Applications linéaires : exercices de maths en L1 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Linéaire ou non linéaire

Dire si chacune des applications suivantes est linéaire. Justifier par une preuve ou par un contre-exemple.

1. \(f_1 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y, z) \mapsto (x – 2y + z, 3y)\).
2. \(f_2 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \((x, y) \mapsto (x + y, y + 1)\).
3. \(f_3 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), \((x, y) \mapsto xy\).
4. \(f_4 : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}\), \(P \mapsto P(2) – P^{\prime}(0)\).
5. \(f_5 : \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R}) \to \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\), qui à \(g\) associe la fonction \(x \mapsto x\, g(x)\). Est-ce un endomorphisme ?
6. \(f_6 : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}\), \(M \mapsto \det M\).

Exercice 2 : Différence finie sur les polynômes de degré 2

On considère l’application \(u : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]\) définie par \(u(P) = P(X + 1) – P(X)\).

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_2[X]\).
2. Calculer \(u(1)\), \(u(X)\) et \(u(X^2)\).
3. Déterminer \(\ker u\) et \(\mathrm{Im}\, u\), avec une base de chacun.
4. Vérifier le théorème du rang sur cet exemple. L’endomorphisme \(u\) est-il injectif ? surjectif ?

Exercice 3 : Noyau et image d’un endomorphisme de l’espace

Soit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(f(x, y, z) = (x – y, y – z, z – x)\).

1. Montrer que \(f\) est linéaire.
2. Déterminer \(\ker f\) et en donner une base.
3. Montrer que \(\mathrm{Im}\, f\) est contenue dans le plan \(P\) d’équation \(x + y + z = 0\), puis qu’elle lui est égale.
4. Les sous-espaces \(\ker f\) et \(\mathrm{Im}\, f\) sont-ils supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\) ?

Exercice 4 : Injectivité et équation de l’image

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(f(x, y) = (x + 2y, 3x + 4y, x – y)\).

1. Montrer que \(f\) est injective en calculant son noyau.
2. Quel est le rang de \(f\) ? L’application \(f\) est-elle surjective ?
3. Déterminer une équation cartésienne de \(\mathrm{Im}\, f\).
4. Le vecteur \((1, 1, -2)\) appartient-il à \(\mathrm{Im}\, f\) ? Si oui, déterminer son unique antécédent.

Exercice 5 : Opérations sur deux endomorphismes du plan

On considère les endomorphismes \(f\) et \(g\) de \(\mathbb{R}^2\) définis par \(f(x, y) = (y, x)\) et \(g(x, y) = (x, 0)\).

1. Calculer \(f \circ g\) et \(g \circ f\). Conclure sur la commutativité de la composition.
2. Calculer l’endomorphisme \(2f – g\).
3. Calculer \(f \circ f\) et \(g \circ g\). En déduire que \(f\) est un automorphisme et donner \(f^{-1}\).
4. On pose \(h = f \circ g\). Calculer \(h \circ h\). Que peut-on en conclure sur le produit de composition dans \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)\) ?

Exercice 6 : Application définie par l’image d’une base

Dans \(\mathbb{R}^3\), on pose \(u_1 = (1, 0, 0)\), \(u_2 = (1, 1, 0)\) et \(u_3 = (1, 1, 1)\), comme sur la figure ci-dessous.

1. Montrer que \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), et exprimer un vecteur \((x, y, z)\) dans cette base.
2. Justifier qu’il existe une unique application linéaire \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) telle que \(f(u_1) = (1, 2)\), \(f(u_2) = (0, 1)\) et \(f(u_3) = (3, 1)\). Donner l’expression de \(f(x, y, z)\).
3. Déterminer le rang de \(f\), puis une base de son noyau.
4. Existe-t-il une application linéaire \(g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) telle que \(g(1, 1) = (1, 0)\), \(g(2, 1) = (0, 1)\) et \(g(3, 2) = (1, 2)\) ?

Exercice 7 : Théorème du rang en dimension 4

Soit \(f : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(f(x, y, z, t) = (x + y + z + t,\ x – y + z – t,\ 2x + 2z)\).

