Corrigé du contrôle de maths 4ème : puissances de 10 et notation scientifique

Exercice 1 : Puissances de 10 (4 points)

1. D’abord, \(10^5\) s’écrit avec un 1 suivi de 5 zéros. Ensuite, \(10^{-3}\) a son chiffre 1 au 3e rang après la virgule.
   
   \(10^5 = 100\,000\) ; \(10^{-3} = 0{,}001\) ; \(10^0 = 1\) ; \(10^{-6} = 0{,}000\,001\).
2. \(10\,000\,000\) s’écrit avec un 1 suivi de 7 zéros. Puis, dans \(0{,}0001\), le 1 est au 4e rang après la virgule. De plus, un milliard \(= 1\,000\,000\,000\), un 1 suivi de 9 zéros. Enfin, un dixième \(= 0{,}1\).
   
   \(10\,000\,000 = 10^7\) ; \(0{,}0001 = 10^{-4}\) ; un milliard \(= 10^9\) ; un dixième \(= 10^{-1}\).

Barème : 0,5 point par écriture.

Erreur fréquente : écrire \(10^0 = 0\). En effet, par convention, \(10^0 = 1\).

Exercice 2 : Calculer avec des puissances de 10 (4 points)

1. Pour un produit, on additionne les exposants. En revanche, pour un quotient, on les soustrait. Enfin, pour une puissance de puissance, on les multiplie.
   
   \(10^4 \times 10^3 = 10^{4 + 3} =\) \(10^7\)
   
   \(10^{-2} \times 10^5 = 10^{-2 + 5} =\) \(10^3\)
   
   \(\dfrac{10^6}{10^2} = 10^{6 – 2} =\) \(10^4\)
   
   \((10^3)^2 = 10^{3 \times 2} =\) \(10^6\)
2. Multiplier par \(10^n\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite. Au contraire, multiplier par \(10^{-n}\) la décale de \(n\) rangs vers la gauche.
   
   \(3{,}2 \times 10^4 =\) \(32\,000\)
   
   \(45 \times 10^{-3} =\) \(0{,}045\)
   
   \(0{,}7 \times 10^{-2} =\) \(0{,}007\)
   
   \(6 \times 10^3 + 4 \times 10^2 = 6\,000 + 400 =\) \(6\,400\)

Barème : 0,5 point par calcul.

Exercice 3 : La notation scientifique (4 points)

Un nombre est en notation scientifique s’il s’écrit \(a \times 10^n\). Dans cette écriture, \(n\) est un entier relatif et \(1 \leq\, a < 10\).

1. \(3{,}5 \times 10^4\) et \(9{,}99 \times 10^{-7}\) sont des notations scientifiques.
   
   En revanche, \(12 \times 10^3\) n’en est pas une car \(12 \geq\, 10\). De même, \(0{,}8 \times 10^{-2}\) n’en est pas une car \(0{,}8 < 1\).
2. Il faut donc une mantisse comprise entre 1 et 10.
   
   \(45\,000 = 4{,}5 \times 10\,000 =\) \(4{,}5 \times 10^4\)
   
   \(0{,}000\,32 = 3{,}2 \times 0{,}0001 =\) \(3{,}2 \times 10^{-4}\)
   
   \(725 \times 10^3 = 7{,}25 \times 10^2 \times 10^3 =\) \(7{,}25 \times 10^5\)
   
   \(0{,}06 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-2} \times 10^{-2} =\) \(6 \times 10^{-4}\)
3. On compare d’abord les exposants. Ainsi, \(8 \times 10^{-6}\) a le plus petit exposant : c’est le plus petit nombre. Puis les deux autres ont le même exposant \(-5\). Alors on compare \(2{,}5\) et \(3{,}1\).
   
   \(8 \times 10^{-6} < 2{,}5 \times 10^{-5} < 3{,}1 \times 10^{-5}\)

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour les deux bonnes réponses, 0,5 point pour les justifications ; b) 0,5 point par écriture ; c) 1 point (0,5 point si un seul nombre est mal placé).

Erreur fréquente : en c, croire que \(8 \times 10^{-6}\) est le plus grand. En effet, 8 est la plus grande mantisse. Cependant, c’est l’exposant qui décide en premier.

Exercice 4 : Préfixes et conversions (4 points)

1. nano : \(10^{-9}\) ; micro : \(10^{-6}\) ; méga : \(10^{6}\) ; giga : \(10^{9}\).
2. D’abord, 7 µm \(= 7 \times 10^{-6}\text{ m}\). Ce résultat est déjà en notation scientifique : \(7 \times 10^{-6}\text{ m}\).
   
   Ensuite, on convertit les nanosecondes.
   
   \(250\text{ ns} = 250 \times 10^{-9}\text{ s} = 2{,}5 \times 10^2 \times 10^{-9}\text{ s} =\) \(2{,}5 \times 10^{-7}\text{ s}\)
   
   Puis on convertit les gigaoctets.
   
   \(3\text{ Go} = 3 \times 10^9\) octets, soit \(3 \times 10^9\) octets.
   
   Enfin, on convertit les millimètres.
   
   \(45\text{ mm} = 45 \times 10^{-3}\text{ m} = 4{,}5 \times 10^1 \times 10^{-3}\text{ m} =\) \(4{,}5 \times 10^{-2}\text{ m}\)

Barème : a) 0,5 point par case ; b) 0,5 point par conversion (0,25 point si la conversion est juste mais pas en notation scientifique).

Exercice 5 : Astronomie et stockage (4 points)

1. La durée est égale à la distance divisée par la distance parcourue en une seconde. Donc on calcule :
   
   \(\dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = \dfrac{1{,}5}{3} \times 10^{8 – 5} = 0{,}5 \times 10^3 = 500\)
   
   Ensuite, on convertit : \(500\text{ s} = 8 \times 60\text{ s} + 20\text{ s}\).
   
   La lumière du Soleil met 500 s, soit 8 min 20 s, pour arriver sur Terre.
2. On divise alors la distance Terre-Soleil par la distance Terre-Lune.
   
   \(\dfrac{1{,}5 \times 10^8}{3{,}844 \times 10^5} \approx 390{,}2\)
   
   Le Soleil est environ 390 fois plus éloigné de la Terre que la Lune.
3. \(64\text{ Go} = 64 \times 10^9\) octets \(= 6{,}4 \times 10^1 \times 10^9\) octets, soit \(6{,}4 \times 10^{10}\) octets.
   
   De plus, une photo occupe \(4\text{ Mo} = 4 \times 10^6\) octets.
   
   Par conséquent, on divise la capacité par la taille d’une photo.
   
   \(\dfrac{6{,}4 \times 10^{10}}{4 \times 10^6} = \dfrac{6{,}4}{4} \times 10^{10 – 6} = 1{,}6 \times 10^4 = 16\,000\)
   
   On peut enregistrer 16 000 photos de 4 Mo sur la clé.

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour la division posée, 0,5 point pour 500 s, 0,5 point pour la conversion en 8 min 20 s ; b) 1 point : 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour l’arrondi et la phrase ; c) 1,5 point : 0,5 point pour \(6{,}4 \times 10^{10}\) octets, 1 point pour le nombre de photos (0,5 point pour la division posée, 0,5 point pour le résultat).

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Après le corrigé du contrôle : puissances de 10 et notation scientifique

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