Intégrales à paramètre : exercices de maths en L2 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Continuité d’une intégrale sur un segment

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{\cos(xt)}{1+t^2}\,dt\). La figure ci-dessous donne l’allure de \(F\).

1. Montrer que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\), puis qu’elle est paire.
2. Calculer \(F(0)\) et montrer que \(|F(x)| \leq\, \frac{\pi}{4}\) pour tout réel \(x\).
3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(F^{\prime}(0)\).
4. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(|F(x)| \leq\, \frac{1}{|x|}\) pour \(x \neq 0\). En déduire la limite de \(F\) en \(+\infty\).

Exercice 2 : Dérivées successives d’une intégrale sur un segment

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 e^{xt}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(F^{(n)}(x)\) sous forme d’intégrale.
2. Calculer \(F^{(n)}(0)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Calculer \(F(x)\) explicitement pour \(x \neq 0\). Vérifier que la dérivée de cette expression coïncide avec la formule de la question 1 pour \(n = 1\).
4. Comparer les nombres \(\frac{F^{(n)}(0)}{n!}\) avec les coefficients du développement de \(\frac{e^x – 1}{x}\) en série entière.

Exercice 3 : Une intégrale calculée par dérivation

Pour \(x > -1\) et \(t \in ]0,1[\), on pose \(f(x,t) = \dfrac{t^x – 1}{\ln t}\), puis \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 f(x,t)\,dt\).

1. On admet l’inégalité \(|e^u – 1| \leq\, |u|\,e^{\max(u,0)}\) pour tout réel \(u\). En posant \(u = x \ln t\), montrer que \(|f(x,t)| \leq\, |x|\) si \(x \geq\, 0\) et \(|f(x,t)| \leq\, |x|\,t^x\) si \(-1 < x < 0\). En déduire que \(F\) est bien définie sur \(]-1,+\infty[\).
2. Calculer \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\). Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1,+\infty[\) et calculer \(F^{\prime}(x)\).
3. En déduire \(F(x)\) pour tout \(x > -1\).
4. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{t-1}{\ln t}\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^1 \frac{t^2 – t}{\ln t}\,dt\).

Exercice 4 : Une intégrale classique sur [0,1]

On veut calculer \(I = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{1+t^2}\,dt\). Pour \(x \in [0,1]\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+xt)}{1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,1]\) et donner \(F^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale.
2. Pour \(x \in [0,1]\), déterminer des réels \(A\), \(B\), \(C\), dépendant de \(x\), tels que \(\dfrac{t}{(1+xt)(1+t^2)} = \dfrac{A}{1+xt} + \dfrac{Bt + C}{1+t^2}\).
3. En déduire que \(F^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1+x^2}(\dfrac{\ln 2}{2} + \dfrac{\pi x}{4} – \ln(1+x))\).
4. En intégrant sur \([0,1]\), montrer que \(I = \dfrac{\pi \ln 2}{8}\).

Exercice 5 : Une intégrale logarithmique sur un segment

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \ln(\cos^2 t + x^2 \sin^2 t)dt\).

1. Montrer que \(\cos^2 t + x^2 \sin^2 t \geq\, \min(1, x^2)\). En déduire que \(F\) est bien définie et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\).
2. Pour \(x > 0\) et \(x \neq 1\), calculer \(F^{\prime}(x)\) à l’aide du changement de variable \(u = \tan t\). On pourra décomposer \(\dfrac{u^2}{(1+u^2)(1+x^2u^2)}\).
3. Montrer que \(F^{\prime}(x) = \dfrac{\pi}{1+x}\) pour tout \(x > 0\), puis en déduire \(F(x)\).
4. Vérifier le résultat en montrant directement que \(F(\frac{1}{x}) = F(x) – \pi \ln x\).

Exercice 6 : Une équation de Bessel

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(J(x) = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi \cos(x \sin t)\,dt\).

1. Montrer que \(J\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), paire, et que \(|J(x)| \leq\, 1\). Calculer \(J(0)\).
2. Exprimer \(J^{\prime}(x)\) et \(J^{\prime\prime}(x)\) sous forme d’intégrales. Calculer \(J^{\prime}(0)\) et \(J^{\prime\prime}(0)\).
3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(x J^{\prime\prime}(x) + J^{\prime}(x) + x J(x) = 0\) pour tout réel \(x\).

Exercice 7 : Vérifier une domination

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\) et \(G(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\sin(xt)\,dt\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont définies et continues sur \(\mathbb{R}\), en précisant la fonction dominante.
2. Calculer \(F(x) + i\,G(x)\) à l’aide de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{(-1+ix)t}\,dt\). En déduire \(F(x)\) et \(G(x)\).
3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\). En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\sin(xt)\,dt\).

