Suites et séries de fonctions : cours de maths en L2 en PDF.

La suite \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) vers une fonction \(f : I \to \mathbb{K}\) lorsque, pour tout \(x \in I\), la suite numérique \((f_n(x))\) converge vers \(f(x)\). Avec les quantificateurs :

\[\forall x \in I,\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq\, N,\ |f_n(x) – f(x)| \leq\, \varepsilon.\]

Posons \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\). Pour \(0 \leq\, x < 1\), on a \(x^n \to 0\). En revanche, \(f_n(1) = 1\) pour tout \(n\). Ainsi, \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f\) nulle sur \([0,1[\) et égale à \(1\) en \(1\). Chaque \(f_n\) est continue, mais \(f\) ne l’est pas.

Pour une fonction bornée \(g : I \to \mathbb{K}\), on note \(\|g\|_\infty = \sup_{x \in I} |g(x)|\). C’est la norme infinie (ou norme de la convergence uniforme) sur l’espace \(\mathcal{B}(I, \mathbb{K})\) des fonctions bornées sur \(I\).

La suite \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) vers \(f\) lorsque \(f_n – f\) est bornée à partir d’un certain rang et que \(\|f_n – f\|_\infty \to 0\). Autrement dit :

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \geq\, N,\ \forall x \in I,\ |f_n(x) – f(x)| \leq\, \varepsilon.\]

Pour étudier la convergence uniforme d’une suite \((f_n)\) sur \(I\) :

1. déterminez d’abord la limite simple \(f\), en fixant \(x\) ;
2. ensuite, majorez \(|f_n(x) – f(x)|\) par un réel \(\alpha_n\) indépendant de \(x\) et de limite nulle, ou calculez \(\|f_n – f\|_\infty\) par une étude de fonction ;
3. enfin, pour prouver qu’il n’y a pas convergence uniforme, exhibez une suite \((x_n)\) de points de \(I\) telle que \(|f_n(x_n) – f(x_n)|\) ne tende pas vers \(0\).

Reprenons \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1[\), de limite simple nulle. Avec \(x_n = 2^{-1/n} \in [0,1[\), on obtient \(f_n(x_n) = \frac{1}{2}\). Donc \(\|f_n\|_\infty \geq\, \frac{1}{2}\) : il n’y a pas convergence uniforme sur \([0,1[\). En revanche, sur \([0,a]\) avec \(0 < a < 1\), on a \(\|f_n\|_\infty = a^n \to 0\), d’où la convergence uniforme.

De même, posons \(g_n(x) = x^n(1-x)\) sur \([0,1]\). La dérivée \(g_n^{\prime}(x) = x^{n-1}\bigl(n – (n+1)x\bigr)\) s’annule en \(\frac{n}{n+1}\). Ainsi, \(\|g_n\|_\infty = (\frac{n}{n+1})^n \frac{1}{n+1} \leq\, \frac{1}{n+1}\), et \((g_n)\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\).

La suite \((f_n)\) converge uniformément sur \(I\) si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme :

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n, m \geq\, N,\ \forall x \in I,\ |f_n(x) – f_m(x)| \leq\, \varepsilon.\]

Si \(f_n \to f\) uniformément, soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(|f_n(x) – f(x)| \leq\, \frac{\varepsilon}{2}\) pour \(n \geq\, N\) et tout \(x\). L’inégalité triangulaire donne alors \(|f_n(x) – f_m(x)| \leq\, \varepsilon\) pour \(n, m \geq\, N\).

Réciproquement, supposons le critère vérifié. Pour chaque \(x\), la suite \((f_n(x))\) est de Cauchy, donc elle converge vers un nombre noté \(f(x)\). Fixons \(\varepsilon\), puis \(N\) donné par le critère. Pour \(n \geq\, N\) et \(x \in I\), faisons tendre \(m\) vers l’infini dans \(|f_n(x) – f_m(x)| \leq\, \varepsilon\). Nous obtenons \(|f_n(x) – f(x)| \leq\, \varepsilon\), ce qui est la convergence uniforme.

Une fonction \(f : I \to \mathbb{K}\) est uniformément continue sur \(I\) lorsque

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I,\ |x – y| \leq\, \delta \Rightarrow |f(x) – f(y)| \leq\, \varepsilon.\]

La fonction carré n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\). En effet, posons \(x_n = n\) et \(y_n = n + \frac{1}{n}\). Alors \(|x_n – y_n| \to 0\), mais \(y_n^2 – x_n^2 = 2 + \frac{1}{n^2} \geq\, 2\). Aucun \(\delta\) ne convient donc pour \(\varepsilon = 1\). Pourtant, sur tout segment \([-A, A]\), elle est \(2A\)-lipschitzienne, donc uniformément continue.

Théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment \([a,b]\) y est uniformément continue.

Raisonnons par l’absurde. Il existe alors \(\varepsilon > 0\) et, pour tout \(n \geq\, 1\), deux points \(x_n, y_n \in [a,b]\) tels que \(|x_n – y_n| \leq\, \frac{1}{n}\) et \(|f(x_n) – f(y_n)| > \varepsilon\). La suite \((x_n)\) est bornée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle possède une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) qui converge vers un réel \(\ell\), et \(\ell \in [a,b]\) car le segment est fermé.

Ensuite, \(y_{\varphi(n)} = x_{\varphi(n)} + (y_{\varphi(n)} – x_{\varphi(n)})\) tend aussi vers \(\ell\). Par continuité de \(f\) en \(\ell\), la différence \(f(x_{\varphi(n)}) – f(y_{\varphi(n)})\) tend vers \(0\). Cela contredit la minoration par \(\varepsilon\).

L’hypothèse de segment est essentielle. Par exemple, \(x \mapsto \frac{1}{x}\) est continue sur \(]0,1]\), mais pas uniformément continue : avec \(x_n = \frac{1}{n}\) et \(y_n = \frac{1}{n+1}\), on a \(|x_n – y_n| \to 0\) alors que \(|f(x_n) – f(y_n)| = 1\).

Si chaque \(f_n\) est continue en \(a \in I\) et si \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\), alors \(f\) est continue en \(a\). En particulier, une limite uniforme de fonctions continues sur \(I\) est continue sur \(I\).

Soit \(\varepsilon > 0\). D’abord, choisissons \(n\) tel que \(\|f_n – f\|_\infty \leq\, \frac{\varepsilon}{3}\). Ensuite, par continuité de \(f_n\) en \(a\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(|x – a| \leq\, \delta\) entraîne \(|f_n(x) – f_n(a)| \leq\, \frac{\varepsilon}{3}\). Pour de tels \(x\), on écrit alors

\[|f(x) – f(a)| \leq\, |f(x) – f_n(x)| + |f_n(x) – f_n(a)| + |f_n(a) – f(a)| \leq\, \varepsilon.\]

Soit \(a\) une extrémité de \(I\), éventuellement infinie. On suppose que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(I\) et que, pour tout \(n\), \(f_n(x)\) tend vers un nombre \(\ell_n\) quand \(x \to a\). Alors la suite \((\ell_n)\) converge vers un nombre \(\ell\), et \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to a\). Autrement dit :

\[\lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to a} f_n(x).\]

Le critère de Cauchy uniforme donne, pour \(n, m \geq\, N\) et tout \(x\), \(|f_n(x) – f_m(x)| \leq\, \varepsilon\). En faisant tendre \(x\) vers \(a\), on obtient \(|\ell_n – \ell_m| \leq\, \varepsilon\). Ainsi, \((\ell_n)\) est de Cauchy et converge vers un \(\ell\). Enfin, on majore \(|f(x) – \ell|\) par \(|f(x) – f_n(x)| + |f_n(x) – \ell_n| + |\ell_n – \ell|\), et on conclut comme pour la continuité.

Si les \(f_n\) sont continues sur le segment \([a,b]\) et convergent uniformément vers \(f\) sur \([a,b]\), alors

\[\int_a^b f_n(t)\,\mathrm{d}t \xrightarrow[n \to \infty]{ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t.\]

La fonction \(f\) est continue d’après le théorème précédent, donc intégrable. Ensuite, l’inégalité de la moyenne donne

\[| \int_a^b f_n – \int_a^b f | \leq\, \int_a^b |f_n – f| \leq\, (b-a)\,\|f_n – f\|_\infty \xrightarrow[n \to \infty]{ 0.\]

Pour calculer \(\lim \int_a^b f_n\) sur un segment :

1. cherchez la limite simple \(f\) ;
2. si la convergence est uniforme, intervertissez directement ;
3. sinon, majorez \(|\int_a^b (f_n – f)|\) à la main, par exemple en coupant \([a,b]\) en une zone où la convergence est uniforme et une petite zone où \(f_n\) reste bornée.

