Espaces vectoriels : cours de maths sup en PDF.

Un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel est un ensemble \(E\) muni d’une loi interne \(+\) et d’une loi externe \(\mathbb{K} \times E \to E\), \((\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x\), telles que :

• \((E, +)\) est un groupe abélien, de neutre noté \(0_E\) ;
• pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) et \(x, y \in E\) : \(\lambda \cdot (x + y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y\) et \((\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x\) ;
• \(\lambda \cdot (\mu \cdot x) = (\lambda \mu) \cdot x\) et \(1 \cdot x = x\).

Les éléments de \(E\) sont appelés des vecteurs.

D’abord, \(0 \cdot x = (0 + 0) \cdot x = 0 \cdot x + 0 \cdot x\). On simplifie dans le groupe \((E, +)\) et on obtient \(0 \cdot x = 0_E\). Ensuite, si \(\lambda \cdot x = 0_E\) avec \(\lambda \neq 0\), on multiplie par \(\lambda^{-1}\) : \(x = 1 \cdot x = \lambda^{-1} \cdot (\lambda \cdot x) = \lambda^{-1} \cdot 0_E = 0_E\).

• \(\mathbb{K}^n\), avec \((x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)\) et \(\lambda (x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)\).
• \(\mathbb{K}[X]\), l’ensemble des polynômes, avec l’addition et la multiplication par un scalaire.
• \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), avec les opérations sur les coefficients.
• \(\mathbb{K}^\Omega\), l’ensemble des applications d’un ensemble \(\Omega\) vers \(\mathbb{K}\), avec \((f + g)(\omega) = f(\omega) + g(\omega)\) et \((\lambda f)(\omega) = \lambda f(\omega)\). Par exemple, \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) est l’espace des fonctions réelles et \(\mathbb{K}^{\mathbb{N}}\) celui des suites.

Soient \(E_1, \ldots, E_p\) des \(\mathbb{K}\)-espaces vectoriels. Le produit \(E_1 \times \cdots \times E_p\), muni des lois \((x_1, \ldots, x_p) + (y_1, \ldots, y_p) = (x_1 + y_1, \ldots, x_p + y_p)\) et \(\lambda (x_1, \ldots, x_p) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_p)\), est un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel. Son vecteur nul est \((0_{E_1}, \ldots, 0_{E_p})\).

Une partie \(F\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si \(0_E \in F\) et si \(F\) est stable par combinaison linéaire : pour tous \(x, y \in F\) et \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\), \(\lambda x + \mu y \in F\).

Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\), muni des lois induites, est lui-même un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

Les lois sont bien définies sur \(F\) grâce à la stabilité. De plus, pour \(x \in F\), \(-x = (-1) x + 0 \cdot x\) appartient à \(F\). Donc \(F\) est un sous-groupe de \((E, +)\). Enfin, les autres axiomes sont des égalités vraies dans \(E\) : elles restent vraies dans \(F\).

Pour montrer que \(F\) est un espace vectoriel, on montre que c’est un sous-espace d’un espace connu (\(\mathbb{K}^n\), \(\mathbb{K}[X]\), \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(\mathbb{K}^\Omega\)). On vérifie d’abord \(F \subset E\), puis \(0_E \in F\), enfin la stabilité par combinaison linéaire. À l’inverse, pour montrer que \(F\) n’est pas un sous-espace, un seul contre-exemple suffit : souvent, \(0_E \notin F\).

L’ensemble \(F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x + y – z = 0\}\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\). En effet, \((0, 0, 0)\) vérifie l’équation. Ensuite, si \(u, v \in F\), les coordonnées de \(\lambda u + \mu v\) donnent \(\lambda (x + y – z) + \mu (x^{\prime} + y^{\prime} – z^{\prime}) = 0\). En revanche, \(\{x + y – z = 1\}\) n’est pas un sous-espace, car il ne contient pas le vecteur nul.

L’ensemble des polynômes de degré exactement \(n\) n’est pas un sous-espace. Il ne contient pas le polynôme nul. De plus, \(X^n\) et \(-X^n + 1\) y sont, mais leur somme vaut \(1\).

Une intersection quelconque de sous-espaces vectoriels de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

Soit \((F_i)_{i \in I}\) une famille de sous-espaces. Le vecteur nul appartient à chaque \(F_i\), donc à l’intersection. Ensuite, si \(x\) et \(y\) sont dans tous les \(F_i\), alors \(\lambda x + \mu y\) l’est aussi, par stabilité de chacun.