1. Calculer les images des vecteurs de la base canonique et en déduire le rang de \(f\).
2. En déduire la dimension de \(\ker f\) sans résoudre de système, puis déterminer une base de \(\ker f\).
3. Déterminer une équation de \(\mathrm{Im}\, f\). L’application \(f\) est-elle surjective ?

Exercice 8 : Un endomorphisme de polynômes inversible

Soit \(n \geq\, 1\). On définit \(u : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]\) par \(u(P) = P + P^{\prime}\).

1. Montrer que \(u\) est bien un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Soit \(P\) non nul. Comparer les degrés de \(u(P)\) et de \(P\). En déduire \(\ker u\).
3. En déduire que \(u\) est un automorphisme, sans chercher sa réciproque.
4. Pour \(n = 2\), déterminer le polynôme \(P\) tel que \(u(P) = X^2\).
5. Pour \(Q \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(v(Q) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k Q^{(k)}\). Montrer que \(u \circ v = \mathrm{Id}\) et conclure que \(v = u^{-1}\).

Exercice 9 : Dimension infinie : les équivalences tombent

Dans \(\mathbb{R}[X]\), on considère \(D : P \mapsto P^{\prime}\) et \(M : P \mapsto XP\).

1. Montrer que \(D\) et \(M\) sont des endomorphismes de \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(D\) est surjectif mais non injectif.
3. Montrer que \(M\) est injectif mais non surjectif.
4. Calculer \(D \circ M – M \circ D\).
5. Pour \(n \geq\, 1\), la restriction de \(D\) à \(\mathbb{R}_n[X]\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\). Déterminer son noyau et son rang. Expliquer pourquoi ces résultats sont cohérents avec le cours.

Exercice 10 : Composée nulle et endomorphisme de carré nul

Les espaces sont de dimension finie.

1. Soient \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\). Montrer que \(g \circ f = 0\) si et seulement si \(\mathrm{Im}\, f \subset \ker g\).
2. Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) avec \(\dim E = n\) et \(u \circ u = 0\). Montrer que \(\mathrm{rg}\, u \leq\, \frac{n}{2}\).
3. Vérifier que \(u : (x, y, z, t) \mapsto (z, t, 0, 0)\) vérifie \(u \circ u = 0\) sur \(\mathbb{R}^4\), et que l’inégalité est une égalité.
4. Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}^3\) de rang \(2\) tel que \(u \circ u = 0\) ?

Exercice 11 : Rang d’une composée

Soient \(E\), \(F\), \(G\) de dimension finie, \(f \in \mathcal{L}(E, F)\) et \(g \in \mathcal{L}(F, G)\).

1. Montrer que \(\mathrm{Im}(g \circ f) \subset \mathrm{Im}\, g\), puis que \(\mathrm{rg}(g \circ f) \leq\, \mathrm{rg}\, g\).
2. En appliquant le théorème du rang à la restriction de \(g\) à \(\mathrm{Im}\, f\), montrer que \(\mathrm{rg}(g \circ f) \leq\, \mathrm{rg}\, f\).
3. Montrer que si \(g\) est injective, alors \(\mathrm{rg}(g \circ f) = \mathrm{rg}\, f\). Montrer que si \(f\) est surjective, alors \(\mathrm{rg}(g \circ f) = \mathrm{rg}\, g\).
4. Soient \(a \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)\) et \(b \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3)\). Montrer que \(b \circ a\) n’est jamais un automorphisme de \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 12 : Reconnaître un projecteur du plan

Soit \(p : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) définie par \(p(x, y) = (2x – 2y, x – y)\).

1. Montrer que \(p\) est un projecteur.
2. Déterminer \(\mathrm{Im}\, p\) et \(\ker p\). Décrire géométriquement \(p\).
3. Calculer \(p(1, 3)\) et écrire \((1, 3)\) comme somme d’un vecteur de \(\mathrm{Im}\, p\) et d’un vecteur de \(\ker p\).
4. Déterminer l’expression de la symétrie \(s\) associée, puis vérifier que \(s \circ s = \mathrm{Id}\).

Exercice 13 : Une symétrie de l’espace

Soit \(s : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) définie par \(s(x, y, z) = (-x – 2y – 2z,\ y,\ z)\). On note \(P\) le plan d’équation \(x + y + z = 0\) et \(D = \mathrm{Vect}((1, 0, 0))\), représentés ci-dessous.

