Ce contrôle de maths de 2de porte sur le thème suivant : modéliser une situation par une fonction.
Ce sujet te demande de modéliser des situations concrètes par une fonction : l’aire d’un carré inscrit dans un autre, le bénéfice d’un atelier, le volume d’une boîte fabriquée dans un carton et l’aire d’un potager. À chaque fois, tu dois choisir la variable, donner l’ensemble de définition qui a du sens, puis établir l’expression de la fonction.
Tu utilises ensuite la courbe pour résoudre des équations \(f(x) = k\) et des inéquations \(f(x) \geq\, k\), et un tableau de valeurs à la calculatrice. Le dernier exercice demande une preuve algébrique d’un maximum. Termine toujours par une phrase d’interprétation avec l’unité.
- Niveau : 2de
- Chapitre : Généralités sur les fonctions
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 5 points)
- Compétences évaluées :
- Modéliser : traduire une situation géométrique ou économique par une fonction et son ensemble de définition
- Calculer : calculer des images, développer une expression et remplir un tableau de valeurs
- Représenter : lire une courbe pour résoudre f(x) = k et f(x) ≥ k
- Raisonner : démontrer une égalité d’expressions et justifier l’existence d’un maximum
- Communiquer : interpréter chaque résultat dans le contexte avec son unité
Exercice 1 : Un carré inscrit dans un carré (5 points)
Calculatrice autorisée pour tout le sujet.
\(ABCD\) est un carré de côté \(10\text{ cm}\). On place les points \(M\) sur \([AB]\), \(N\) sur \([BC]\), \(P\) sur \([CD]\) et \(Q\) sur \([DA]\) tels que \(AM = BN = CP = DQ = x\), en centimètres. On admet que \(MNPQ\) est un carré, et on note \(f(x)\) son aire en \(\text{cm}^2\).
La courbe représentative \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) est tracée ci-dessous.
- Quelles valeurs le nombre \(x\) peut-il prendre ? Donne l’ensemble de définition de \(f\). (0,5 point)
- Montre que l’aire du triangle \(AMQ\) est égale à \(\dfrac{x(10 – x)}{2}\). (1 point)
- En déduire que \(f(x) = 2x^2 – 20x + 100\). (1 point)
- Calcule \(f(3)\) et interprète le résultat. (0,5 point)
- Résous graphiquement l’inéquation \(f(x) \leq\, 68\). Traduis la réponse par une phrase. (1 point)
- Lis sur la courbe l’aire minimale du carré \(MNPQ\) et la valeur de \(x\) correspondante. L’aire de \(MNPQ\) peut-elle être égale à \(40\text{ cm}^2\) ? (1 point)
Exercice 2 : Le bénéfice d’un atelier de lampes (5 points)
Un atelier fabrique chaque semaine entre 0 et 50 lampes. Le coût de fabrication de \(x\) lampes, en euros, est \(C(x) = x^2 + 10x + 400\). Chaque lampe est vendue \(60\) €, et toute la production est vendue. On note \(B(x)\) le bénéfice, en euros, réalisé pour \(x\) lampes fabriquées et vendues.
- Calcule le coût de fabrication de 20 lampes, la recette obtenue en les vendant, puis le bénéfice réalisé. (1 point)
- Exprime la recette \(R(x)\) en fonction de \(x\), puis montre que \(B(x) = -x^2 + 50x – 400\). (1 point)
- Résous graphiquement l’inéquation \(B(x) \geq\, 0\). Combien de lampes l’atelier doit-il fabriquer pour ne pas perdre d’argent ? (1 point)
- Résous graphiquement l’inéquation \(B(x) \geq\, 200\) et interprète le résultat. (1 point)
- Lis le bénéfice maximal et le nombre de lampes correspondant, puis vérifie par un calcul la valeur lue. (1 point)
Exercice 3 : La boîte sans couvercle (5 points)
Lina dispose d’une plaque de carton carrée de \(30\text{ cm}\) de côté. Elle découpe dans chaque coin un carré de côté \(x\) centimètres, puis elle relève les bords en pliant selon les pointillés pour obtenir une boîte sans couvercle. On note \(V(x)\) le volume de la boîte, en \(\text{cm}^3\).
- Explique pourquoi \(x\) appartient à l’intervalle \(]0 \,;\, 15[\). (0,5 point)
- Montre que \(V(x) = x(30 – 2x)^2\). (1 point)
- À l’aide de la calculatrice, recopie et complète le tableau de valeurs suivant. (1 point)
\(x\) 1 2 3 4 5 6 8 10 12 14 \(V(x)\)
La courbe de la fonction \(V\) est tracée ci-dessous.
- Quel est le volume maximal de la boîte ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il obtenu ? (1 point)
- Lina veut une boîte d’au moins un litre, c’est-à-dire \(1\,000\text{ cm}^3\). Résous graphiquement l’inéquation \(V(x) \geq\, 1\,000\) ; tu donneras la borne inférieure arrondie au dixième en t’aidant de la calculatrice. Conclus par une phrase. (1,5 point)
Exercice 4 : Le potager contre le mur (5 points)
Maëlys veut délimiter un potager rectangulaire le long d’un mur. Elle dispose de \(40\text{ m}\) de grillage, qu’elle utilise entièrement pour les trois côtés qui ne longent pas le mur. On note \(x\) la largeur du potager (en mètres), c’est-à-dire la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
- Si \(x = 8\), quelle est la longueur du côté parallèle au mur ? Quelle est alors l’aire du potager ? (1 point)
- Exprime l’aire \(A(x)\) du potager en fonction de \(x\) et précise l’intervalle dans lequel \(x\) varie. (1 point)
- Montre que, pour tout réel \(x\), \(A(x) – 150 = -2(x – 5)(x – 15)\). (1 point)
- En déduire les dimensions possibles d’un potager de \(150\text{ m}^2\). (1 point)
- Montre que \(200 – A(x) = 2(x – 10)^2\). En déduire l’aire maximale du potager et ses dimensions dans ce cas. (1 point)
Réviser avant le contrôle : modéliser une situation par une fonction
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Généralités sur les fonctions numériques » en 2de et « Les fonctions numériques » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonctions.
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