Contrôle de maths 2de : inéquations et résolution graphique

Exercice 1 : Inéquations du premier degré (4 points)

Calculatrice autorisée pour tout le sujet.

Résous dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes et donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

1. \(3x – 5 \leq\, 7\) (1 point)
2. \(-2x + 9 > 3\) (1 point)
3. \(\dfrac{x}{2} – 1 \geq\, \dfrac{2x + 1}{3}\) (1 point)
4. \(4(x – 1) < 4x + 3\) (1 point)

Exercice 2 : Tableaux de signes (5 points)

Résous dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes à l’aide d’un tableau de signes.

1. \((2x – 6)(x + 4) \geq\, 0\) (2 points)
2. \(\dfrac{x + 2}{3 – x} > 0\) (1,5 point)
3. \(x^2 < 9x\) (1,5 point)

Exercice 3 : Deux courbes à comparer (5 points)

On a tracé ci-dessous, sur l’intervalle \([-2 \,;\, 5]\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\) (en bleu) et la droite \(\mathcal{C}_g\) représentant une fonction \(g\) (en rouge).

1. Lis \(f(0)\) et \(g(0)\). (0,5 point)
2. Résous graphiquement l’équation \(f(x) = g(x)\). (1 point)
3. Résous graphiquement l’inéquation \(f(x) < g(x)\). (1 point)
4. Résous graphiquement l’inéquation \(f(x) \geq\, 2\). (1 point)
5. On admet que \(f(x) = x^2 – 2x – 1\) et \(g(x) = x + 3\). Montre que \(f(x) – g(x) = (x + 1)(x – 4)\), puis retrouve par un tableau de signes le résultat de la question c). (1,5 point)

Exercice 4 : Choisir sa formule d’escalade (6 points)

Une salle d’escalade propose trois formules pour l’année :

• formule A : \(12\) € la séance, sans abonnement ;
• formule B : un abonnement de \(90\) € pour l’année, puis \(6\) € la séance ;
• formule C : un forfait de \(300\) € pour l’année, avec un nombre de séances illimité.

On note \(x\) le nombre de séances dans l’année, et \(A(x)\), \(B(x)\), \(C(x)\) le prix payé, en euros, avec chaque formule. Les trois fonctions sont représentées ci-dessous.

1. Calcule le prix payé pour 10 séances avec chacune des trois formules. (1 point)
2. Exprime \(A(x)\), \(B(x)\) et \(C(x)\) en fonction de \(x\). (1 point)
3. Résous par le calcul l’inéquation \(B(x) < A(x)\) et interprète le résultat. (1 point)
4. Résous par le calcul l’inéquation \(B(x) \leq\, C(x)\) et interprète le résultat. (1 point)
5. Vérifie tes réponses aux questions c) et d) sur le graphique, puis indique la formule la plus avantageuse selon le nombre de séances. (1,5 point)
6. Jade dispose d’un budget de \(250\) € pour l’année. Quel est le nombre maximal de séances qu’elle peut faire, et avec quelle formule ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : inéquations et résolution graphique

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Equations, inéquations et résolution graphique » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés équations et inéquations, les inéquations.

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