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur l’intervalle \(I\). On suppose que :

• il existe \(x_0 \in I\) tel que \((f_n(x_0))\) converge ;
• la suite \((f_n^{\prime})\) converge uniformément sur tout segment de \(I\) vers une fonction \(g\).

Alors \((f_n)\) converge uniformément sur tout segment de \(I\) vers une fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\), et \(f^{\prime} = g\).

Notons \(\ell = \lim f_n(x_0)\). La fonction \(g\) est continue, comme limite uniforme locale de fonctions continues. Posons \(f(x) = \ell + \int_{x_0}^x g(t)\,\mathrm{d}t\). Par le théorème fondamental de l’analyse, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f^{\prime} = g\). De plus, \(f_n(x) = f_n(x_0) + \int_{x_0}^x f_n^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t\). Ainsi, pour \(x\) dans un segment \(S\) contenant \(x_0\), de longueur \(L\) :

\[|f_n(x) – f(x)| \leq\, |f_n(x_0) – \ell| + L\,\sup_{S} |f_n^{\prime} – g|.\]

Ce majorant ne dépend pas de \(x\) et tend vers \(0\). Tout segment de \(I\) étant inclus dans un tel \(S\), la conclusion suit.

Une limite uniforme de fonctions dérivables peut ne pas être dérivable. Ainsi, \(x \mapsto \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}\) converge uniformément vers \(x \mapsto |x|\) sur \(\mathbb{R}\). En effet, l’écart vaut \(\frac{1/n^2}{\sqrt{x^2 + 1/n^2} + |x|} \leq\, \frac{1}{n}\).

La série \(\sum u_n\) :

• converge simplement sur \(I\) si, pour tout \(x \in I\), la série numérique \(\sum u_n(x)\) converge ; on note alors \(S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)\) et \(R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} u_k(x)\) le reste ;
• converge uniformément sur \(I\) si \((S_n)\) converge uniformément vers \(S\), c’est-à-dire si \(\|R_n\|_\infty \to 0\) ;
• converge normalement sur \(I\) si chaque \(u_n\) est bornée et si la série numérique \(\sum \|u_n\|_\infty\) converge.

La convergence normale entraîne la convergence uniforme, ainsi que la convergence absolue en tout point.

Pour tout \(x\), \(|u_n(x)| \leq\, \|u_n\|_\infty\). Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum u_n(x)\) converge absolument. Ensuite, pour tout \(x\), on a

\[|R_n(x)| \leq\, \sum_{k=n+1}^{\infty} |u_k(x)| \leq\, \sum_{k=n+1}^{\infty} \|u_k\|_\infty.\]

Ce majorant est le reste d’une série convergente. Il est indépendant de \(x\) et tend vers \(0\), d’où \(\|R_n\|_\infty \to 0\).

Pour montrer qu’une série de fonctions converge normalement sur \(J\), cherchez une suite numérique \((\alpha_n)\) telle que \(|u_n(x)| \leq\, \alpha_n\) pour tout \(x \in J\), avec \(\sum \alpha_n\) convergente. Souvent, \(\alpha_n = \|u_n\|_\infty\) s’obtient par une étude de fonction. Si la série ne converge pas normalement sur \(I\) tout entier, essayez sur les segments \([a,b] \subset I\) ou sur les intervalles \([a, +\infty[\).

La réciproque est fausse. Par exemple, la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^n}{n + x}\) converge uniformément sur \([0, +\infty[\) grâce à la majoration du reste d’une série alternée : \(|R_n(x)| \leq\, \frac{1}{n+1+x} \leq\, \frac{1}{n+1}\). En revanche, \(\|u_n\|_\infty = \frac{1}{n}\), et la série harmonique diverge.

1. Continuité. Si les \(u_n\) sont continues sur \(I\) et si \(\sum u_n\) converge uniformément sur tout segment de \(I\), alors \(S\) est continue sur \(I\).
2. Limite terme à terme. Si \(\sum u_n\) converge uniformément sur \(I\) et si \(u_n(x) \to \ell_n\) quand \(x \to a\), alors \(\sum \ell_n\) converge et \(S(x) \to \sum_{n=0}^{\infty} \ell_n\).
3. Intégration terme à terme. Si les \(u_n\) sont continues sur \([a,b]\) et si \(\sum u_n\) converge uniformément sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b S = \sum_{n=0}^{\infty} \int_a^b u_n\).
4. Dérivation terme à terme. Si les \(u_n\) sont de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\), si \(\sum u_n\) converge simplement sur \(I\) et si \(\sum u_n^{\prime}\) converge uniformément sur tout segment de \(I\), alors \(S\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(S^{\prime} = \sum_{n=0}^{\infty} u_n^{\prime}\).