La réunion de deux sous-espaces n’est en général pas un sous-espace. Précisément, \(F \cup G\) est un sous-espace si et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\).

Soit \((x_1, \ldots, x_p)\) une famille finie de vecteurs de \(E\). Une combinaison linéaire de cette famille est un vecteur de la forme \(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p\), avec \(\lambda_1, \ldots, \lambda_p \in \mathbb{K}\).

Pour une famille quelconque \((x_i)_{i \in I}\), une famille de scalaires \((\lambda_i)_{i \in I}\) est dite presque nulle si l’ensemble des \(i\) tels que \(\lambda_i \neq 0\) est fini. Une combinaison linéaire de \((x_i)_{i \in I}\) est alors un vecteur \(\sum_{i \in I} \lambda_i x_i\), où \((\lambda_i)\) est presque nulle.

Dans \(\mathbb{K}[X]\), tout polynôme \(P = \sum_{k \geq\, 0} a_k X^k\) est une combinaison linéaire de la famille infinie \((X^k)_{k \in \mathbb{N}}\). En effet, la suite \((a_k)\) de ses coefficients est presque nulle. En revanche, dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\), la fonction exponentielle n’est pas une combinaison linéaire des fonctions \(x \mapsto x^k\) : elle n’est pas polynomiale.

Soit \(A\) une partie de \(E\). Le sous-espace engendré par \(A\), noté \(\mathrm{Vect}(A)\), est l’ensemble des combinaisons linéaires (finies) d’éléments de \(A\). Par convention, \(\mathrm{Vect}(\varnothing) = \{0_E\}\). Pour une famille \((x_1, \ldots, x_p)\), on note \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_p) = \{\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p : \lambda_i \in \mathbb{K}\}\).

\(\mathrm{Vect}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) qui contient \(A\). C’est le plus petit, au sens de l’inclusion : tout sous-espace \(F\) qui contient \(A\) contient \(\mathrm{Vect}(A)\). Autrement dit, \(\mathrm{Vect}(A)\) est l’intersection de tous les sous-espaces contenant \(A\).

D’abord, \(0_E\) est la combinaison linéaire vide. Ensuite, une combinaison linéaire de deux combinaisons linéaires finies d’éléments de \(A\) en est encore une. Donc \(\mathrm{Vect}(A)\) est un sous-espace, et il contient chaque \(a \in A\) puisque \(a = 1 \cdot a\). Enfin, si \(F\) est un sous-espace contenant \(A\), il est stable par combinaison linéaire. Il contient donc toutes les combinaisons linéaires d’éléments de \(A\).

Pour montrer qu’un ensemble \(F\) est un sous-espace, il est souvent plus rapide de l’écrire sous la forme \(\mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_p)\). Par exemple, \(F = \{(a + 2b, a, -b) : a, b \in \mathbb{R}\} = \mathrm{Vect}((1, 1, 0), (2, 0, -1))\). Ainsi, \(F\) est un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\), sans aucune vérification supplémentaire. De même, pour prouver \(\mathrm{Vect}(A) \subset \mathrm{Vect}(B)\), il suffit de prouver \(A \subset \mathrm{Vect}(B)\).

Le vecteur \((1, 2, 3)\) appartient-il à \(\mathrm{Vect}((1, 0, 1), (0, 1, 1))\) ? On cherche \(a, b\) tels que \((1, 2, 3) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) = (a, b, a + b)\). Donc \(a = 1\), \(b = 2\), et la troisième coordonnée vaut bien \(3\). La réponse est oui.

Une famille \((x_i)_{i \in I}\) de vecteurs de \(E\) est génératrice de \(E\) si \(\mathrm{Vect}(x_i)_{i \in I} = E\). Autrement dit, tout vecteur de \(E\) est une combinaison linéaire (finie) des \(x_i\).

Une famille finie \((x_1, \ldots, x_p)\) est libre si la seule combinaison linéaire nulle est la combinaison triviale :

\[\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p = 0_E \Rightarrow \lambda_1 = \cdots = \lambda_p = 0.\]

Une famille quelconque \((x_i)_{i \in I}\) est libre si toutes ses sous-familles finies le sont. Une famille qui n’est pas libre est dite liée.

• Une famille \((x)\) à un seul vecteur est libre si et seulement si \(x \neq 0_E\).
• Une famille \((x, y)\) est liée si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.
• Une famille est liée si et seulement si l’un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres.
• Toute sous-famille d’une famille libre est libre ; toute famille contenant le vecteur nul ou deux vecteurs égaux est liée.

