Corrigé du brevet de maths 2017 en Polynésie

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Polynésie 2017 : sujet du brevet de mathématiques : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

QCM, 7 points

Question 1. Combien faut-il environ de CD de 700 Mo pour stocker autant de données qu’une clé de 32 Go ? (a. 46 ; b. 4 600 ; c. 4 600 000)

Un gigaoctet vaut 1 000 mégaoctets, donc \( 32 \text{ Go} = 32\,000 \text{ Mo} \). On divise par la capacité d’un CD :

\[ \frac{32\,000}{700} \approx 45{,}7 \]

45 CD ne suffisent pas (\( 45 \times 700 = 31\,500 \lt 32\,000 \)) ; il en faut donc environ 46. Réponse a.

Question 2. La diagonale d’un rectangle de 10 cm sur 20 cm mesure environ : a. 15 cm ; b. 22 cm ; c. 30 cm.

Soit ABCD ce rectangle avec AB = 10 cm et BC = 20 cm. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 10^2 + 20^2 = 100 + 400 = 500 \]

AC étant une longueur positive, \( AC = \sqrt{500} \approx 22{,}4 \) cm. Réponse b.

Question 3. Une solution de l’équation \( 2x + 3 = 7x – 4 \) est : a. \( \frac{5}{7} \) ; b. 1,4 ; c. \( -0{,}7 \).

\[ 2x + 3 = 7x – 4 \iff 2x – 7x = -4 – 3 \iff -5x = -7 \iff x = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5} = 1{,}4 \]

Vérification : \( 2 \times 1{,}4 + 3 = 5{,}8 \) et \( 7 \times 1{,}4 – 4 = 5{,}8 \). Réponse b.

Question 4. La fraction irréductible égale à \( \frac{882}{1\,134} \) est : a. \( \frac{14}{9} \) ; b. \( \frac{63}{81} \) ; c. \( \frac{7}{9} \).

On cherche le PGCD de 882 et 1 134. Avec \( 882 = 2 \times 3^2 \times 7^2 \) et \( 1\,134 = 2 \times 3^4 \times 7 \), on obtient \( \text{PGCD} = 2 \times 3^2 \times 7 = 126 \). Donc :

\[ \frac{882}{1\,134} = \frac{7 \times 126}{9 \times 126} = \frac{7}{9} \]

La réponse a est fausse (\( \frac{14}{9} \gt 1 \) alors que \( 882 \lt 1\,134 \)) et la réponse b est égale à \( \frac{7}{9} \) mais n’est pas irréductible (63 et 81 sont divisibles par 9). Réponse c.

Question 5. On considère la fonction \( f : x \mapsto 3x + 4 \). Dans un tableur, les nombres sont en ligne 1 (à partir de B1) et leurs images en ligne 2. Quelle formule saisir en B2 puis recopier vers la droite ? a. =3*A1+4 ; b. =3*5+4 ; c. =3*B1+4.

La cellule B2 doit contenir l’image du nombre situé juste au-dessus, en B1. La formule =3*A1+4 utiliserait la mauvaise cellule et =3*5+4 donnerait toujours le même résultat une fois recopiée. La formule =3*B1+4 devient =3*C1+4, =3*D1+4… quand on la recopie vers la droite. Réponse c.

Exercice 2 :

Analyse de documents, 8 points

On demande à quelle vitesse, en km/h arrondie à l’unité, un TGV est passé sans s’arrêter devant un observateur, sachant qu’il a mis 13,53 secondes à défiler entièrement devant lui.

Longueur du TGV. Le TGV est formé de deux rames ; chaque rame compte deux motrices A encadrant dix voitures B.

• Une motrice A mesure \( 5\,000 + 14\,000 = 19\,000 \) mm, soit 19 m.
• Une voiture B mesure 18 300 mm, soit 18,3 m.
• Le train comporte donc 4 motrices A et 20 voitures B.

\[ L = 4 \times 19 + 20 \times 18{,}3 = 76 + 366 = 442 \text{ m} \]

Vitesse du TGV. Pour passer entièrement devant l’observateur, le train parcourt sa propre longueur, 442 m, soit 0,442 km, en 13,53 s. Une heure compte 3 600 s ; on complète le tableau de proportionnalité :

Distance (km)	0,442	\( d \)
Temps (s)	13,53	3 600

\[ d = \frac{3\,600 \times 0{,}442}{13{,}53} \approx 117{,}6 \text{ km} \]

En une heure, le train parcourrait environ 117,6 km : il roulait à environ 118 km/h.

