Contrôle de maths sup : applications linéaires et théorème du rang

Exercice 1 : Question de cours sur les projecteurs (4 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel (\(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)). On note \(\operatorname{id}\) l’identité de \(E\).

1. Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces supplémentaires de \(E\). Définissez le projecteur \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\), puis montrez que \(p\) est linéaire et que \(p \circ p = p\). (1 point)
2. Réciproquement, soit \(p \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(p \circ p = p\). Montrez que \(\operatorname{Im} p = \operatorname{Ker}(p – \operatorname{id})\). (1 point)
3. Montrez que \(E = \operatorname{Ker} p \oplus \operatorname{Im} p\). (1,5 point)
4. Concluez que \(p\) est le projecteur sur \(\operatorname{Im} p\) parallèlement à \(\operatorname{Ker} p\). (0,5 point)

Exercice 2 : Noyau et image d’un endomorphisme de R3 (3,5 points)

On considère l’application \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(f(x, y, z) = (x – y,\; y – z,\; z – x)\).

1. Montrez que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\). (0,5 point)
2. Déterminez \(\operatorname{Ker} f\) et donnez-en une base. (1 point)
3. Déduisez-en le rang de \(f\), puis montrez que \(\operatorname{Im} f = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^3 \mid a + b + c = 0\}\). (1 point)
4. Les sous-espaces \(\operatorname{Ker} f\) et \(\operatorname{Im} f\) sont-ils supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\) ? (0,5 point)
5. Montrez qu’il n’existe aucun endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^3\) tel que \(\operatorname{Ker} g = \operatorname{Im} g\). (0,5 point)

Exercice 3 : Opérateur de différence sur les polynômes (5 points)

Soit \(n \geq\, 3\) un entier. Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(\Delta(P) = P(X + 1) – P(X)\).

1. Montrez que \(\Delta\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\). (0,5 point)
2. Pour \(k \geq\, 1\), montrez que \(\Delta(X^k)\) est de degré \(k – 1\) et de coefficient dominant \(k\). Déduisez-en que, si \(P\) est de degré \(d \geq\, 1\), alors \(\Delta(P)\) est de degré \(d – 1\). (1 point)
3. Déterminez \(\operatorname{Ker} \Delta\). (1 point)
4. Montrez que \(\operatorname{Im} \Delta = \mathbb{R}_{n-1}[X]\). (1 point)
5. Montrez que \(\Delta^{n+1} = 0\) et que \(\Delta^{n} \neq 0\). (0,5 point)
6. Montrez qu’il existe un unique \(P \in \mathbb{R}_n[X]\) tel que \(\Delta(P) = X^2\) et \(P(0) = 0\). Vérifiez que \(P = \dfrac{X(X – 1)(2X – 1)}{6}\), puis déduisez-en la valeur de \(\sum_{k=0}^{N} k^2\) pour tout entier \(N \geq\, 0\). (1 point)

Exercice 4 : Parité et symétrie d’un espace de fonctions (3 points)

Soit \(E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) l’espace des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). On note \(\mathcal{P}\) le sous-ensemble des fonctions paires et \(\mathcal{I}\) celui des fonctions impaires. Pour \(f \in E\), on définit \(s(f)\) par \(s(f)(x) = f(-x)\) pour tout réel \(x\).

1. Montrez que \(s\) est linéaire et que \(s \circ s = \operatorname{id}\). (0,5 point)
2. Déterminez \(\operatorname{Ker}(s – \operatorname{id})\) et \(\operatorname{Ker}(s + \operatorname{id})\). (0,5 point)
3. Montrez que \(E = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\), puis que \(s\) est la symétrie par rapport à \(\mathcal{P}\) parallèlement à \(\mathcal{I}\). (1 point)
4. Exprimez le projecteur \(p\) sur \(\mathcal{P}\) parallèlement à \(\mathcal{I}\) à l’aide de \(s\), puis calculez \(p(\exp)\) et \((\operatorname{id} – p)(\exp)\). (1 point)

Exercice 5 : Suite des noyaux itérés (4,5 points)

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n \geq\, 1\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On pose \(u^0 = \operatorname{id}\), puis, pour tout entier \(k \geq\, 0\), \(N_k = \operatorname{Ker} u^k\) et \(d_k = \dim N_k\).

1. Montrez que \(N_k \subset N_{k+1}\) pour tout \(k \geq\, 0\). (0,5 point)
2. On suppose qu’il existe \(p \geq\, 0\) tel que \(N_p = N_{p+1}\). Montrez que \(N_{p+1} = N_{p+2}\), puis que \(N_k = N_p\) pour tout \(k \geq\, p\). (1,5 point)
3. Montrez qu’il existe un plus petit entier \(r\) tel que \(N_r = N_{r+1}\), que \(r \leq\, n\) et que \(d_0 < d_1 < \cdots < d_r\). (1 point)
4. On suppose \(u\) nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe \(m \geq\, 1\) tel que \(u^m = 0\). Montrez que \(u^n = 0\). (0,5 point)
5. Exemple : soit \(D\) la dérivation sur \(\mathbb{R}_n[X]\), espace de dimension \(n + 1\). Déterminez \(\operatorname{Ker} D^k\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n + 1\), puis l’indice de nilpotence de \(D\). La majoration de la question d) peut-elle être améliorée en général ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : applications linéaires et théorème du rang

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Applications linéaires » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés applications linéaires.

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