Démontrons le troisième point. Si \(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p = 0_E\) avec \(\lambda_j \neq 0\), on divise par \(\lambda_j\) et on isole \(x_j\) : \(x_j = -\sum_{i \neq j} \frac{\lambda_i}{\lambda_j} x_i\). Réciproquement, si \(x_j = \sum_{i \neq j} \mu_i x_i\), alors \(x_j – \sum_{i \neq j} \mu_i x_i = 0_E\) est une combinaison nulle dont le coefficient de \(x_j\) vaut \(1\).

Pour montrer qu’une famille finie \((x_1, \ldots, x_p)\) est libre, on part d’une relation \(\lambda_1 x_1 + \cdots + \lambda_p x_p = 0_E\) et on prouve que tous les \(\lambda_i\) sont nuls. Dans \(\mathbb{K}^n\), cela revient à résoudre un système linéaire homogène. Pour des fonctions, on évalue en des points bien choisis, on dérive, ou on étudie un comportement asymptotique. Pour montrer qu’une famille est liée, on exhibe une relation non triviale.

Montrons que les fonctions \(f_1 : x \mapsto e^x\) et \(f_2 : x \mapsto e^{2x}\) forment une famille libre de \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Supposons \(\lambda e^x + \mu e^{2x} = 0\) pour tout réel \(x\). On divise par \(e^{2x}\) : \(\lambda e^{-x} + \mu = 0\). En faisant tendre \(x\) vers \(+\infty\), on obtient \(\mu = 0\). Ensuite, \(\lambda e^x = 0\) en \(x = 0\) donne \(\lambda = 0\).

Une base de \(E\) est une famille à la fois libre et génératrice de \(E\).

Une famille \((e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(E\) si et seulement si tout vecteur \(x\) de \(E\) s’écrit de manière unique \(x = x_1 e_1 + \cdots + x_n e_n\). Les scalaires \((x_1, \ldots, x_n)\) sont les coordonnées de \(x\) dans cette base.

L’existence de l’écriture équivaut au caractère générateur. Pour l’unicité, si \(\sum x_i e_i = \sum y_i e_i\), alors \(\sum (x_i – y_i) e_i = 0_E\). Si la famille est libre, on en déduit \(x_i = y_i\) pour tout \(i\). Réciproquement, l’unicité de l’écriture de \(0_E\) donne exactement la liberté.

Voici les bases canoniques à connaître.

• Dans \(\mathbb{K}^n\) : \((e_1, \ldots, e_n)\), où \(e_i\) a toutes ses coordonnées nulles sauf la \(i\)-ème, égale à \(1\).
• Dans \(\mathbb{K}_n[X]\) : \((1, X, \ldots, X^n)\) ; dans \(\mathbb{K}[X]\) : la famille infinie \((X^k)_{k \in \mathbb{N}}\).
• Dans \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) : les matrices élémentaires \(E_{ij}\), dont le seul coefficient non nul vaut \(1\) en position \((i, j)\).

Soit \((P_0, P_1, \ldots, P_n)\) une famille de polynômes non nuls telle que \(\deg P_0 < \deg P_1 < \cdots < \deg P_n\). Alors cette famille est libre. Si de plus \(\deg P_k = k\) pour tout \(k\), c’est une base de \(\mathbb{K}_n[X]\).

Supposons \(\lambda_0 P_0 + \cdots + \lambda_n P_n = 0\) avec des \(\lambda_k\) non tous nuls. Notons \(m\) le plus grand indice tel que \(\lambda_m \neq 0\). Le polynôme \(\lambda_m P_m\) est de degré \(\deg P_m\), tandis que les autres termes sont de degré strictement plus petit. Donc la somme est de degré \(\deg P_m\) : elle n’est pas nulle, ce qui est absurde. La famille est donc libre.

Supposons ensuite \(\deg P_k = k\). Montrons par récurrence sur \(k\) que \(\mathbb{K}_k[X] \subset \mathrm{Vect}(P_0, \ldots, P_k)\). Pour \(k = 0\), \(P_0\) est une constante non nulle. Ensuite, soit \(Q\) de degré au plus \(k\) et \(c\) le quotient de son coefficient en \(X^k\) par celui de \(P_k\). Alors \(Q – c P_k\) est de degré au plus \(k – 1\). L’hypothèse de récurrence conclut.

