}.\]
   La séparation est licite car les deux séries convergent. On obtient \((\dfrac{\pi^2}{6} – 1) – (\zeta(3) – 1)\), qui est fini. La famille est sommable, de somme \(\dfrac{\pi^2}{6} – \zeta(3)\).
3. Par sommation par paquets positive, sa somme dans \([0, +\infty]\) vaut \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{n – 1}{n^2}\). Or \(\dfrac{n – 1}{n^2} \sim \dfrac{1}{n}\), terme général positif d’une série divergente. La somme est \(+\infty\) : la famille n’est pas sommable.
4. Théorème : si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) convergent absolument, alors la série de terme général \(w_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) converge absolument et \(\sum_{n=0}^{+\infty} w_n = (\sum_{n=0}^{+\infty} a_n)(\sum_{n=0}^{+\infty} b_n)\).
   
   Les séries \(\sum \dfrac{a^n}{n!}\) et \(\sum \dfrac{b^n}{n!}\) convergent absolument (la série exponentielle \(\sum \dfrac{|z|^n}{n!}\) converge pour tout \(z\)). Leur produit de Cauchy a pour terme général, par la formule du binôme :
   \[w_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{b^{n-k}}{(n – k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a + b)^n}{n!}.\]
   Donc \(\exp(a) \exp(b) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{(a + b)^n}{n!} = \exp(a + b)\).
5. Comme \(|x| < 1\), la série géométrique \(\sum x^n\) converge absolument, de somme \(\dfrac{1}{1 – x}\). Son produit de Cauchy avec elle-même a pour terme général \(w_n = \sum_{k=0}^{n} x^k x^{n-k} = (n + 1) x^n\). D’après le théorème rappelé en d) : \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n + 1) x^n = \dfrac{1}{(1 – x)^2}\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour Fubini positif, 0,5 pour la somme) ; b) 1,5 point (0,5 pour le cardinal, 0,5 pour la sommation par paquets, 0,5 pour la somme) ; c) 0,5 point ; d) 1,5 point (0,5 pour l’énoncé, 0,5 pour le binôme, 0,5 pour la conclusion) ; e) 1 point.

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Après le corrigé du contrôle : séries numériques et familles sommables

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