Voici le corrigé complet du brevet de maths 2016 en Asie-Pacifique (session de juin 2016, série générale, épreuve de 2 heures). Le sujet compte sept exercices très variés. On commence par un QCM sur une probabilité, une identité remarquable, une équation du second degré et l’effet d’un agrandissement sur un volume. Le viaduc de Millau sert ensuite de support au théorème de Pythagore, à la trigonométrie et à la réciproque de Thalès. Un exercice de statistiques demande moyenne, étendue et quartiles pour valider une machine à bonbons. Le test de Cooper mobilise périmètre d’une piste et vitesse moyenne, puis un tableur permet d’étudier deux fonctions. L’épreuve se termine par trois affirmations vrai/faux (nombres premiers entre eux, racines carrées, pourcentages successifs) et par le volume d’une demi-sphère. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Asie Pacifique 2016 : sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM, 4 points
Pour chaque question, une seule des trois réponses A, B ou C est exacte. Les justifications ci-dessous n’étaient pas exigées sur la copie.
1. Une urne contient 10 boules rouges et 20 boules noires ; quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
Il y a \(10+20=30\) boules, chacune ayant la même chance d’être tirée : on est dans une situation d’équiprobabilité. Parmi ces 30 issues, 10 sont favorables :
\[ p = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}. \]
Réponse B.
2. Développer \((3x+2)^2\).
Avec l’identité remarquable \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) :
\[ (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4. \]
La réponse A (\(9x^2+4\)) oublie le double produit, la réponse B est fausse. En développant la réponse C : \(4+3x(3x+4) = 4 + 9x^2 + 12x\), on retrouve bien le même résultat.
Réponse C.
3. Parmi 0, 3 et 4, lequel est solution de \(x^2-2x-8=0\) ?
On teste chaque valeur :
- \(0^2-2\times 0-8 = -8 \neq 0\) ;
- \(3^2-2\times 3-8 = 9-6-8 = -5 \neq 0\) ;
- \(4^2-2\times 4-8 = 16-8-8 = 0\).
Réponse C : 4 est solution.
4. Si on double toutes les dimensions d’un aquarium, par combien son volume est-il multiplié ?
Dans un agrandissement de rapport \(k\), les longueurs sont multipliées par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\). Ici \(k=2\) donc le volume est multiplié par \(2^3=8\).
Réponse C : 8.
Remarque : le corrigé PDF d’origine indiquait « réponse B » pour cette question, alors que 8 est la troisième proposition (colonne C).
Exercice 2 :
Le viaduc de Millau, 6 points
Le pylône [AB] est vertical et la chaussée [AD] horizontale : le triangle ACD est rectangle en A. On sait que \(AB=89\) m, \(AC=76\) m, \(AD=154\) m, \(FD=12\) m et \(EC=5\) m, avec E sur [AC] et F sur [AD].
1. Calculer la longueur du hauban [CD], arrondie au mètre.
Le triangle ACD est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[ CD^2 = AC^2 + AD^2 = 76^2 + 154^2 = 5\,776 + 23\,716 = 29\,492. \]
\[ CD = \sqrt{29\,492} \approx 171{,}7. \]
Le hauban [CD] mesure environ 172 m.
2. Calculer l’angle \(\widehat{CDA}\) formé par le hauban [CD] et la chaussée, au degré près.
Dans le triangle ACD rectangle en A, pour l’angle \(\widehat{CDA}\), [AC] est le côté opposé et [AD] le côté adjacent :
\[ \tan\widehat{CDA} = \frac{AC}{AD} = \frac{76}{154}. \]
À la calculatrice : \(\widehat{CDA} = \arctan(\frac{76}{154}) \approx 26{,}3^\circ\).
L’angle \(\widehat{CDA}\) mesure environ 26°.
3. Les haubans [CD] et [EF] sont-ils parallèles ?
Les points A, E, C d’une part et A, F, D d’autre part sont alignés dans le même ordre. On calcule :
\[ AE = AC – EC = 76 – 5 = 71 \text{ m} \qquad AF = AD – FD = 154 – 12 = 142 \text{ m}. \]
On compare les rapports \(\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{71}{76}\) et \(\dfrac{AF}{AD} = \dfrac{142}{154}\) à l’aide des produits en croix :
\[ 71 \times 154 = 10\,934 \qquad \text{et} \qquad 76 \times 142 = 10\,792. \]
Ces produits sont différents, donc \(\dfrac{AE}{AC} \neq \dfrac{AF}{AD}\) (en valeurs approchées : \(0{,}934\) contre \(0{,}922\)). Si les droites (EF) et (CD) étaient parallèles, le théorème de Thalès imposerait l’égalité de ces rapports : c’est la contraposée du théorème de Thalès.
