Ce QCM vérifie que vous savez retrouver les formules de trigonométrie en quelques secondes et résoudre au cercle les équations et inéquations trigonométriques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Trigonométrie et fonctions circulaires du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Trigonométrie - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour tout réel \(x\), à quoi est égal \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\) ?
Pour tout réel \(x\), à quoi est égal \(\cos(2x)\) ?
A\(1 - 2\sin^2 x\)
B\(2\sin^2 x - 1\)
C\(1 - 2\cos^2 x\)
D\(2\sin x \cos x\)
Question 4
Lorsque les tangentes sont définies, que vaut \(\tan(a + b)\) ?
A\(\frac{\tan a \tan b}{1 - \tan a - \tan b}\)
B\(\frac{\tan a - \tan b}{1 - \tan a \tan b}\)
C\(\frac{\tan a + \tan b}{1 + \tan a \tan b}\)
D\(\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}\)
Question 5
Quelles sont les solutions réelles de l’équation \(\cos x = \frac{1}{2}\) ?
A\(x \equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi]\) seulement
B\(x \equiv \frac{\pi}{6}\ [2\pi]\) ou \(x \equiv -\frac{\pi}{6}\ [2\pi]\)
C\(x \equiv \frac{\pi}{3}\ [2\pi]\) ou \(x \equiv -\frac{\pi}{3}\ [2\pi]\)
D\(x \equiv \frac{\pi}{3}\ [\pi]\)
Question 6
Combien l’équation \(\sin(2x) = \sin x\) a-t-elle de solutions dans \([0, 2\pi[\) ?
A\(3\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(6\)
Question 7
Quelle est la valeur exacte de \(\cos\frac{\pi}{12}\) ?
A\(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)
B\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
C\(\frac{\sqrt{3} + 1}{4}\)
D\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{4}\)
Question 8
Pour \(x \not\equiv \pi\ [2\pi]\), on pose \(t = \tan\frac{x}{2}\). À quoi est égal \(\cos x\) ?
A\(\frac{1 + t^2}{1 - t^2}\)
B\(\frac{2t}{1 - t^2}\)
C\(\frac{2t}{1 + t^2}\)
D\(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)
Question 9
Laquelle de ces inégalités est vraie pour tout réel \(x\) ?
A\(|\sin x| \leqslant |x|\)
B\(\sin x \leqslant x\)
C\(\cos x \leqslant 1 - \frac{x^2}{2}\)
D\(|\tan x| \geqslant |x|\) dès que \(\tan x\) est défini
Question 10
Quelle est la plus petite période strictement positive de \(f : x \mapsto \cos(3x) + \sin(2x)\) ?
A\(6\pi\)
B\(2\pi\)
C\(\pi\)
D\(\frac{2\pi}{3}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de trigonométrie en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les valeurs de \(\cos\) et \(\sin\) en \(\pi \pm x\) et \(\frac{\pi}{2} \pm x\) ;
les formules d’addition et de duplication, y compris pour la tangente ;
la transformation d’un produit en somme ;
la résolution d’équations modulo \(2\pi\) et le comptage des solutions ;
la substitution \(t = \tan\frac{x}{2}\) et l’inégalité \(|\sin x| \leq\, |x|\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : résoudre \(\cos x = \cos a\) en écrivant seulement \(x \equiv a \ [2\pi]\). Il y a deux familles de solutions, \(x \equiv a\) et \(x \equiv -a \ [2\pi]\) ; pour le sinus, \(x \equiv a\) et \(x \equiv \pi – a \ [2\pi]\).
Comment réviser avant de refaire le test
Ne retenez que \(\cos(a+b)\) et \(\sin(a+b)\) : toutes les autres formules (duplication, produit en somme, \(\cos^2\) en fonction de \(\cos 2x\)) s’en déduisent en remplaçant \(b\) par \(-b\) ou par \(a\). Placez systématiquement les solutions sur un cercle dessiné. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Elle exprime \(\cos t\) et \(\sin t\) comme fractions rationnelles de \(u = \tan\frac{t}{2}\), ce qui ramène certaines intégrales trigonométriques au calcul de primitives de fractions rationnelles.
Pourquoi travailler « modulo \(2\pi\) » ?
Parce que \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques : écrire \(x \equiv a \ [2\pi]\) décrit d’un coup toutes les solutions réelles \(a + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
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