Corrigé du contrôle de maths 5ème : priorités opératoires et distributivité

Exercice 1 : Le vocabulaire des opérations (3 points)

1. On cherche la dernière opération effectuée, en tenant compte des priorités.

   Dans \(A = 7 + 3 \times 5\), on calcule d’abord le produit \(3 \times 5\), puis on ajoute 7 : la dernière opération est une addition. A est une somme.

   Dans \(B = (12 – 4) \times 3\), on calcule d’abord la parenthèse, puis on multiplie par 3. B est un produit.

   Dans \(C = 45 : 5 – 2\), on calcule d’abord le quotient \(45 : 5\), puis on soustrait 2. C est une différence.

2. « Le produit de 6 par la somme de 4 et de 9 » : la somme doit être calculée en premier, elle se met entre parenthèses.

   \(6 \times (4 + 9) = 6 \times 13 = 78\). L’expression est \(6 \times (4 + 9)\) et vaut 78.

   « La différence entre 50 et le quotient de 36 par 4 » : le quotient est prioritaire, aucune parenthèse n’est nécessaire.

   \(50 – 36 : 4 = 50 – 9 = 41\). L’expression est \(50 – 36 : 4\) et vaut 41.

Barème : a) 0,5 point par expression bien nommée et justifiée (0,25 point sans justification) ; b) 0,75 point par phrase : 0,5 point pour l’expression (parenthèses comprises), 0,25 point pour le résultat.

Exercice 2 : Calculer en respectant les priorités (5 points)

1. La multiplication est prioritaire sur la soustraction.

   \(D = 18 – 4 \times 3\)

   \(D = 18 – 12\)

   \(D = 6\)

2. La division et la multiplication sont prioritaires ; entre elles, on calcule de gauche à droite.

   \(E = 5 + 36 : 4 \times 2\)

   \(E = 5 + 9 \times 2\)

   \(E = 5 + 18\)

   \(E = 23\)

3. On calcule d’abord les deux parenthèses.

   \(F = (15 – 3) \times (2 + 5)\)

   \(F = 12 \times 7\)

   \(F = 84\)

4. Dans la parenthèse, la multiplication est prioritaire.

   \(G = 60 – (8 + 2 \times 6)\)

   \(G = 60 – (8 + 12)\)

   \(G = 60 – 20\)

   \(G = 40\)

5. Le trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur, puis on divise.

   \(H = \dfrac{4 + 26}{8 – 2} = \dfrac{30}{6}\)

   \(H = 5\)

Erreur fréquente : dans E, calculer \(4 \times 2 = 8\) avant \(36 : 4\). Quand il n’y a que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour les étapes intermédiaires dans le bon ordre, 0,5 point pour le résultat exact.

Exercice 3 : Un programme de calcul (4 points)

1. \(5 + 7 = 12\) ; \(12 \times 3 = 36\) ; \(36 – 12 = 24\). En choisissant 5, on obtient 24.
2. L’addition doit être faite avant la multiplication : on la met entre parenthèses.

   \((2{,}5 + 7) \times 3 – 12\)

   \(= 9{,}5 \times 3 – 12\)

   \(= 28{,}5 – 12\)

   \(= 16{,}5\). En choisissant \(2{,}5\), on obtient \(16{,}5\).

3. Dans le calcul de Lina, la multiplication est prioritaire : \(4 + 7 \times 3 – 12 = 4 + 21 – 12 = 13\). Elle multiplie donc seulement 7 par 3, alors que le programme demande de multiplier la somme \(4 + 7\) par 3. Lina s’est trompée : il manque des parenthèses.

   Le bon calcul est \((4 + 7) \times 3 – 12 = 11 \times 3 – 12 = 33 – 12 = 21\). Le bon résultat est 21.

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point : 1 point pour l’expression avec parenthèses, 0,5 point pour le résultat ; c) 1,5 point : 0,5 point pour dire qu’elle se trompe, 0,5 point pour l’explication (parenthèses manquantes), 0,5 point pour le résultat 21.

Exercice 4 : Calcul astucieux avec la distributivité (4 points)

1. L’aire du grand rectangle est \(25 \times 102\). C’est aussi la somme des aires des deux petits rectangles : \(25 \times 100 + 25 \times 2\). Donc \(25 \times 102 = 25 \times 100 + 25 \times 2\).

   \(25 \times 102 = 2\,500 + 50\). \(25 \times 102 = 2\,550\).

2. \(7 \times 98 = 7 \times (100 – 2) = 7 \times 100 – 7 \times 2 = 700 – 14\). \(7 \times 98 = 686\).
3. On met le facteur commun 13 en évidence : \(13 \times 7 + 13 \times 3 = 13 \times (7 + 3) = 13 \times 10\). \(13 \times 7 + 13 \times 3 = 130\).
4. \(4{,}5 \times 11 = 4{,}5 \times (10 + 1) = 4{,}5 \times 10 + 4{,}5 \times 1 = 45 + 4{,}5\). \(4{,}5 \times 11 = 49{,}5\).

Erreur fréquente : écrire \(7 \times 98 = 7 \times 100 – 2 = 698\). Il faut multiplier chacun des deux termes 100 et 2 par 7.

Barème : 1 point par calcul : 0,5 point pour l’utilisation de la distributivité (ou l’explication par les aires en a), 0,5 point pour le résultat. Un résultat juste obtenu en posant l’opération rapporte 0,5 point.

Exercice 5 : La sortie au cinéma (4 points)

1. Le coût total est la somme du prix des billets des élèves, du prix des billets des adultes et de la location du car :

   \(24 \times 6{,}5 + 3 \times 8{,}5 + 135\)

   \(= 156 + 25{,}5 + 135\)

   \(= 316{,}5\)

   La sortie coûte \(316{,}50\) € au total.

2. Il y a \(24 + 3 = 27\) personnes. \(135 : 27 = 5\), car \(27 \times 5 = 135\). Chaque personne paie 5 € pour le car.
3. On calcule \(22{,}5 : 1{,}5\). En multipliant les deux nombres par 10, le quotient ne change pas : \(22{,}5 : 1{,}5 = 225 : 15 = 15\) (car \(15 \times 15 = 225\)). La classe peut acheter 15 boissons.

Barème : a) 2 points : 1 point pour une expression correcte en une seule ligne, 0,5 point pour les calculs intermédiaires, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; b) 1 point : 0,5 point pour les 27 personnes, 0,5 point pour la réponse ; c) 1 point : 0,5 point pour la transformation en \(225 : 15\), 0,5 point pour la réponse.

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Après le corrigé du contrôle : priorités opératoires et distributivité

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