Les haubans [CD] et [EF] ne sont pas parallèles.
Remarque : le corrigé PDF d’origine calculait \(AF = 144\) m au lieu de \(154-12 = 142\) m ; la conclusion reste la même, mais avec un écart bien plus net.
Exercice 3 :
Statistiques, 6 points
On a compté les bonbons de 500 paquets. La machine est validée si trois critères sont respectés : moyenne comprise entre 59,9 et 60,1 ; étendue inférieure ou égale à 10 ; écart interquartile (\(Q_3-Q_1\)) inférieur ou égal à 3.
On complète le tableau de l’énoncé par les effectifs cumulés croissants :
| Nombre de bonbons | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 4 | 36 | 53 | 79 | 145 | 82 | 56 | 38 | 7 |
| Effectifs cumulés | 4 | 40 | 93 | 172 | 317 | 399 | 455 | 493 | 500 |
Critère 1 : la moyenne. C’est une moyenne pondérée par les effectifs :
\[ \,\overline{x} = \frac{56\times 4 + 57\times 36 + 58\times 53 + 59\times 79 + 60\times 145 + 61\times 82 + 62\times 56 + 63\times 38 + 64\times 7}{500} = \frac{30\,027}{500} = 60{,}054. \]
Comme \(59{,}9 \leq\, 60{,}054 \leq\, 60{,}1\), le premier critère est respecté.
Critère 2 : l’étendue. Elle vaut \(64 – 56 = 8\) et \(8 \leq\, 10\) : le deuxième critère est respecté.
Critère 3 : l’écart interquartile.
- \(500 \times \frac{1}{4} = 125\) : le premier quartile est la 125e valeur de la série rangée dans l’ordre croissant. Les effectifs cumulés passent de 93 (pour 58) à 172 (pour 59), donc \(Q_1 = 59\).
- \(500 \times \frac{3}{4} = 375\) : le troisième quartile est la 375e valeur. Les effectifs cumulés passent de 317 (pour 60) à 399 (pour 61), donc \(Q_3 = 61\).
L’écart interquartile vaut \(61 – 59 = 2\) et \(2 \leq\, 3\) : le troisième critère est respecté.
Les trois critères sont vérifiés : la nouvelle machine respecte les critères de qualité.
Exercice 4 :
Le test de Cooper, 5 points
La piste est formée de deux lignes droites de 109 m et de deux demi-cercles de diamètre 58 m. Adèle (31 ans) a parcouru 6 tours et 150 m en 12 minutes ; Mathéo (27 ans) a couru à la vitesse moyenne de 13,5 km/h.
1. Vérifier que la piste mesure environ 400 m.
Les deux demi-cercles forment ensemble un cercle entier de diamètre 58 m, dont le périmètre est \(\pi \times 58\). La longueur de la piste est donc :
\[ L = 2 \times 109 + \pi \times 58 = 218 + 58\pi \approx 400{,}2 \text{ m}. \]
La piste mesure bien environ 400 m.
2. Adèle et Mathéo participeront au marathon seulement si leur indice de forme est au moins « moyen ».
Adèle. Elle a parcouru :
\[ 6 \times 400 + 150 = 2\,400 + 150 = 2\,550 \text{ m}. \]
C’est une femme de 31 ans : on lit la colonne « de 30 à 39 ans » du tableau des femmes. Comme \(2\,550 \gt 2\,500\), son indice de forme est « très bon ».
Mathéo. 12 minutes représentent \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5}\) d’heure. À 13,5 km/h, il parcourt :
\[ d = v \times t = 13{,}5 \times \frac{1}{5} = 2{,}7 \text{ km} = 2\,700 \text{ m}. \]
On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité :
| Durée (min) | 60 | 12 |
|---|---|---|
| Distance (m) | 13 500 | \(\dfrac{13\,500 \times 12}{60} = 2\,700\) |
C’est un homme de 27 ans : colonne « moins de 30 ans » du tableau des hommes. Comme \(2\,401 \leq\, 2\,700 \leq\, 2\,800\), son indice de forme est « bon ».
Les deux indices sont au moins « moyens » : Adèle et Mathéo participeront au marathon.
