Corrigé du contrôle de maths 5ème : volumes du prisme droit et du cylindre

Exercice 1 : Reconnaître les solides (3 points)

1. Solide 1 : un pavé droit. Solide 2 : un prisme droit à base triangulaire. Solide 3 : un cylindre. Solide 4 : une pyramide à base carrée.
   
   Le solide 4 n’est pas un prisme : ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un même sommet.
2. Le solide 2 a deux bases triangulaires et trois faces latérales rectangulaires, soit \(2 + 3 = 5\) faces. Chaque base a 3 arêtes et il y a 3 arêtes latérales, soit \(3 + 3 + 3 = 9\) arêtes. Chaque base a 3 sommets, soit \(3 + 3 = 6\) sommets.
   
   Le solide 2 a 5 faces, 9 arêtes et 6 sommets.

Barème : a) 0,5 point par solide correctement nommé ; b) 1 point (0,5 point si deux nombres sur trois sont justes).

Exercice 2 : Deux patrons (3 points)

1. Le patron 1 donne un prisme droit à base triangulaire (deux bases triangulaires et trois faces rectangulaires). Le patron 2 donne un cylindre (deux disques et un rectangle qui s’enroule).
2. La base est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(3\text{ cm}\) et \(4\text{ cm}\) :
   
   \(\text{aire de la base} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6\), soit \(6\text{ cm}^2\).
   
   La hauteur du prisme est la largeur des rectangles, \(6\text{ cm}\).
   
   \(V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur} = 6 \times 6 = 36\)
   
   Le volume du prisme est \(36\text{ cm}^3\).
3. Le rectangle s’enroule autour du disque : sa longueur L est égale au périmètre d’un disque de rayon \(2\text{ cm}\).
   
   \(L = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}566\)
   
   \(L = 4\pi\text{ cm}\), soit environ \(12{,}6\text{ cm}\).

Barème : a) 0,5 point par solide ; b) 0,5 point pour l’aire de la base, 0,5 point pour le volume ; c) 0,5 point pour l’idée du périmètre du cercle, 0,5 point pour les valeurs.

Exercice 3 : Volumes et contenances (4 points)

Pour les volumes, chaque unité vaut 1 000 fois l’unité immédiatement inférieure : \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3\) et \(1\text{ dm}^3 = 1\,000\text{ cm}^3\). De plus, \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}\).

1. \(2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\), donc \(2{,}5\text{ m}^3 = 2\,500\text{ dm}^3 = 2\,500\text{ L}\).
2. \(750\text{ cm}^3 = 0{,}75\text{ dm}^3\) car \(750 : 1\,000 = 0{,}75\), donc \(750\text{ cm}^3 = 0{,}75\text{ L}\).
3. \(1{,}2\text{ L} = 1{,}2\text{ dm}^3\) et \(1{,}2 \times 1\,000 = 1\,200\), donc \(1{,}2\text{ L} = 1\,200\text{ cm}^3\).
4. \(3\,400\text{ L} = 3\,400\text{ dm}^3\) et \(3\,400 : 1\,000 = 3{,}4\), donc \(3\,400\text{ L} = 3{,}4\text{ m}^3\).

Erreur fréquente : utiliser un rapport de 100 comme pour les aires. Pour les volumes, on passe d’une unité à la suivante en multipliant ou en divisant par 1 000.

Barème : 1 point par ligne juste ; en a), 0,5 point par égalité.

Exercice 4 : Calculs de volumes (4 points)

1. \(V = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64\). Le volume du cube est \(64\text{ cm}^3\).
2. \(V = 8 \times 5 \times 2{,}5 = 40 \times 2{,}5 = 100\). Le volume du pavé est \(100\text{ cm}^3\).
3. Aire de la base : \(\dfrac{6 \times 4}{2} = 12\), soit \(12\text{ cm}^2\).
   
   \(V = 12 \times 10 = 120\). Le volume du prisme droit est \(120\text{ cm}^3\).
4. Aire de la base : \(\pi \times 3^2 = 9\pi\), en \(\text{cm}^2\).
   
   \(V = 9\pi \times 10 = 90\pi \approx 282{,}74\)
   
   Le volume du cylindre est \(90\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(282{,}7\text{ cm}^3\).

Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour l’aire de la base, 0,5 point pour le volume ; d) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi.

Exercice 5 : L’aquarium de Léna (6 points)

1. \(V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000\), soit \(72\,000\text{ cm}^3\).
   
   \(72\,000\text{ cm}^3 = 72\text{ dm}^3 = 72\text{ L}\).
   
   L’aquarium a un volume de \(72\,000\text{ cm}^3\) : sa contenance est de 72 litres.
2. La hauteur d’eau est \(40 – 5 = 35\text{ cm}\).
   
   \(V = 60 \times 30 \times 35 = 1\,800 \times 35 = 63\,000\), soit \(63\,000\text{ cm}^3 = 63\text{ L}\).
   
   L’aquarium contient alors 63 litres d’eau.
3. Le rayon du seau est \(30 : 2 = 15\text{ cm}\).
   
   \(V = \pi \times 15^2 \times 30 = \pi \times 225 \times 30 = 6\,750\pi\)
   
   \(6\,750\pi \approx 21\,205{,}75\), soit environ \(21{,}2\text{ L}\).
   
   Le seau a un volume de \(6\,750\pi\text{ cm}^3\), soit environ \(21{,}2\) litres.
4. Avec 2 seaux : \(2 \times 6\,750\pi \approx 42\,412\text{ cm}^3\), soit environ \(42{,}4\text{ L}\), moins que 63 L.
   
   Avec 3 seaux : \(3 \times 6\,750\pi \approx 63\,617\text{ cm}^3\), soit environ \(63{,}6\text{ L}\), plus que 63 L.
   
   Léna doit verser 3 seaux ; le troisième n’est pas vidé entièrement : il y reste environ \(63{,}6 – 63 = 0{,}6\text{ L}\).

Erreur fréquente : utiliser le diamètre \(30\text{ cm}\) comme rayon dans \(\pi \times r^2\) ; on trouverait un seau quatre fois trop grand.

Barème : a) 1 point pour le volume, 0,5 point pour la conversion ; b) 0,5 point pour la hauteur d’eau, 1 point pour le volume en litres ; c) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; d) 1 point pour l’encadrement entre 2 et 3 seaux, 0,5 point pour la conclusion.

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Après le corrigé du contrôle : volumes du prisme droit et du cylindre

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