Corrigé du contrôle de maths 4ème : théorème de Thalès et sa réciproque

Exercice 1 : Écrire les rapports égaux (3 points)

1. Dans le triangle \(RST\), \(E \in [RS]\), \(F \in [RT]\) et les droites \((EF)\) et \((ST)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{RE}{RS} = \dfrac{RF}{RT} = \dfrac{EF}{ST}\)
2. On remplace par les longueurs connues : \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{RF}{12} = \dfrac{EF}{8}\).
   \(RF = \dfrac{4 \times 12}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\)
   \(RF = 4{,}8\text{ cm}\).
3. \(EF = \dfrac{4 \times 8}{10} = \dfrac{32}{10} = 3{,}2\)
   \(EF = 3{,}2\text{ cm}\).

Erreur fréquente : écrire \(\frac{RE}{ES}\) au lieu de \(\frac{RE}{RS}\). Chaque rapport compare un côté du petit triangle \(REF\) au côté correspondant du grand triangle \(RST\).

Barème : a) 1 point : 0,5 pour les hypothèses citées, 0,5 pour l’égalité correcte ; b) 1 point : 0,5 pour le produit en croix, 0,5 pour le résultat avec l’unité ; c) 1 point, même répartition.

Exercice 2 : Parallèles ou non ? (4 points)

1. On calcule séparément les deux rapports :
   \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
   \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{4{,}2}{7} = 0{,}6\)
   Donc \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\). De plus, les points \(A\), \(M\), \(B\) et les points \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés dans le même ordre (\(M \in [AB]\) et \(N \in [AC]\)).
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
2. \(\dfrac{DP}{DE} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444\)
   \(\dfrac{DQ}{DF} = \dfrac{5}{11} \approx 0{,}455\)
   Pour comparer exactement, on fait les produits en croix : \(4 \times 11 = 44\) et \(9 \times 5 = 45\). Comme \(44 \neq 45\), on a \(\dfrac{DP}{DE} \neq \dfrac{DQ}{DF}\).
   Si les droites \((PQ)\) et \((EF)\) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux. Ce n’est pas le cas.
   Les droites \((PQ)\) et \((EF)\) ne sont pas parallèles.

Erreur fréquente : écrire dès le début \(\frac{DP}{DE} = \frac{DQ}{DF}\) puis vérifier. On ne sait pas encore si les rapports sont égaux : on les calcule séparément, puis on compare.

Barème : a) 2 points : 1 pour les deux rapports calculés séparément, 0,5 pour la réciproque citée, 0,5 pour la conclusion ; b) 2 points : 1 pour les deux rapports et la comparaison, 0,5 pour l’argument, 0,5 pour la conclusion.

Exercice 3 : Les milieux de deux côtés (4 points)

1. \(I\) est le milieu de \([AB]\), donc \(\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{1}{2}\). \(J\) est le milieu de \([AC]\), donc \(\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{1}{2}\).
   Ainsi \(\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC}\), avec \(I \in [AB]\) et \(J \in [AC]\).
   D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles.
   (On peut aussi citer la propriété : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.)
2. Les droites \((IJ)\) et \((BC)\) sont parallèles, donc d’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{IJ}{BC}\), soit \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{IJ}{9}\).
   \(IJ = 9 : 2 = 4{,}5\)
   \(IJ = 4{,}5\text{ cm}\).
3. Chaque côté du triangle \(AIJ\) mesure la moitié du côté correspondant du triangle \(ABC\) : le coefficient de réduction est \(\frac{1}{2}\) (ou \(0{,}5\)).
   Dans une réduction, toutes les longueurs sont multipliées par le coefficient, donc le périmètre aussi : \(26 \times 0{,}5 = 13\).
   Le coefficient de réduction est \(0{,}5\) et le périmètre du triangle \(AIJ\) est égal à \(13\text{ cm}\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les deux rapports égaux à \(\frac{1}{2}\), 0,5 pour la propriété citée, 0,5 pour la conclusion ; b) 1 point : 0,5 pour l’égalité, 0,5 pour le résultat ; c) 1,5 point : 0,5 pour le coefficient, 1 pour le périmètre justifié.

Exercice 4 : Attention aux longueurs (4 points)

1. \(C \in [OA]\), donc \(OA = OC + CA = 6 + 4 = 10\), soit \(OA = 10\text{ cm}\).
   Dans le triangle \(OAB\), \(C \in [OA]\), \(D \in [OB]\) et \((CD)\) est parallèle à \((AB)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB} = \dfrac{CD}{AB}\), soit \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{OD}{9} = \dfrac{4{,}5}{AB}\).
   \(AB = \dfrac{10 \times 4{,}5}{6} = \dfrac{45}{6} = 7{,}5\)
   \(OA = 10\text{ cm}\) et \(AB = 7{,}5\text{ cm}\).
2. \(OD = \dfrac{6 \times 9}{10} = \dfrac{54}{10} = 5{,}4\)
   \(OD = 5{,}4\text{ cm}\).
3. \(D \in [OB]\), donc \(DB = OB – OD = 9 – 5{,}4 = 3{,}6\).
   \(DB = 3{,}6\text{ cm}\).

Erreur fréquente : utiliser \(CA = 4\text{ cm}\) dans le rapport à la place de \(OA\). Le théorème compare \(OC\) à la longueur totale \(OA\), qu’il faut d’abord calculer.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour \(OA\), 0,5 pour l’égalité de Thalès justifiée, 0,5 pour \(AB\) ; b) 1,5 point : 1 pour le calcul, 0,5 pour le résultat avec l’unité ; c) 1 point.

Exercice 5 : La hauteur d’un arbre (5 points)

1. Le bâton et l’arbre sont perpendiculaires au sol : les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \((SA)\).
   Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
   Les droites \((CD)\) et \((AB)\) sont parallèles.
2. Dans le triangle \(SAB\), \(C \in [SA]\), \(D \in [SB]\) et \((CD)\) est parallèle à \((AB)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{SC}{SA} = \dfrac{SD}{SB} = \dfrac{CD}{AB}\), soit \(\dfrac{2}{12} = \dfrac{1{,}5}{AB}\).
   \(AB = \dfrac{12 \times 1{,}5}{2} = \dfrac{18}{2} = 9\)
   L’arbre mesure 9 m de haut.
3. Le triangle \(SAB\) est rectangle en \(A\) (l’arbre est perpendiculaire au sol). D’après le théorème de Pythagore :
   \(SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225\)
   \(SB = \sqrt{225} = 15\)
   Le rayon de soleil mesure 15 m entre le point \(S\) et le sommet de l’arbre.

Erreur fréquente : oublier de justifier le parallélisme avant d’utiliser le théorème de Thalès. Ici, il vient de la perpendicularité au sol.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 pour les deux perpendiculaires, 0,5 pour la propriété, 0,5 pour la conclusion ; b) 2 points : 1 pour l’égalité de Thalès avec ses hypothèses, 1 pour le calcul et la phrase-réponse ; c) 1,5 point : 0,5 pour le triangle rectangle en \(A\), 0,5 pour l’égalité de Pythagore, 0,5 pour le résultat.

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