Pour \(a \in \mathbb{K}\), la famille \((1, X – a, (X – a)^2, \ldots, (X – a)^n)\) est une base de \(\mathbb{K}_n[X]\). D’après la formule de Taylor pour les polynômes, les coordonnées de \(P\) dans cette base sont \(P(a), P^{\prime}(a), \frac{P^{\prime\prime}(a)}{2}, \ldots, \frac{P^{(n)}(a)}{n!}\).

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). Leur somme est \(F + G = \{y + z : y \in F, z \in G\}\).

\(F + G\) est un sous-espace de \(E\), et \(F + G = \mathrm{Vect}(F \cup G)\). C’est donc le plus petit sous-espace contenant à la fois \(F\) et \(G\). De plus, si \(F = \mathrm{Vect}(A)\) et \(G = \mathrm{Vect}(B)\), alors \(F + G = \mathrm{Vect}(A \cup B)\).

D’abord, \(0_E = 0_E + 0_E \in F + G\). Ensuite, \(\lambda (y + z) + \mu (y^{\prime} + z^{\prime}) = (\lambda y + \mu y^{\prime}) + (\lambda z + \mu z^{\prime})\), avec le premier terme dans \(F\) et le second dans \(G\). Enfin, tout sous-espace contenant \(F\) et \(G\) contient les sommes \(y + z\), donc \(F + G\). Comme \(F + G\) contient \(F \cup G\), c’est bien \(\mathrm{Vect}(F \cup G)\).

La somme \(F + G\) est directe si tout vecteur de \(F + G\) s’écrit de manière unique \(y + z\), avec \(y \in F\) et \(z \in G\). On la note alors \(F \oplus G\).

La somme \(F + G\) est directe si et seulement si \(F \cap G = \{0_E\}\).

Supposons la somme directe et prenons \(x \in F \cap G\). Alors \(x = x + 0_E = 0_E + x\) donne deux écritures de \(x\). Par unicité, \(x = 0_E\). Réciproquement, supposons \(F \cap G = \{0_E\}\) et \(y + z = y^{\prime} + z^{\prime}\). Alors \(y – y^{\prime} = z^{\prime} – z\) appartient à \(F\) et à \(G\). Donc il est nul : \(y = y^{\prime}\) et \(z = z^{\prime}\).

Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires dans \(E\) si \(E = F \oplus G\). Autrement dit, \(F + G = E\) et \(F \cap G = \{0_E\}\). De façon équivalente, tout \(x \in E\) s’écrit de manière unique \(x = y + z\), avec \(y \in F\) et \(z \in G\).

Un supplémentaire n’est pas unique. Dans \(\mathbb{R}^2\), toute droite distincte de \(F\) est un supplémentaire de la droite \(F\). De plus, il ne faut pas confondre supplémentaire et complémentaire : le complémentaire \(E \setminus F\) ne contient pas \(0_E\).

Pour montrer que \(E = F \oplus G\) et décomposer un vecteur, on raisonne par analyse-synthèse.

• Analyse : on suppose \(x = y + z\), avec \(y \in F\) et \(z \in G\), et on exprime \(y\) et \(z\) en fonction de \(x\). Cela prouve l’unicité, donc \(F \cap G = \{0_E\}\).
• Synthèse : on vérifie que les \(y\) et \(z\) trouvés conviennent, c’est-à-dire \(y \in F\), \(z \in G\) et \(y + z = x\). Cela prouve l’existence, donc \(F + G = E\).

Si l’on veut seulement prouver \(F \cap G = \{0_E\}\), on prend \(x\) dans l’intersection et on montre directement qu’il est nul.

Notons \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{I}\) les sous-espaces des fonctions paires et impaires de \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\). Analyse : si \(f = p + i\), avec \(p\) paire et \(i\) impaire, alors \(f(-x) = p(x) – i(x)\). On en tire

\[p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}, \qquad i(x) = \frac{f(x) – f(-x)}{2}.\]

Synthèse : ces deux fonctions sont respectivement paire et impaire, et leur somme vaut \(f\). Donc \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}\). Par exemple, les parties paire et impaire de l’exponentielle sont \(\mathrm{ch}\) et \(\mathrm{sh}\).

Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), les matrices symétriques et antisymétriques forment deux sous-espaces supplémentaires. En effet, toute matrice s’écrit de manière unique \(M = \frac{M + M^{\top}}{2} + \frac{M – M^{\top}}{2}\). La preuve suit exactement le même schéma d’analyse-synthèse.