Contrôle de maths 2de : Pythagore, trigonométrie et projeté orthogonal

Exercice 1 : Triangle rectangle ou non (3 points)

Calculatrice autorisée. Les arrondis demandés sont donc précisés dans chaque question.

1. Le triangle \(RST\) est tel que \(RS = 8{,}5\) cm, \(ST = 7{,}5\) cm et \(RT = 4\) cm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser alors en quel sommet. (1,5 point)
2. Ensuite, le triangle \(KLM\) est tel que \(KL = 6\) cm, \(LM = 9\) cm et \(KM = 11\) cm. Ce triangle est-il rectangle ? (1,5 point)

Exercice 2 : Une rampe d’accès (4 points)

Pour accéder à l’entrée d’une médiathèque, on a installé une rampe \([AB]\) de \(4{,}8\) m de long. Elle permet ainsi de monter une marche de hauteur \(BC = 0{,}40\) m. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

(La figure n’est pas à l’échelle : la hauteur est exagérée.)

1. Calculer d’abord la longueur \(AC\), arrondie au centimètre. (1 point)
2. Calculer ensuite la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au dixième de degré. (1 point)
3. La pente de la rampe est le quotient \(\dfrac{BC}{AC}\), exprimé en pourcentage. Or une règle d’accessibilité impose une pente inférieure ou égale à \(5\,\%\). Cette rampe respecte-t-elle donc cette règle ? (1 point)
4. Enfin, on veut une nouvelle rampe, pour la même hauteur de \(0{,}40\) m, avec une pente exactement égale à \(5\,\%\). Quelle distance horizontale \(AC\) faut-il prévoir ? Quelle sera alors la longueur de la rampe, arrondie au centimètre ? (1 point)

Exercice 3 : Projeté orthogonal et distance à une droite (5 points)

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, \(H\) est le point de \([BC]\) tel que les droites \((AH)\) et \((BC)\) sont perpendiculaires. De plus, on donne \(AB = 5\) cm, \(BH = 4\) cm et \(\widehat{ACB} = 35^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Comment appelle-t-on le point \(H\) par rapport au point \(A\) et à la droite \((BC)\) ? Que représente alors la longueur \(AH\) ? (1 point)
2. Calculer \(AH\). (1 point)
3. Calculer ensuite \(HC\) et \(AC\), arrondies au millimètre. (1,5 point)
4. En déduire l’aire du triangle \(ABC\), arrondie au dixième de \(\text{cm}^2\). (0,75 point)
5. Enfin, soit \(M\) un point de la droite \((BC)\) distinct de \(H\). Démontrer que \(AM > AH\). (0,75 point)

Exercice 4 : La hauteur d’un arbre (4 points)

Pour estimer la hauteur d’un arbre \([AB]\), Nathan plante verticalement un bâton \([CD]\) de \(1{,}5\) m dans le sol horizontal. Puis il se place de sorte que l’extrémité de l’ombre du bâton coïncide avec celle de l’ombre de l’arbre, au point \(S\). Ainsi, les points \(S\), \(D\), \(B\) sont alignés, ainsi que les points \(S\), \(C\), \(A\). Il mesure enfin \(SD = 2\) m et \(SB = 12\) m.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Justifier que les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles. (1 point)
2. Calculer alors la hauteur \(AB\) de l’arbre. (1,5 point)
3. Calculer ensuite l’angle \(\widehat{CSD}\) que forment les rayons du soleil avec le sol, arrondi au dixième de degré. (1 point)
4. Enfin, calculer la longueur \(SA\). (0,5 point)

Exercice 5 : À quelle distance est le bateau ? (4 points)

Depuis deux points \(P\) et \(Q\) d’une côte rectiligne, distants de 3 km, on observe un bateau \(B\). Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((PQ)\) ; les points \(P\), \(Q\), \(H\) sont alignés dans cet ordre. Ensuite, on mesure \(\widehat{BPH} = 40^\circ\) et \(\widehat{BQH} = 65^\circ\). Enfin, on note \(h = BH\), en km.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Exprimer \(PH\) et \(QH\) en fonction de \(h\). (1,5 point)
2. En utilisant \(PH – QH = 3\), démontrer que \(h = \dfrac{3}{\dfrac{1}{\tan 40^\circ} – \dfrac{1}{\tan 65^\circ}}\). Donner ensuite la valeur de \(h\) arrondie au mètre. (1,5 point)
3. Pourquoi \(h\) est-elle donc la distance du bateau à la côte ? Calculer enfin la distance \(BP\), arrondie au mètre. (1 point)

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