Exercice 8 : Quand la domination fait défaut

Pour \(x \geq\, 0\) et \(t \geq\, 0\), on pose \(f(x,t) = x\,e^{-xt}\) et \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(x,t)\,dt\). La figure ci-dessous représente quelques fonctions \(t \mapsto f(x,t)\).

1. Calculer \(F(x)\) pour tout \(x \geq\, 0\). La fonction \(F\) est-elle continue sur \([0,+\infty[\) ?
2. Soit \(\varphi\) une fonction telle que \(f(x,t) \leq\, \varphi(t)\) pour tout \(x \in ]0,1]\) et tout \(t \geq\, 0\). Montrer que \(\varphi(t) \geq\, \frac{1}{e\,t}\) pour \(t \geq\, 1\). Conclure.
3. Soit \(0 < a < b\). Donner une fonction dominante de \(f\) sur \([a,b] \times [0,+\infty[\). Que retrouve-t-on ?

Exercice 9 : Continuité sur un intervalle ouvert

On pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^x}\). La figure ci-dessous donne l’allure de \(F\).

1. Déterminer l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(F(x)\) est définie.
2. Montrer que \(F\) est continue sur \(]1,+\infty[\) par domination locale.
3. Montrer que \(|F(x) – 1| \leq\, \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}\) pour \(x > 1\). En déduire la limite de \(F\) en \(+\infty\).
4. Montrer que \(F(x) \geq\, \frac{1}{2(x-1)}\) pour \(x > 1\). En déduire la limite de \(F\) en \(1^+\).
5. Calculer \(F(2)\).

Exercice 10 : Une équation différentielle du second ordre

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie et continue sur \([0,+\infty[\). Calculer \(F(0)\).
2. Montrer que \(0 < F(x) \leq\, \frac{1}{x}\) pour \(x > 0\). En déduire la limite de \(F\) en \(+\infty\).
3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0,+\infty[\) et qu’elle y est strictement décroissante.
4. Montrer que \(F\) est solution sur \(]0,+\infty[\) de l’équation différentielle \(y^{\prime\prime} + y = \dfrac{1}{x}\).

Exercice 11 : Domaine et relation fonctionnelle de Gamma

On étudie \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt\).

1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si \(x > 0\).
2. Montrer que \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\) pour tout \(x > 0\). En déduire \(\Gamma(n+1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
3. Soit \(0 < \alpha < \beta\). Trouver une fonction \(\varphi\) intégrable sur \(]0,+\infty[\) telle que \(t^{x-1}e^{-t} \leq\, \varphi(t)\) pour \(x \in [\alpha,\beta]\). En déduire que \(\Gamma\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
4. Montrer que \(\Gamma(x) \sim \frac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\).

Exercice 12 : Gamma aux demi-entiers

On admet que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\) (voir l’exercice 15).

1. À l’aide du changement de variable \(t = u^2\), montrer que \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\).
2. Calculer \(\Gamma(\frac{3}{2})\), \(\Gamma(\frac{5}{2})\) et \(\Gamma(\frac{7}{2})\).
3. Montrer par récurrence que \(\Gamma(n + \frac{1}{2}) = \dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt{\pi}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 13 : Calculs d’intégrales avec la fonction Gamma

Exprimer chacune des intégrales suivantes à l’aide de la fonction \(\Gamma\), puis en donner la valeur exacte lorsque c’est possible.

1. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^5 e^{-t}\,dt\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^3 e^{-2t}\,dt\).
2. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t^4 e^{-t^2}\,dt\), avec le changement de variable \(u = t^2\).
3. \(\displaystyle\int_0^1 (\ln t)^n\,dt\) pour \(n \in \mathbb{N}\), avec le changement de variable \(t = e^{-u}\).
4. \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^3}\,dt\), que l’on exprimera à l’aide de \(\Gamma(\frac{1}{3})\).

Exercice 14 : Régularité et convexité de Gamma

On reprend la fonction \(\Gamma\) de l’exercice 11.