1. Montrer que \(s\) est linéaire et que \(s \circ s = \mathrm{Id}\).
2. Déterminer \(\ker(s – \mathrm{Id})\) et \(\ker(s + \mathrm{Id})\).
3. En déduire la nature géométrique de \(s\).
4. Donner l’expression du projecteur \(p\) sur \(P\) parallèlement à \(D\).
5. Calculer \(p(1, 1, 1)\) et \(s(1, 1, 1)\).

Exercice 14 : Transposition et matrices symétriques

Soit \(T : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) définie par \(T(M) = M + M^{\mathrm{T}}\). On note \(\mathcal{S}_2\) et \(\mathcal{A}_2\) les sous-espaces des matrices symétriques et antisymétriques.

1. Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
2. Déterminer \(\ker T\) et sa dimension.
3. Montrer que \(\mathrm{Im}\, T \subset \mathcal{S}_2\), puis que \(\mathrm{Im}\, T = \mathcal{S}_2\) à l’aide du théorème du rang.
4. Montrer que \(p = \frac{1}{2} T\) est un projecteur et préciser ses éléments caractéristiques.
5. Décomposer \(M = \begin{pmatrix} 1 2 \\ 4 3 \end{pmatrix}\) en somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.

Exercice 15 : Hyperplans en dimension 4 et polynômes

1. Soit \(H = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x + 2y – z + t = 0\}\). Montrer que \(H\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}^4\) et en donner une base.
2. Montrer que \(D = \mathrm{Vect}((1, 0, 0, 0))\) est un supplémentaire de \(H\).
3. Soit \(n \geq\, 1\) et \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}\), \(P \mapsto P(1)\). Montrer que \(K = \ker \varphi\) est un hyperplan de \(\mathbb{R}_n[X]\).
4. Montrer que la famille \(\big((X – 1) X^k\big)_{0 \leq\, k \leq\, n-1}\) est une base de \(K\), et que \(\mathbb{R}_0[X]\) est un supplémentaire de \(K\).
5. L’application \(P \mapsto P(0) P(1)\) est-elle une forme linéaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\) ?

Exercice 16 : Formes linéaires et intersection d’hyperplans

Soit \(E\) un espace de dimension finie \(n \geq\, 2\).

1. Soient \(\varphi\), \(\psi\) deux formes linéaires sur \(E\) avec \(\varphi \neq 0\) et \(\ker \varphi \subset \ker \psi\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(\psi = \lambda \varphi\).
2. Déterminer toutes les formes linéaires sur \(\mathbb{R}^3\) qui s’annulent sur le plan d’équation \(x – y + 2z = 0\).
3. Soient \(H_1 = \ker \varphi\) et \(H_2 = \ker \psi\) deux hyperplans distincts. En étudiant \(\Phi : x \mapsto (\varphi(x), \psi(x))\), montrer que \(\dim (H_1 \cap H_2) = n – 2\).
4. Application : dans \(\mathbb{R}^4\), déterminer une base de l’intersection des hyperplans d’équations \(x + y + z + t = 0\) et \(x – y + z – t = 0\).

Exercice 17 : Suites des noyaux et des images itérés

Soit \(E\) de dimension finie \(n\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\). Pour \(k \in \mathbb{N}\), on note \(N_k = \ker f^k\) et \(I_k = \mathrm{Im}\, f^k\).

1. Montrer que \(N_k \subset N_{k+1}\) et \(I_{k+1} \subset I_k\) pour tout \(k\).
2. Montrer qu’il existe un entier \(k \leq\, n\) tel que \(N_k = N_{k+1}\).
3. Montrer que si \(N_k = N_{k+1}\), alors \(N_{k+1} = N_{k+2}\). En déduire que la suite \((N_j)\) est constante à partir du rang \(k\).
4. Montrer que, pour ce même \(k\), la suite \((I_j)\) est constante à partir du rang \(k\).
5. Exemple : \(f(x, y, z) = (y, z, 0)\) sur \(\mathbb{R}^3\). Déterminer \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\) et les rangs de \(f\), \(f^2\), \(f^3\).

