Ce QCM vérifie les outils de rédaction exigés dès la première colle de MPSI : quantificateurs, modes de raisonnement, ensembles, applications et relations. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Logique, ensembles, applications et relations du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Logique, ensembles et applications - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quelle est la négation de \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ (|x| < \delta \Rightarrow |f(x)| < \varepsilon)\) ?
Quelle est la contraposée de l’implication \(P \Rightarrow Q\) ?
A\(Q \Rightarrow P\)
B\(\text{non } P \Rightarrow \text{non } Q\)
C\(\text{non } Q \Rightarrow \text{non } P\)
D\(P \text{ et non } Q\)
Question 3
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2\). Que vaut l’image réciproque \(f^{-1}([1,4])\) ?
A\([1,2]\)
B\([-2,2]\)
C\([1,16]\)
D\([-2,-1] \cup [1,2]\)
Question 4
Soit \(f : E \to F\), \(A, A'\) des parties de \(E\) et \(B\) une partie de \(F\). Laquelle de ces propriétés est vraie pour toute application \(f\) ?
A\(f^{-1}(f(A)) \subset A\)
B\(A \subset f^{-1}(f(A))\)
C\(f(A \cap A') = f(A) \cap f(A')\)
D\(B \subset f(f^{-1}(B))\)
Question 5
Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) telles que \(g \circ f\) soit injective. Que peut-on affirmer en général ?
A\(f\) et \(g\) sont injectives
B\(g\) est injective
C\(f\) est injective
D\(g\) est surjective
Question 6
Si \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) sont bijectives, quelle est la réciproque de \(g \circ f\) ?
A\(f^{-1} \circ g^{-1}\)
B\(f \circ g\)
C\(g^{-1} \circ f\)
D\(g^{-1} \circ f^{-1}\)
Question 7
Un ensemble \(E\) possède 4 éléments. Combien d’éléments possède l’ensemble \(\mathcal{P}(E)\) de ses parties ?
A\(8\)
B\(4\)
C\(24\)
D\(16\)
Question 8
Sur \(\mathbb{N}^*\), la relation « \(a\) divise \(b\) » est :
Aune relation d’équivalence
Bune relation d’ordre partiel
Cune relation réflexive mais non transitive
Dune relation d’ordre total
Question 9
Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \mathcal{R} y \iff x - y \in \mathbb{Z}\). Quelle est la classe d’équivalence de \(\frac{1}{2}\) ?
A\(\left\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\}\)
B\(\left[0, 1\right[\)
C\(\frac{1}{2} + \mathbb{Z}\)
D\(\frac{1}{2}\mathbb{Z}\)
Question 10
On veut montrer \(P(n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) par une récurrence double, l’hérédité établissant \(P(n+2)\) à partir de \(P(n)\) et \(P(n+1)\). Que faut-il initialiser ?
A\(P(1)\) seulement
B\(P(0)\) et \(P(1)\)
C\(P(0)\) seulement
D\(P(0)\), \(P(1)\) et \(P(2)\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de logique, ensembles et applications en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la négation d’une proposition quantifiée et la contraposée d’une implication ;
la récurrence double et ses initialisations ;
l’image directe et l’image réciproque d’une partie ;
l’injectivité, la surjectivité et la réciproque d’une composée ;
les relations d’équivalence et les relations d’ordre.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire la négation de \(P \Rightarrow Q\) sous la forme \(\text{non } P \Rightarrow \text{non } Q\). La négation d’une implication est « \(P\) et non \(Q\) », jamais une autre implication.
Comment réviser avant de refaire le test
Avant de nier une phrase, écrivez-la entièrement avec ses quantificateurs, puis échangez \(\forall\) et \(\exists\) de gauche à droite sans toucher à l’ordre. Pour une application, commencez toujours par tester l’injectivité sur deux antécédents d’une même image. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quand choisir un raisonnement par analyse-synthèse ?
Quand on cherche à la fois à trouver et à justifier les solutions d’un problème : l’analyse suppose une solution et en déduit sa forme (unicité), la synthèse vérifie que cette forme convient (existence).
Une application peut-elle avoir une image réciproque sans être bijective ?
Oui : l’image réciproque \(f^{-1}(B)\) d’une partie \(B\) est toujours définie. Seule la bijection réciproque \(f^{-1}\) comme application exige que \(f\) soit bijective.
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