Considérons \(S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x\), \(|\frac{\sin(nx)}{n^2}| \leq\, \frac{1}{n^2}\). La série converge donc normalement sur \(\mathbb{R}\), et sa somme est continue. La figure ci-dessous représente les sommes partielles \(S_1\), \(S_3\) et \(S_{20}\) : elles se stabilisent très vite, car le reste est majoré par \(\sum_{k>n} \frac{1}{k^2} \leq\, \frac{1}{n}\).

Pour \(|x| < 1\), on sait que \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\). Montrons que \(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\). Posons \(u_n(x) = x^n\), de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1,1[\). Sur un segment \([-a,a]\) avec \(0 < a < 1\), on a \(|u_n^{\prime}(x)| = n|x|^{n-1} \leq\, n a^{n-1}\). Or la série \(\sum n a^{n-1}\) converge, par exemple d’après la règle de d’Alembert. Tout segment de \(]-1,1[\) étant inclus dans un tel \([-a,a]\), le théorème de dérivation terme à terme s’applique. Par conséquent, la dérivée de \(\frac{1}{1-x}\), qui vaut \(\frac{1}{(1-x)^2}\), est bien la somme annoncée.

Sur \(]-1,1[\) tout entier, la série \(\sum x^n\) ne converge pas uniformément : son reste \(R_n(x) = \frac{x^{n+1}}{1-x}\) n’est pas borné. C’est pourquoi on travaille sur les segments. Le caractère local de la continuité et de la dérivabilité rend cette restriction sans conséquence.

Théorème de Weierstrass. Soit \(f\) continue sur un segment \([a,b]\). Il existe une suite \((P_n)\) de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers \(f\) sur \([a,b]\).

Notons \(p_k(x) = \binom\,{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\). La formule du binôme et ses dérivées donnent trois identités, valables pour \(x \in [0,1]\) :

\[\sum_{k=0}^n p_k(x) = 1, \qquad \sum_{k=0}^n k\,p_k(x) = nx, \qquad \sum_{k=0}^n (k – nx)^2 p_k(x) = nx(1-x).\]

Soit \(\varepsilon > 0\). D’après le théorème de Heine, il existe \(\delta > 0\) tel que \(|x – y| \leq\, \delta\) entraîne \(|f(x) – f(y)| \leq\, \varepsilon\). Notons aussi \(M = \|f\|_\infty\). Grâce à la première identité :

\[|f(x) – B_n(f)(x)| \leq\, \sum_{k=0}^n | f(x) – f\!(\tfrac{k}{n}) | p_k(x).\]

D’une part, les indices tels que \(|x – \frac{k}{n}| \leq\, \delta\) contribuent au plus \(\varepsilon\). D’autre part, pour les autres indices, \(1 \leq\, \frac{(k – nx)^2}{n^2 \delta^2}\), et leur contribution est majorée par

\[2M \sum_{k=0}^n \frac{(k-nx)^2}{n^2\delta^2}\,p_k(x) = \frac{2M\,x(1-x)}{n\delta^2} \leq\, \frac{M}{2n\delta^2}.\]

Ainsi, \(\|f – B_n(f)\|_\infty \leq\, \varepsilon + \frac{M}{2n\delta^2}\), qui est inférieur à \(2\varepsilon\) pour \(n\) assez grand.

Le segment est indispensable. En effet, une limite uniforme de polynômes sur \(\mathbb{R}\) tout entier est encore un polynôme. Ainsi, la fonction exponentielle est limite uniforme de polynômes sur tout segment, mais pas sur \(\mathbb{R}\). Les exercices développent ce point, ainsi que l’application classique : une fonction continue sur \([0,1]\) dont tous les moments \(\int_0^1 f(x) x^n\,\mathrm{d}x\) sont nuls est la fonction nulle.

Sur \([0,1]\), les sommes partielles \(P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\) convergent uniformément vers \(\exp\). En effet, l’inégalité de Taylor-Lagrange donne \(|e^x – P_n(x)| \leq\, \frac{e}{(n+1)!}\) pour tout \(x \in [0,1]\). Voilà donc une suite explicite de polynômes, comme le prévoit le théorème de Weierstrass.