Corrigé du contrôle de maths 5ème : hauteurs, médianes et aire du triangle

Exercice 1 : Quatre droites dans un triangle (4 points)

1. La droite \((d_1)\) passe par le sommet A et elle est perpendiculaire en H au côté opposé [BC] (angle droit codé). \((d_1)\) est la hauteur issue de A.
2. La droite \((d_2)\) passe par le sommet B et par le point I, milieu du côté opposé [AC] (AI = IC est codé). \((d_2)\) est la médiane issue de B.
3. La droite \((d_3)\) est perpendiculaire au segment [AB] en J, et J est le milieu de [AB] (codage). \((d_3)\) est la médiatrice du côté [AB]. Elle ne passe pas par le sommet C : ce n’est ni une hauteur ni une médiane.
4. La droite \((d_4)\) passe par le sommet C et par K, mais aucun codage n’indique que K est le milieu de [AB], ni que \((d_4)\) est perpendiculaire à (AB). On ne peut rien affirmer : \((d_4)\) n’est ni une hauteur, ni une médiane, ni une médiatrice reconnue par les codages.

Erreur fréquente : confondre médiane et médiatrice. La médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé ; la médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu et ne passe pas forcément par un sommet.

Barème : pour chaque droite, 0,5 point pour la nature et 0,5 point pour la justification par les codages.

Exercice 2 : Orthocentre et cercle circonscrit (4 points)

1. On trace [EF] de 7 cm, puis un arc de cercle de centre E et de rayon 5 cm, et un arc de centre F et de rayon 6 cm : G est un point d’intersection des deux arcs. Voir la figure ci-dessous (réduite).
2. Chaque hauteur se trace à l’équerre : elle passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent en un même point H. Ce point s’appelle l’orthocentre du triangle EFG. Ici, le triangle a trois angles aigus, donc H est à l’intérieur du triangle.
3. Chaque médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu ; les trois médiatrices se coupent en O.
   Propriété : tout point de la médiatrice d’un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
   O est sur la médiatrice de [EF], donc OE = OF ; O est sur la médiatrice de [EG], donc OE = OG. Ainsi OE = OF = OG. Le cercle de centre O passant par E passe aussi par F et par G : c’est le cercle circonscrit au triangle EFG (son rayon mesure environ 3,6 cm).

Barème : a) 1 point pour une construction précise au compas ; b) 1 point pour les trois hauteurs tracées à l’équerre, 0,5 point pour le mot « orthocentre » ; c) 0,5 point pour les médiatrices et le cercle, 1 point pour l’explication OE = OF = OG.

Exercice 3 : Calculer des aires (5 points)

Aire d’un triangle = base × hauteur associée ÷ 2.

1. La base [QR] mesure 8 cm et la hauteur associée [PH] mesure 5 cm :

   \(\text{Aire}_{PQR} = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\)

   L’aire du triangle PQR est \(20\text{ cm}^2\).

2. Le triangle est rectangle en T : le côté [ST] est une hauteur associée à la base [TU]. On n’utilise pas l’hypoténuse de 7,5 cm.

   \(\text{Aire}_{STU} = \dfrac{6 \times 4{,}5}{2} = \dfrac{27}{2} = 13{,}5\)

   L’aire du triangle STU est \(13{,}5\text{ cm}^2\).

3. La hauteur issue de X est [XK], perpendiculaire à la droite (YZ) ; elle tombe à l’extérieur du triangle car l’angle en Z est obtus. Elle est associée à la base [YZ] :

   \(\text{Aire}_{XYZ} = \dfrac{4 \times 6}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\)

   L’aire du triangle XYZ est \(12\text{ cm}^2\).

4. On note \(h\) la hauteur cherchée : \(\dfrac{12 \times h}{2} = 30\), donc \(12 \times h = 60\) et \(h = 60 : 12 = 5\).
   Vérification : \(12 \times 5 : 2 = 30\). La hauteur mesure 5 cm.

Erreur fréquente : en c), prendre comme base la longueur YK au lieu de YZ, ou oublier de diviser par 2.

Barème : a) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; b) 0,5 point pour le choix des deux côtés de l’angle droit, 0,5 point pour 13,5 cm² ; c) 0,5 point pour identifier la hauteur extérieure, 1 point pour 12 cm² ; d) 1 point pour la démarche (multiplier par 2 puis diviser par 12), 0,5 point pour 5 cm.

Exercice 4 : Le pouvoir de la médiane (4 points)

1. Les côtés [BM] et [MC] sont tous les deux sur la droite (BC). Le segment [AH] passe par le sommet A commun aux deux triangles et il est perpendiculaire à (BC), donc à (BM) et à (MC). [AH] est la hauteur issue de A dans le triangle ABM (base [BM]) et dans le triangle AMC (base [MC]).

2. \(\text{Aire}_{ABM} = \dfrac{BM \times AH}{2}\) et \(\text{Aire}_{AMC} = \dfrac{MC \times AH}{2}\)

   M est le milieu de [BC], donc BM = MC. Les deux produits sont égaux. Les triangles ABM et AMC ont la même aire : la médiane [AM] partage le triangle ABC en deux triangles de même aire.

3. \(\text{Aire}_{ABC} = \dfrac{10 \times 6}{2} = 30\)

   Le triangle ABM a la moitié de cette aire : \(30 : 2 = 15\) (ou directement : BM = 5 cm et \(\dfrac{5 \times 6}{2} = 15\)).
   L’aire de ABC est \(30\text{ cm}^2\) et celle de ABM est \(15\text{ cm}^2\).

Barème : a) 0,5 point pour « bases sur la même droite (BC) », 0,5 point pour la perpendicularité ; b) 0,5 point pour chaque formule, 0,5 point pour BM = MC et la conclusion ; c) 0,5 point pour 30 cm², 1 point pour 15 cm² justifié.

Exercice 5 : Le gazon de Yanis (3 points)

1. On prend [AB] comme base : AB = 20 m. La hauteur associée est la distance entre E et la droite (AB) ; comme E est sur [DC] et que (DC) est parallèle à (AB), cette distance est égale à AD = 12 m.

   \(\text{Aire}_{ABE} = \dfrac{20 \times 12}{2} = \dfrac{240}{2} = 120\)

   L’aire du triangle ABE est \(120\text{ m}^2\).

2. L’aire du rectangle est \(20 \times 12 = 240\text{ m}^2\), et \(120 = \dfrac{240}{2}\). Le gazon occupe la moitié du terrain, quelle que soit la position de E sur [DC].
3. \(120 : 40 = 3\) : il faut 3 kg de graines. Un sac contient 2 kg ; un sac ne suffit pas, deux sacs donnent 4 kg. Yanis doit acheter 2 sacs.

Barème : a) 0,5 point pour la hauteur de 12 m justifiée, 1 point pour 120 m² ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour 3 kg, 0,5 point pour 2 sacs.

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Après le corrigé du contrôle : hauteurs, médianes et aire du triangle

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Les triangles et son cercle circonscrit et l’inégalité triangulaire » en 5ème et « Droites remarquables du triangle » en 5ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés triangle.

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