Corrigé du contrôle de maths 4ème : translations dans les frises et les pavages

Exercice 1 : Reconnaître une transformation (4 points)

1. D’abord, on compare l’orientation de chaque figure avec celle de F1. Dans F1, le grand côté du L va vers le haut et le petit côté vers la droite.
   • F2 a exactement la même orientation que F1 : elle a donc seulement glissé. F2 est l’image de F1 par une translation.
   • En revanche, F3 est retournée comme dans un miroir : le petit côté du L part vers la gauche. F3 est l’image de F1 par une symétrie axiale. Son axe est la droite verticale située à égale distance de F1 et de F3.
   • Ensuite, F4 a tourné d’un demi-tour. En effet, le grand côté du L pend vers le bas et le petit côté part vers la gauche en haut. F4 est l’image de F1 par une symétrie centrale.
   • Enfin, F5 a la même orientation que F1. F5 est l’image de F1 par une translation (de 20 carreaux vers la droite).
2. Le coin en bas à gauche de F1 se déplace de 5 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut. Il arrive ainsi au coin en bas à gauche de F2.
   Donc la translation qui transforme F1 en F2 est un glissement de 5 carreaux vers la droite et 2 vers le haut.
3. F6 est couchée : son grand côté est horizontal alors que celui de F1 est vertical. Or une translation ne change pas la direction des segments, donc ce n’est pas une translation. De plus, une symétrie centrale ferait tourner F1 d’un demi-tour : le grand côté resterait vertical, donc ce n’en est pas une. Enfin, une symétrie axiale retournerait la figure comme dans un miroir. Cependant, F6 n’est pas retournée : on l’obtient en faisant tourner F1 d’un quart de tour.
   F6 n’est l’image de F1 ni par une translation, ni par une symétrie axiale, ni par une symétrie centrale.

Erreur fréquente : confondre F3 et F4. En effet, une symétrie axiale retourne la figure : on doit la « retourner » pour la superposer. Au contraire, une symétrie centrale la fait tourner d’un demi-tour sans la retourner.

Barème : a) 0,5 point par figure ; b) 1 point (0,5 pour les 5 carreaux vers la droite, 0,5 pour les 2 carreaux vers le haut) ; c) 1 point : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour une justification correcte.

Exercice 2 : Une frise de triangles (4 points)

1. Le motif 2 a la même orientation que le motif 1. De plus, le sommet de l’angle droit du motif 1 arrive sur celui du motif 2 en avançant de 4 carreaux vers la droite.
   C’est donc la translation de 4 carreaux vers la droite (sans déplacement vertical).
2. Pour passer du motif 1 au motif 4, on répète trois fois la translation précédente : \(3 \times 4 = 12\).
   C’est la translation de 12 carreaux vers la droite.
3. Du motif 2 au motif 5, on avance aussi de trois motifs, donc de \(3 \times 4 = 12\) carreaux vers la droite. C’est ainsi la même translation qu’à la question b). Or elle transforme le motif 1 en le motif 4. Par conséquent, elle envoie le sommet \(A\) sur le sommet correspondant du motif 4.
   L’image de \(A\) est le sommet du haut du motif 4.
4. Prenons un triangle dont l’angle droit est en bas à gauche. Par la symétrie d’axe \((d)\), il aurait pour image un triangle dont l’angle droit est en bas à droite. Or tous les triangles de la frise ont leur angle droit en bas à gauche.
   Maëlle a tort : la frise n’est pas conservée par la symétrie d’axe \((d)\).

Barème : a) 1 point (0,5 pour « translation », 0,5 pour 4 carreaux vers la droite) ; b) 1 point, même répartition ; c) 1 point : 0,5 pour le motif 4, 0,5 pour l’explication ; d) 1 point : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour la justification.

Exercice 3 : Un pavage de triangles (4 points)

1. T1 et T2 sont deux triangles clairs orientés de la même façon. De plus, T2 est situé 2 carreaux à droite de T1.
   T2 est l’image de T1 par la translation de 2 carreaux vers la droite.
2. T4 est aussi un triangle clair orienté comme T1. Il est situé 4 carreaux plus à droite et 2 carreaux plus haut.
   Ainsi, T4 est l’image de T1 par la translation de 4 carreaux vers la droite et 2 vers le haut.
3. Une translation fait glisser une figure sans la tourner. Or l’angle droit de T1 est en bas à gauche. Celui de T3 est au contraire en haut à droite : T3 a donc tourné d’un demi-tour. Ce n’est donc pas une translation.
   T3 est l’image de T1 par la symétrie centrale de centre \(O\), milieu de leur côté commun.
4. Seuls les triangles clairs sont des images de T1 par une translation. En effet, les triangles foncés ne le sont pas (question c).
   Hugo a tort. Un motif de base qui convient est le rectangle formé des pièces T1 et T3. Ensuite, on le reproduit par des translations de 2 carreaux vers la droite (ou la gauche). Puis on le reproduit de 1 carreau vers le haut (ou le bas).

