Corrigé du contrôle de maths 5ème : proportionnalité, coefficient et pourcentages

Exercice 1 : Proportionnel ou pas ? (4 points)

1. Un tableau est de proportionnalité si l’on obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant ceux de la première par un même nombre, c’est-à-dire si les quotients sont tous égaux.

   Tableau 1 : \(5 : 2 = 2{,}5\) ; \(7{,}5 : 3 = 2{,}5\) ; \(12{,}5 : 5 = 2{,}5\). Les quotients sont égaux : le tableau 1 est un tableau de proportionnalité.

   Tableau 2 : \(86 : 2 = 43\) et \(102 : 4 = 25{,}5\). Les quotients sont différents : le tableau 2 n’est pas un tableau de proportionnalité (un enfant de 4 ans ne mesure pas le double d’un enfant de 2 ans).

   Tableau 3 : \(4{,}5 : 3 = 1{,}5\) ; \(10{,}5 : 7 = 1{,}5\) ; \(18 : 12 = 1{,}5\). Le tableau 3 est un tableau de proportionnalité.

2. Tableau 1 : le coefficient est 2,5 ; c’est le prix d’un kilogramme de pommes (2,50 €/kg). Tableau 3 : le coefficient est 1,5 ; c’est le prix d’un ticket (1,50 €).

Erreur fréquente : conclure « proportionnel » en ne vérifiant qu’une seule colonne. Il faut que tous les quotients soient égaux.

Barème : a) pour chaque tableau, 0,5 point pour les calculs de quotients et 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point par coefficient avec sa signification.

Exercice 2 : À la boulangerie (4 points)

1. 8 croissants, c’est deux fois 4 croissants : \(2 \times 3{,}60 = 7{,}20\). 8 croissants coûtent 7,20 €.
2. \(12 = 4 + 8\), donc le prix de 12 croissants est la somme des prix : \(3{,}60 + 7{,}20 = 10{,}80\). 12 croissants coûtent 10,80 €.
3. 2 croissants, c’est la moitié de 4 croissants : \(3{,}60 : 2 = 1{,}80\). Un croissant, c’est la moitié de 2 croissants : \(1{,}80 : 2 = 0{,}90\). 2 croissants coûtent 1,80 € et un croissant coûte 0,90 €.
4. Avec le prix d’un croissant (coefficient de proportionnalité 0,9) : \(20 \times 0{,}90 = 18\). On peut aussi faire \(5 \times 3{,}60 = 18\). 20 croissants coûtent 18 €.
5. \(27 : 0{,}90 = 270 : 9 = 30\). Hugo peut acheter au maximum 30 croissants (et il ne lui reste rien).

Tableau complété :

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour la méthode par addition des colonnes, 0,5 point pour 10,80 € ; c) 0,5 point par prix ; d) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour 18 € ; e) 0,5 point.

Exercice 3 : Vitesse et échelle (4 points)

1. 1. En 1 heure, Inès parcourt \(45 : 3 = 15\) km : sa vitesse moyenne est 15 km/h. En 5 heures : \(5 \times 15 = 75\). Elle parcourt 75 km en 5 heures.
   2. En 60 minutes, elle parcourt 15 km, donc en 20 minutes (le tiers d’une heure) elle parcourt \(15 : 3 = 5\) km. En 1 h 20 min : \(15 + 5 = 20\). Elle parcourt 20 km en 1 h 20 min.
2. 1. Les longueurs réelles sont proportionnelles aux longueurs du plan, avec le coefficient 200 :

      \(2{,}1 \times 200 = 420\) cm, soit 4,2 m.

      \(1{,}8 \times 200 = 360\) cm, soit 3,6 m.

      La chambre mesure 4,2 m sur 3,6 m.

   2. 7 m = 700 cm, et \(700 : 200 = 3{,}5\). Sur le plan, le salon mesurera 3,5 cm de long.

Erreur fréquente : écrire que 1 h 20 min vaut 1,2 h. Vingt minutes, c’est le tiers d’une heure, pas deux dixièmes.

Barème : a) 1) 0,5 point pour 15 km/h, 0,5 point pour 75 km ; 2) 0,5 point pour la conversion des 20 minutes, 0,5 point pour 20 km ; b) 1) 0,5 point par dimension en mètres ; 2) 0,5 point pour la conversion en cm, 0,5 point pour 3,5 cm.

Exercice 4 : Pourcentages (4 points)

1. \(25\,\%\) de 36, c’est le quart de 36 : \(36 : 4 = 9\). \(25\,\%\) de 36 est égal à 9.
2. \(\dfrac{15}{100} \times 80 = \dfrac{1\,200}{100} = 12\). \(15\,\%\) de 80 est égal à 12.
3. Réduction : \(\dfrac{30}{100} \times 60 = \dfrac{1\,800}{100} = 18\), soit 18 €. Nouveau prix : \(60 – 18 = 42\). La réduction est de 18 € et la veste coûte 42 €.
4. On cherche combien de voix chaque candidat aurait sur 100 votants. Comme \(25 \times 4 = 100\), on multiplie par 4 :

   Inès : \(\dfrac{12}{25} = \dfrac{48}{100}\), soit \(48\,\%\).

   Tom : \(\dfrac{8}{25} = \dfrac{32}{100}\), soit \(32\,\%\).

   Léo : \(\dfrac{5}{25} = \dfrac{20}{100}\), soit \(20\,\%\).

   Vérification : \(48 + 32 + 20 = 100\). Inès obtient \(48\,\%\) des voix, Tom \(32\,\%\) et Léo \(20\,\%\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 1 point pour la réduction de 18 €, 0,5 point pour le prix de 42 € ; d) 0,5 point par pourcentage juste.

Exercice 5 : Des crêpes pour tout le monde (4 points)

1. 2 personnes, c’est 3 fois moins que 6 personnes : on divise chaque quantité par 3.

   Farine : \(300 : 3 = 100\) g ; œufs : \(3 : 3 = 1\) ; lait : \(60 : 3 = 20\) cL ; sucre : \(30 : 3 = 10\) g.

   Pour 2 personnes : 100 g de farine, 1 œuf, 20 cL de lait et 10 g de sucre.

2. \(10 = 6 + 2 + 2\) : on ajoute la recette pour 6 personnes et deux fois celle pour 2 personnes.

   Farine : \(300 + 2 \times 100 = 500\) g ; œufs : \(3 + 2 \times 1 = 5\) ; lait : \(60 + 2 \times 20 = 100\) cL ; sucre : \(30 + 2 \times 10 = 50\) g.

   100 cL = 1 L. Pour 10 personnes : 500 g de farine, 5 œufs, 1 L de lait et 50 g de sucre.

3. Il faut 100 g de farine pour 2 personnes, donc 50 g de farine par personne. \(400 : 50 = 8\). Chloé peut préparer des crêpes pour 8 personnes au maximum. (Vérification : pour 8 personnes, il faut \(8 \times 50 = 400\) g de farine.)

Barème : a) 0,5 point pour la méthode (diviser par 3), 0,5 point pour les quatre quantités ; b) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour les quantités, 0,5 point pour la conversion en litres ; c) 0,5 point pour 50 g par personne (ou une autre méthode correcte), 1 point pour 8 personnes justifié.

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Après le corrigé du contrôle : proportionnalité, coefficient et pourcentages

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