Exercice 18 : Noyau et image supplémentaires

Soit \(E\) de dimension finie et \(f \in \mathcal{L}(E)\).

1. Montrer que \(E = \ker f \oplus \mathrm{Im}\, f\) si et seulement si \(\ker f \cap \mathrm{Im}\, f = \{0\}\).
2. Montrer que \(\ker f \cap \mathrm{Im}\, f = \{0\}\) si et seulement si \(\ker f = \ker f^2\).
3. Montrer que \(\ker f = \ker f^2\) si et seulement si \(\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Im}\, f^2\).
4. Vérifier ces propriétés pour un projecteur. Montrer qu’elles sont fausses pour \(g : (x, y) \mapsto (y, 0)\) sur \(\mathbb{R}^2\).

Exercice 19 : Somme de deux projecteurs

Soient \(p\) et \(q\) deux projecteurs d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que si \(p \circ q = q \circ p = 0\), alors \(p + q\) est un projecteur.
2. Réciproquement, on suppose que \(p + q\) est un projecteur. Montrer que \(p \circ q + q \circ p = 0\), puis que \(p \circ q = q \circ p = 0\).
3. Sous ces conditions, montrer que \(\mathrm{Im}(p + q) = \mathrm{Im}\, p \oplus \mathrm{Im}\, q\) et que \(\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q\).
4. Illustrer avec \(p(x, y, z) = (x, 0, 0)\) et \(q(x, y, z) = (0, y, 0)\) sur \(\mathbb{R}^3\).

Exercice 20 : Problème : endomorphismes de rang 1

Soit \(E\) de dimension finie \(n \geq\, 2\) et \(f \in \mathcal{L}(E)\) de rang \(1\). On choisit un vecteur non nul \(a\) tel que \(\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Vect}(a)\).

1. Montrer qu’il existe une unique application \(\varphi : E \to \mathbb{K}\) telle que \(f(x) = \varphi(x)\, a\) pour tout \(x \in E\), et que \(\varphi\) est une forme linéaire non nulle.
2. Montrer que \(\ker f = \ker \varphi\) est un hyperplan de \(E\).
3. Montrer que \(f \circ f = \varphi(a)\, f\).
4. En déduire que \(f\) est un projecteur si et seulement si \(\varphi(a) = 1\), et que \(f \circ f = 0\) si et seulement si \(a \in \ker f\).
5. Montrer que \(\mathrm{Id}_E + f\) est un automorphisme si et seulement si \(\varphi(a) \neq -1\). Dans ce cas, vérifier que son inverse est \(\mathrm{Id}_E – \frac{1}{1 + \varphi(a)} f\).
6. Application : \(f(x, y, z) = (x + y + z)(1, 2, -1)\) sur \(\mathbb{R}^3\). Identifier \(a\) et \(\varphi\), calculer \(f \circ f\), et donner l’inverse de \(\mathrm{Id} + f\).

Exercice 21 : Problème : interpolation de Lagrange

Soit \(n \in \mathbb{N}\) et \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) des réels deux à deux distincts. On définit \(u : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}\) par \(u(P) = (P(a_0), P(a_1), \ldots, P(a_n))\).

1. Montrer que \(u\) est linéaire.
2. Montrer que \(u\) est injective.
3. En déduire que \(u\) est un isomorphisme. Traduire ce résultat en termes de polynômes.
4. Pour \(i \in \{0, \ldots, n\}\), on pose \(L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X – a_j}{a_i – a_j}\). Calculer \(u(L_i)\) et en déduire que \((L_0, \ldots, L_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\).
5. On prend \(n = 2\), \(a_0 = 0\), \(a_1 = 1\), \(a_2 = 2\). Déterminer l’unique \(P \in \mathbb{R}_2[X]\) dont la courbe passe par les trois points de la figure ci-dessous.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L1

• Le cours : applications linéaires, cours de maths en L1
• À maîtriser avant : Familles libres, bases et dimension
• Chapitre précédent : Familles libres, bases et dimension
• Chapitre suivant : Matrice d'une application linéaire et changement de base
• Le même thème en maths sup : applications linéaires, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3