Barème : a) 1 point (0,5 pour la nature, 0,5 pour la description) ; b) 1 point, même répartition ; c) 1 point : 0,5 pour l’explication, 0,5 pour la symétrie centrale de centre \(O\) ; d) 1 point : 0,5 pour la réponse à Hugo, 0,5 pour un motif de base correct.

Exercice 4 : Translation et parallélogramme (4 points)

1. Pour aller de \(A\) à \(B\), on se déplace de 4 carreaux vers la droite, puis de 2 vers le haut.
   La translation est un glissement de 4 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut.
2. D’abord, à partir de \(C\), on compte 4 carreaux vers la droite. Puis on monte de 2 carreaux : on obtient le point \(D\).

   

3. \(D\) est l’image de \(C\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\).
   Si la translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(C\) en \(D\), alors \(ABDC\) est un parallélogramme (éventuellement aplati).
   Ici, les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés, donc le parallélogramme n’est pas aplati.
   \(ABDC\) est un parallélogramme.
4. À partir de \(B\), on avance de 4 carreaux vers la droite et de 2 vers le haut. Alors on place \(E\) (voir la figure). Pour aller de \(A\) à \(B\) puis de \(B\) à \(E\), on fait ainsi deux fois le même déplacement.
   Les points \(A\), \(B\) et \(E\) sont alignés et \(B\) est le milieu du segment \([AE]\).

Erreur fréquente : nommer le quadrilatère \(ABCD\). En effet, l’ordre des sommets compte. Les côtés sont \([AB]\), \([BD]\), \([DC]\) et \([CA]\), donc le parallélogramme se nomme \(ABDC\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point pour le point \(D\) bien placé ; c) 1,5 point : 0,5 pour la nature, 1 pour la justification citant la translation ; d) 1 point : 0,5 pour \(E\) bien placé, 0,5 pour l’alignement et le milieu.

Exercice 5 : Rédiger un programme de construction (4 points)

1. Programme de construction du point \(F^{\prime}\) :
   1. Trace la droite parallèle à la droite \((EE^{\prime})\) passant par \(F\).
   2. Prends au compas l’écartement \(EE^{\prime}\), c’est-à-dire \(7\text{ cm}\).
   3. Pique le compas en \(F\) et trace un arc qui coupe la parallèle. Choisis le côté où l’on va de \(E\) vers \(E^{\prime}\).
   4. Le point d’intersection est \(F^{\prime}\).

   Autre méthode acceptée : tracer l’arc de centre \(E^{\prime}\) de rayon \(EF = 5\text{ cm}\). Puis tracer l’arc de centre \(F\) de rayon \(EE^{\prime} = 7\text{ cm}\). Alors \(F^{\prime}\) est le point d’intersection tel que \(EE^{\prime}F^{\prime}F\) soit un parallélogramme.
   \(F^{\prime}\) est le point tel que \(EE^{\prime}F^{\prime}F\) soit un parallélogramme.

2. \(F^{\prime}\) est l’image de \(F\) par la translation qui transforme \(E\) en \(E^{\prime}\).
   Si la translation qui transforme \(E\) en \(E^{\prime}\) transforme \(F\) en \(F^{\prime}\), alors \(EE^{\prime}F^{\prime}F\) est un parallélogramme.
   \(EE^{\prime}F^{\prime}F\) est un parallélogramme.
3. Une translation conserve les longueurs. Donc \(E^{\prime}F^{\prime} = EF = 5\text{ cm}\) et \(F^{\prime}G^{\prime} = FG = 4\text{ cm}\). De même, \(E^{\prime}G^{\prime} = EG = 6\text{ cm}\).
   \(5 + 4 + 6 = 15\)
   Le périmètre du triangle \(E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}\) est égal à \(15\text{ cm}\).

Erreur fréquente : oublier le sens du déplacement dans le programme de construction. En effet, la parallèle coupe l’arc en deux points. Or un seul correspond à la translation : celui situé du même côté que \(E^{\prime}\) par rapport à \(E\).

Barème : a) 2 points : 0,5 pour la parallèle (ou le premier arc), 0,5 pour la longueur reportée, 0,5 pour le sens ou le choix du bon point, 0,5 pour la clarté de la rédaction ; b) 1 point : 0,5 pour la nature, 0,5 pour la justification ; c) 1 point : 0,5 pour la conservation des longueurs citée, 0,5 pour le périmètre avec l’unité.

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Après le corrigé du contrôle : translations dans les frises et les pavages

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