Ce QCM vérifie la pratique du formulaire des fonctions de référence : exponentielle, logarithme, puissances, fonctions circulaires réciproques et hyperboliques, avec les techniques de dérivation. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions usuelles et techniques de dérivation du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Fonctions usuelles - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que vaut \(\operatorname{Arcsin}\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)\) ?
A\(-\frac{\pi}{4}\)
B\(-\frac{3\pi}{4}\)
C\(\frac{\pi}{4}\)
D\(\frac{3\pi}{4}\)
Question 2
Quelle est la dérivée de \(\operatorname{Arccos}\) sur \(]-1, 1[\) ?
A\(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
B\(x \mapsto -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
C\(x \mapsto -\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\)
D\(x \mapsto -\frac{1}{1 + x^2}\)
Question 3
Pour tout réel \(x\), que vaut \(\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x\) ?
A\(\mathrm{ch}(2x)\)
B\(-1\)
C\(0\)
D\(1\)
Question 4
Pour \(x < 0\), que vaut \(\operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan}\frac{1}{x}\) ?
A\(-\frac{\pi}{2}\)
B\(\pi\)
C\(\frac{\pi}{2}\)
D\(0\)
Question 5
Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^x\) ?
A\(e^{-1}\)
B\(+\infty\)
C\(1\)
D\(0\)
Question 6
La fonction \(f : x \mapsto x + e^x\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Que vaut \((f^{-1})'(1)\) ?
A\(2\)
B\(\frac{1}{1 + e}\)
C\(1 + e\)
D\(\frac{1}{2}\)
Question 7
Laquelle de ces inégalités est vraie pour tout \(x > -1\) ?
A\(\ln(1 + x) \geqslant x\)
B\(\ln(1 + x) \leqslant \frac{x}{1 + x}\)
C\(\ln(1 + x) \geqslant x - \frac{x^2}{2}\)
D\(\ln(1 + x) \leqslant x\)
Question 8
Quel est l’ensemble de définition de \(x \mapsto \ln(\ln x)\) ?
A\(]0, +\infty[\)
B\(]1, +\infty[\)
C\([1, +\infty[\)
D\(]e, +\infty[\)
Question 9
Pour \(x \in [-1, 1]\), que vaut \(\operatorname{Arcsin} x + \operatorname{Arccos} x\) ?
A\(\frac{\pi}{2}\) si \(x \geqslant 0\), et \(-\frac{\pi}{2}\) sinon
B\(\frac{\pi}{2}\)
C\(0\)
D\(\pi\)
Question 10
Quelle est la dérivée de \(\varphi : t \mapsto e^{(2 + 3i)t}\) sur \(\mathbb{R}\) ?
A\(t \mapsto (2 + 3i)e^{(2 + 3i)t}\)
B\(t \mapsto (2 - 3i)e^{(2 + 3i)t}\)
C\(t \mapsto 2e^{(2 + 3i)t}\)
D\(t \mapsto e^{(2 + 3i)t}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de fonctions usuelles en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le domaine de définition et la parité d’une fonction composée ;
la dérivée d’une réciproque \((f^{-1})’ = \frac{1}{f’ \circ f^{-1}}\) ;
les fonctions Arcsin, Arccos, Arctan et leurs identités ;
les croissances comparées et les inégalités de convexité usuelles ;
les fonctions hyperboliques et la dérivée de \(e^{\varphi}\) pour \(\varphi\) complexe.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire \(\operatorname{Arcsin}(\sin x) = x\) pour tout réel \(x\). Cette égalité n’est vraie que pour \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) ; ailleurs, il faut d’abord ramener l’angle dans cet intervalle.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour chaque fonction réciproque, retenez l’intervalle image (\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) pour Arcsin, \([0, \pi]\) pour Arccos, \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) pour Arctan) : la plupart des simplifications s’en déduisent. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Comment démontrer une identité comme \(\operatorname{Arcsin} x + \operatorname{Arccos} x = \frac{\pi}{2}\) ?
On dérive la différence des deux membres : si la dérivée est nulle sur un intervalle, la fonction est constante, et on calcule la constante en un point simple comme \(x = 0\).
Les fonctions hyperboliques sont-elles vraiment utiles ?
Oui : \(\mathrm{ch}\) et \(\mathrm{sh}\) apparaissent dans les solutions de \(y » = \omega^2 y\), dans certaines primitives et en géométrie, avec la relation fondamentale \(\mathrm{ch}^2 – \mathrm{sh}^2 = 1\).
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