Contrôle de maths 2de : équations de droites dans un repère

Exercice 1 : Automatismes sur les droites (3 points)

Calculatrice interdite pour l’exercice 1, autorisée pour les suivants.

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i}, \vec{j})\). Répondre sans justification détaillée.

1. Donner le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite d’équation \(y = -3x + 2\). (0,5 point)
2. Le point \(A(2\,;1)\) appartient-il à la droite d’équation \(y = 2x – 3\) ? (0,5 point)
3. Donner un vecteur directeur de la droite d’équation \(2x – 5y + 1 = 0\). (0,5 point)
4. Donner une équation de la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par \(B(4\,;-1)\). (0,5 point)
5. Calculer le coefficient directeur de la droite \((EF)\) avec \(E(1\,;3)\) et \(F(3\,;7)\). (0,5 point)
6. Les droites d’équations \(y = 4x – 1\) et \(y = 4x + 7\) sont-elles parallèles ? (0,5 point)

Exercice 2 : Lire et tracer des droites (5 points)

Les droites \(d_1\), \(d_2\) et \(d_3\) sont tracées dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. Déterminer par lecture graphique l’équation réduite de la droite \(d_1\), en expliquant la lecture. (1 point)
2. Déterminer de même l’équation réduite de la droite \(d_2\). (1 point)
3. Donner une équation de la droite \(d_3\). (0,5 point)
4. Tracer dans un repère la droite \(d_4\) d’équation \(y = -3x + 4\). (1 point)
5. Déterminer l’équation réduite de la droite \(d_5\) d’équation cartésienne \(3x – 2y – 6 = 0\), puis la tracer dans le même repère que \(d_4\). (1,5 point)

Exercice 3 : La droite passant par deux points (4 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-2\,;5)\) et \(B(4\,;2)\).

1. Calculer le coefficient directeur de la droite \((AB)\). (1 point)
2. En déduire l’équation réduite de la droite \((AB)\). (1 point)
3. Calculer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\), puis déterminer une équation cartésienne de \((AB)\) dont les coefficients sont des entiers. (1 point)
4. Le point \(C(10\,;-1)\) appartient-il à la droite \((AB)\) ? Justifier. (0,5 point)
5. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de \((AB)\) avec l’axe des abscisses. (0,5 point)

Exercice 4 : Droites parallèles (4 points)

Dans un repère orthonormé, on considère la droite \(d\) d’équation cartésienne \(3x – y + 2 = 0\).

1. Donner un vecteur directeur de \(d\). (0,5 point)
2. Déterminer l’équation réduite de la droite \(d^{\prime}\) parallèle à \(d\) passant par le point \(E(2\,;-1)\). (1 point)
3. La droite \(\Delta\) d’équation \(6x – 2y + 5 = 0\) est-elle parallèle à \(d\) ? Les droites \(d\) et \(\Delta\) sont-elles confondues ? Justifier. (1 point)
4. Donner une équation de la droite \(\delta\) passant par \(F(-1\,;4)\) et parallèle à l’axe des ordonnées, puis calculer les coordonnées du point d’intersection de \(\delta\) et de \(d\). (1,5 point)

Exercice 5 : Choisir un tarif de location (4 points)

Une agence loue des camionnettes pour une journée. Pour \(x\) kilomètres parcourus, le prix payé, en euros, est :

• avec le tarif A : 30 € de forfait, plus \(0{,}50\) € par kilomètre ;
• avec le tarif B : 12 € de forfait, plus \(0{,}80\) € par kilomètre.

Dans un repère, on représente chaque tarif par la droite d’équation \(y = \) prix payé pour \(x\) kilomètres.

1. Donner les équations réduites des droites \(\mathcal{D}_A\) et \(\mathcal{D}_B\) associées aux tarifs A et B. Que représente l’ordonnée à l’origine dans chaque cas ? (1 point)
2. Calculer le prix d’une location de 100 km avec chaque tarif. (0,5 point)
3. Un tarif C est représenté par une droite \(\mathcal{D}_C\) qui passe par les points de coordonnées \((20\,;50)\) et \((80\,;80)\). Déterminer son équation réduite. Que peut-on dire des droites \(\mathcal{D}_A\) et \(\mathcal{D}_C\) ? Le tarif C est-il intéressant ? (1,5 point)
4. Déterminer à partir de combien de kilomètres le tarif A devient strictement moins cher que le tarif B. (1 point)

Réviser avant le contrôle : équations de droites dans un repère

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