1. Montrer que \(\Gamma\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0,+\infty[\) et exprimer \(\Gamma^{\prime}\) et \(\Gamma^{\prime\prime}\) sous forme d’intégrales. En déduire que \(\Gamma\) est strictement convexe.
2. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que \(\Gamma^{\prime}(x)^2 \leq\, \Gamma(x)\,\Gamma^{\prime\prime}(x)\). En déduire que \(\ln \Gamma\) est convexe.
3. Montrer que \(\Gamma^{\prime}\) s’annule en un unique point \(x_0\), qui appartient à \(]1,2[\). Dresser le tableau de variations de \(\Gamma\).
4. Déterminer les limites de \(\Gamma\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

Exercice 15 : L’intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt\) et \(G(x) = (\displaystyle\int_0^x e^{-u^2}\,du)^2\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer leurs dérivées.
2. Montrer que \(F + G\) est constante et donner sa valeur.
3. Montrer que \(0 \leq\, F(x) \leq\, e^{-x^2}\).
4. En déduire que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Exercice 16 : Transformée de Fourier de la gaussienne

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(xt)\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie et de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(F^{\prime}(x) = -\frac{x}{2}F(x)\).
3. En déduire \(F(x)\) pour tout réel \(x\).
4. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(2t)\,dt\).

Exercice 17 : Premières transformées de Laplace

Pour \(f\) continue sur \(]0,+\infty[\), on note \(\mathcal{L}(f)(p) = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}\,dt\), lorsque cette intégrale converge. Pour chaque fonction, préciser les réels \(p\) pour lesquels \(\mathcal{L}(f)(p)\) existe, puis la calculer.

1. \(f(t) = 1\) et \(f(t) = t^n\), avec \(n \in \mathbb{N}\).
2. \(f(t) = e^{at}\), avec \(a \in \mathbb{R}\).
3. \(f(t) = \cos(\omega t)\) et \(f(t) = \sin(\omega t)\), avec \(\omega > 0\).
4. \(f(t) = \dfrac{1}{\sqrt{t}}\).

Exercice 18 : Dérivation d’une transformée de Laplace

Soit \(f\) continue et bornée sur \([0,+\infty[\), et \(M = \sup_{t \geq\, 0} |f(t)|\).

1. Montrer que \(\mathcal{L}(f)\) est définie sur \(]0,+\infty[\) et que \(|\mathcal{L}(f)(p)| \leq\, \frac{M}{p}\).
2. Montrer que \(\mathcal{L}(f)\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\), avec \(\mathcal{L}(f)^{\prime}(p) = -\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,f(t)\,e^{-pt}\,dt\).
3. En déduire \(\mathcal{L}(t \sin t)(p)\) et \(\mathcal{L}(t \cos t)(p)\) pour \(p > 0\).
4. On suppose de plus \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) avec \(f^{\prime}\) bornée. Montrer que \(\mathcal{L}(f^{\prime})(p) = p\,\mathcal{L}(f)(p) – f(0)\). Vérifier cette formule avec \(f = \sin\).

Exercice 19 : Problème : l’intégrale de Dirichlet

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xt}\,\frac{\sin t}{t}\,dt\). On veut montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}\).

1. Montrer que \(F(x)\) est définie pour \(x > 0\) et que \(|F(x)| \leq\, \frac{1}{x}\).
2. Soit \(x \geq\, 0\) et \(0 < A < B\). En intégrant par parties, montrer que \(|\displaystyle\int_A^B e^{-xt}\,\frac{\sin t}{t}\,dt| \leq\, \frac{2}{A}\). En déduire que \(F(0)\) est bien définie, et que le reste \(R_A(x) = \displaystyle\int_A^{+\infty} e^{-xt}\,\frac{\sin t}{t}\,dt\) vérifie \(|R_A(x)| \leq\, \frac{2}{A}\) pour tout \(x \geq\, 0\).
3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\) et que \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{1}{1+x^2}\).
4. En déduire que \(F(x) = \frac{\pi}{2} – \arctan x\) pour tout \(x > 0\).
5. Montrer que \(F\) est continue en \(0\), puis conclure.

Exercice 20 : Problème : une intégrale gaussienne à paramètre

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \exp(-t^2 – \frac{x^2}{t^2})dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie et continue sur \([0,+\infty[\). Donner \(F(0)\).
2. Soit \(a > 0\). Montrer que la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^2}\,e^{-a^2/t^2}\) est bornée sur \(]0,+\infty[\). En déduire que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\).
3. À l’aide du changement de variable \(u = \frac{x}{t}\), montrer que \(F^{\prime}(x) = -2F(x)\) pour \(x > 0\).
4. En déduire \(F(x)\) pour tout \(x \geq\, 0\).
5. Application : calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \exp(-(t – \frac{1}{t})^2)dt\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L2

• Le cours : intégrales à paramètre, cours de maths en L2
• À maîtriser avant : Intégrales généralisées, Suites et séries de fonctions
• Chapitre précédent : Séries entières
• Chapitre suivant : Produit scalaire et espaces euclidiens
• Le même thème en maths spé : intégrales à paramètre, exercices de maths spé
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L2 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L2 et la licence de maths de L1 à L3