Contrôle de maths 3ème : trigonométrie : angles et problèmes

Exercice 1 : Trouver un angle (4 points)

Calculatrice autorisée (en mode degrés).

Dans tout le contrôle, les angles sont à arrondir au dixième de degré.

1. \(x\) est la mesure d’un angle aigu telle que \(\cos x = 0{,}6\). Calcule \(x\). (1 point)
2. \(y\) est la mesure d’un angle aigu telle que \(\tan y = 2{,}5\). Calcule \(y\). (1 point)

Le triangle \(ABC\) ci-dessous est rectangle en \(C\), avec \(AC = 4\) cm et \(AB = 9\) cm.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

3. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\). (1 point)
4. Déduis-en la mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\). (1 point)

Exercice 2 : L’échelle contre le mur (4 points)

Une échelle \([PH]\) de 6 m de long est appuyée contre un mur vertical. Son pied \(P\) est posé sur le sol horizontal, à \(1{,}8\) m du bas du mur \(M\). Pour qu’une échelle soit utilisée en sécurité, l’angle qu’elle forme avec le sol doit être compris entre \(65^\circ\) et \(75^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{MPH}\). (1 point)
2. L’échelle est-elle placée en sécurité ? (0,5 point)
3. Calcule la hauteur \(MH\) atteinte par l’échelle, arrondie au centimètre. (1 point)
4. Pour monter le plus haut possible tout en restant en sécurité, on place l’échelle avec un angle de \(75^\circ\) avec le sol. À quelle distance du mur faut-il poser le pied de l’échelle ? Quelle hauteur atteint-elle alors ? Arrondis au centimètre. (1,5 point)

Exercice 3 : Une rampe d’accès (4 points)

Un collège veut installer une rampe \([RH]\) pour que les fauteuils roulants puissent accéder à un palier situé \(0{,}25\) m au-dessus du sol. Le projet prévoit une longueur horizontale \(RK = 4\) m. Dans cet exercice, on considère qu’une rampe est conforme si l’angle \(\widehat{HRK}\) qu’elle forme avec le sol est inférieur ou égal à \(3^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle : la hauteur est très agrandie.)

1. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{HRK}\). La rampe prévue est-elle conforme ? (1,5 point)
2. Calcule la longueur horizontale \(RK\) pour laquelle l’angle \(\widehat{HRK}\) vaut exactement \(3^\circ\). Arrondis au décimètre supérieur pour que la rampe soit conforme. (1,5 point)
3. On retient \(RK = 4{,}8\) m. Calcule la longueur \(RH\) de la rampe, arrondie au centimètre. (1 point)

Exercice 4 : Le cerf-volant (4 points)

Inès fait voler un cerf-volant \(K\). Elle tient le fil au point \(M\), à \(1{,}2\) m du sol. Le fil \([MK]\) est tendu et mesure 40 m. Le point \(S\) est au sol, à la verticale du cerf-volant, et \(H\) est le point de \([KS]\) situé à la hauteur de la main d’Inès, de sorte que le triangle \(MHK\) est rectangle en \(H\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Le fil forme un angle \(\widehat{KMH} = 35^\circ\) avec l’horizontale. Calcule la longueur \(KH\), puis la hauteur \(KS\) du cerf-volant, arrondie au décimètre. (2 points)
2. Plus tard, le vent se lève : le cerf-volant monte à 30 m du sol, le fil mesure toujours 40 m et Inès le tient toujours à \(1{,}2\) m du sol. Calcule le nouvel angle \(\widehat{KMH}\). (2 points)

Exercice 5 : Un triangle et sa hauteur (4 points)

Dans le triangle \(ABC\) ci-dessous, \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\). On donne \(AB = 10\) cm, \(BH = 6\) cm et \(\widehat{ACB} = 40^\circ\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule la longueur \(AH\). (1 point)
2. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{ABC}\). (1 point)
3. Calcule la longueur \(HC\), arrondie au millimètre. (1 point)
4. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\). Le triangle \(ABC\) est-il rectangle en \(A\) ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : trigonométrie : angles et problèmes

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Trigonométrie dans le triangle rectangle » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés trigonométrie.

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