Contrôle de maths sup : permutations et déterminants

Exercice 1 : Question de cours sur le déterminant d’un produit (3,5 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension \(n \geq\, 1\) muni d’une base \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\). On admet que l’espace des formes \(n\)-linéaires alternées sur \(E\) est la droite engendrée par \(\det_{\mathcal{B}}\).

1. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\). Montrez que \(\varphi_u : (x_1, \ldots, x_n) \mapsto \det_{\mathcal{B}}(u(x_1), \ldots, u(x_n))\) est une forme \(n\)-linéaire alternée. Déduisez-en l’existence d’un scalaire, noté \(\det u\), tel que \(\varphi_u = \det(u) \det_{\mathcal{B}}\), et exprimez-le à l’aide de \(\mathcal{B}\). (1 point)
2. Démontrez que \(\det(u \circ v) = \det(u) \det(v)\) pour \(u, v \in \mathcal{L}(E)\), puis que \(\det(AB) = \det(A) \det(B)\) pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que, si \(A\) est inversible, alors \(\det A \neq 0\) et \(\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}\). (1 point)

Exercice 2 : Décomposition d’une permutation de S9 (4 points)

On considère la permutation \(\sigma \in S_9\) définie par

\[\sigma = \begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 \\ 4 1 6 7 8 9 2 5 3 \end{pmatrix}.\]

1. Décomposez \(\sigma\) en produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
2. Écrivez \(\sigma\) comme produit de transpositions et déduisez-en sa signature \(\varepsilon(\sigma)\). (1 point)
3. Déterminez le plus petit entier \(m \geq\, 1\) tel que \(\sigma^m = \operatorname{id}\). (0,5 point)
4. Décomposez \(\sigma^{2026}\) en produit de cycles à supports disjoints. (1 point)
5. Démontrez qu’un cycle de longueur \(k \geq\, 2\) a pour signature \((-1)^{k-1}\) et retrouvez \(\varepsilon(\sigma)\). (0,5 point)

Exercice 3 : Déterminants par opérations élémentaires (4 points)

1. Pour \(a \in \mathbb{R}\), calculez et factorisez \(\Delta(a) = \begin{vmatrix} a 1 1 \\ 1 a 1 \\ 1 1 a \end{vmatrix}\). (1 point)
2. Soient \(n \geq\, 2\) et \(a, b\) deux réels. On note \(M\) la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont les coefficients diagonaux valent \(a\) et tous les autres \(b\). Montrez que \(\det M = (a + (n – 1) b)(a – b)^{n-1}\). (2 points)
3. Pour quelles valeurs du réel \(x\) les colonnes de la matrice de taille \(n\) ayant \(x\) sur la diagonale et 1 ailleurs forment-elles une base de \(\mathbb{R}^n\) ? (1 point)

Exercice 4 : Un déterminant tridiagonal (4 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(D_n\) le déterminant de la matrice de taille \(n\) dont les coefficients diagonaux valent 5, les coefficients situés juste au-dessus et juste au-dessous de la diagonale valent 2, et tous les autres 0 :

\[D_n = \begin{vmatrix} 5 2 0 \cdots 0 \\ 2 5 2 \ddots \vdots \\ 0 2 \ddots \ddots 0 \\ \vdots \ddots \ddots 5 2 \\ 0 \cdots 0 2 5 \end{vmatrix}.\]

1. Calculez \(D_1\) et \(D_2\). (0,5 point)
2. En développant selon la première ligne, montrez que \(D_n = 5 D_{n-1} – 4 D_{n-2}\) pour tout \(n \geq\, 3\). (1,5 point)
3. Déduisez-en une expression de \(D_n\) en fonction de \(n\). (1,5 point)
4. La matrice correspondante est-elle inversible pour tout \(n \geq\, 1\) ? (0,5 point)

Exercice 5 : Vandermonde, interpolation et comatrice (4,5 points)

Pour \(n \geq\, 2\) et \(x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K}\), on note \(V(x_1, \ldots, x_n)\) le déterminant de la matrice de taille \(n\) dont la ligne \(i\) est \((1, x_i, x_i^2, \ldots, x_i^{n-1})\).

1. On pose \(P(X) = V(x_1, \ldots, x_{n-1}, X)\). Montrez que \(P\) est un polynôme de degré au plus \(n – 1\), de coefficient de \(X^{n-1}\) égal à \(V(x_1, \ldots, x_{n-1})\), qui s’annule en \(x_1, \ldots, x_{n-1}\). Déduisez-en par récurrence que \(V(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{1 \leq\, i < j \leq\, n} (x_j – x_i)\). (2 points)
2. Soient \(x_1, \ldots, x_n\) deux à deux distincts et \(y_1, \ldots, y_n \in \mathbb{K}\). Montrez à l’aide de a) qu’il existe un unique polynôme \(P \in \mathbb{K}_{n-1}[X]\) tel que \(P(x_i) = y_i\) pour tout \(i\). (1 point)
3. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 1 1 \\ 1 2 4 \\ 1 3 9 \end{pmatrix}\). Calculez \(\det A\) grâce à a), puis la comatrice de \(A\) et \(A^{-1}\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : permutations et déterminants

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Groupe symétrique et déterminants » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés groupe symétrique et déterminants.

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