Exercice 5 :
Fonctions et tableur, 6 points
On considère \(f(x) = 2x+1\) et \(g(x) = x^2+4x-5\). Dans la feuille de calcul de Léa, la ligne 1 contient les valeurs de \(x\) de \(-3\) à 3 (colonnes B à H), la ligne 2 les images par \(f\) et la ligne 3 les images par \(g\) ; la cellule B3 contient =B1*B1+4*B1-5.
1. Image de 3 par \(f\) :
\[ f(3) = 2\times 3 + 1 = 7. \]
L’image de 3 par \(f\) est 7 (on le lit aussi en H2).
2. Nombre qui doit apparaître en C3.
La cellule C1 contient \(-2\), donc C3 contient \(g(-2)\) :
\[ g(-2) = (-2)^2 + 4\times (-2) – 5 = 4 – 8 – 5 = -9. \]
La cellule C3 affiche \(-9\).
3. Formule saisie en B2.
La cellule B2 doit calculer \(f\) appliquée au nombre de la cellule B1 :
=2*B1+1
4. Donner, sans justifier, une solution de l’inéquation \(2x+1 \lt x^2+4x-5\), c’est-à-dire \(f(x) \lt g(x)\).
On cherche une colonne où le nombre de la ligne 2 est strictement inférieur à celui de la ligne 3. Pour \(x = 2\) : \(f(2) = 5\) et \(g(2) = 7\), et \(5 \lt 7\).
\(x = 2\) est une solution (\(x = 3\) convient aussi, car \(7 \lt 16\)).
5. Déterminer un antécédent de 1 par \(f\).
On résout \(2x+1 = 1\), soit \(2x = 0\), d’où \(x = 0\). On le vérifie dans le tableau : en E1 on lit 0 et en E2 on lit 1.
0 est un antécédent de 1 par \(f\).
Exercice 6 :
Vrai ou faux, 3 points
Affirmation 1 : « Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. »
Un contre-exemple suffit : 3 et 9 sont impairs, mais 3 divise à la fois 3 et 9. Leur plus grand diviseur commun est 3 et non 1, donc ils ne sont pas premiers entre eux.
L’affirmation 1 est fausse.
Affirmation 2 : « Pour tous entiers positifs \(a\) et \(b\), \(\sqrt{a}+\sqrt{b} = \sqrt{a+b}\). »
Contre-exemple avec \(a = 4\) et \(b = 9\) :
\[ \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \qquad \text{alors que} \qquad \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61. \]
Comme \(5 = \sqrt{25} \neq \sqrt{13}\), l’égalité n’est pas toujours vraie.
L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3 : « Augmenter un prix de 20 % puis de 30 % revient à l’augmenter de 56 %. »
Augmenter de 20 % revient à multiplier par 1,2 ; augmenter de 30 % revient à multiplier par 1,3. Les deux hausses successives reviennent donc à multiplier par :
\[ 1{,}2 \times 1{,}3 = 1{,}56 = 1 + \frac{56}{100}, \]
ce qui correspond à une hausse de 56 %. Vérification avec un article à 15 € : après +20 %, il coûte \(15 \times 1{,}2 = 18\) € ; après +30 %, il coûte \(18 \times 1{,}3 = 23{,}40\) €, soit une hausse de 8,40 €, et \(15 \times 0{,}56 = 8{,}40\).
L’affirmation 3 est vraie.
Exercice 7 :
Le cocktail de Romane, 6 points
La recette pour 6 personnes utilise 60 cL de jus de mangue, 30 cL de jus de poire, 12 cL de jus de citron vert et 12 cL de sirop de cassis. Le récipient est une demi-sphère de diamètre 26 cm. Est-il assez grand pour 20 personnes ?
Volume de cocktail nécessaire.
\[ 60 + 30 + 12 + 12 = 114 \text{ cL pour 6 personnes, soit } 114 : 6 = 19 \text{ cL par personne.} \]
\[ 20 \times 19 = 380 \text{ cL} = 3{,}8 \text{ L pour 20 personnes.} \]
Volume du récipient. Le rayon vaut \(26 : 2 = 13\) cm. Le volume d’une demi-sphère est la moitié de celui de la sphère :
\[ V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \times 13^3 = \frac{2 \times 2\,197}{3}\pi = \frac{4\,394\pi}{3} \approx 4\,601 \text{ cm}^3. \]
Comme \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\), on a \(V \approx 4{,}6\) L.
Or \(4{,}6 \text{ L} \gt 3{,}8 \text{ L}\).
Le récipient de Romane est assez grand pour préparer le cocktail pour 20 personnes.