Exercice 3 :

Géométrie, 9 points

1. a. Tracer un triangle CDE rectangle en D tel que CD = 6,8 cm et DE = 3,4 cm.

On trace le segment [CD] de 6,8 cm, la perpendiculaire à (CD) passant par D, et on y place E à 3,4 cm de D. La figure ci-dessous (réduite) contient aussi les constructions de la question 2.

1. b. Calculer CE au dixième de centimètre près.

Le triangle CDE est rectangle en D, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[ CE^2 = CD^2 + DE^2 = 6{,}8^2 + 3{,}4^2 = 46{,}24 + 11{,}56 = 57{,}8 \]

CE est une longueur positive, donc \( CE = \sqrt{57{,}8} \approx 7{,}6 \) : CE ≈ 7,6 cm.

2. a. Placer le point F sur [CD] tel que CF = 2 cm.

On reporte 2 cm à partir de C sur le segment [CD] ; on a alors DF = 4,8 cm.

2. b. Placer le point G sur [CE] tel que FG = 1 cm.

On trace le cercle de centre F et de rayon 1 cm ; G est un point d’intersection de ce cercle avec [CE]. Remarque : l’énoncé ne le signale pas, mais le cercle coupe le segment [CE] en deux points, notés G et G′ sur la figure. En effet, la distance de F à la droite (CE) vaut environ 0,89 cm, ce qui est inférieur à 1 cm. Les deux positions sont acceptables et on étudie les deux cas ci-dessous.

2. c. Les droites (FG) et (DE) sont-elles parallèles ?

Les points C, F, D d’une part et C, G, E d’autre part sont alignés dans le même ordre. On compare les rapports :

\[ \frac{CF}{CD} = \frac{2}{6{,}8} = \frac{5}{17} \approx 0{,}294 \]

Premier cas : le point G le plus éloigné de C. Par le calcul (repère d’origine D), ce point est situé exactement à 1 cm au-dessus de F, donc \( CG = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \) cm. Comme \( CE = \sqrt{57{,}8} = 3{,}4\sqrt{5} \) :

\[ \frac{CG}{CE} = \frac{\sqrt{5}}{3{,}4\sqrt{5}} = \frac{1}{3{,}4} = \frac{5}{17} \]

Les rapports \( \frac{CF}{CD} \) et \( \frac{CG}{CE} \) sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (FG) et (DE) sont parallèles. On le retrouve d’ailleurs sur la figure : (FG) est perpendiculaire à (CD), comme (DE).

Second cas : le point G′ le plus proche de C. On trouve \( CG^{\prime} = 0{,}6\sqrt{5} \approx 1{,}34 \) cm, d’où

\[ \frac{CG^{\prime}}{CE} = \frac{0{,}6\sqrt{5}}{3{,}4\sqrt{5}} = \frac{3}{17} \neq \frac{5}{17} = \frac{CF}{CD} \]

Les rapports sont différents : d’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (FG′) et (DE) ne sont pas parallèles.

Conclusion : la réponse dépend du point G choisi ; seul le point G tel que CG = √5 cm donne une droite (FG) parallèle à (DE).

Exercice 4 :

Probabilités, 6 points

Un sachet opaque contient sept baklavas indiscernables au toucher, portant chacun une lettre du mot BAKLAVA. On en tire un au hasard et on lit la lettre.

1. Quelles sont les issues de cette expérience ?

Les lettres du mot BAKLAVA sont B, A, K, L, A, V, A. Les issues possibles sont donc les 5 lettres A, B, K, L et V. Attention : elles ne sont pas équiprobables, car il y a trois A.

2. a. Probabilité que la lettre tirée soit un L.

Chacun des 7 gâteaux a la même probabilité d’être tiré, et un seul porte la lettre L :

\[ P(L) = \frac{1}{7} \]

2. b. Probabilité que la lettre tirée ne soit pas un A.

Trois gâteaux portent la lettre A, donc 4 gâteaux sur 7 ne la portent pas :

\[ P(\text{non } A) = 1 – \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \]

3. Enzo a un sachet de 10 baklavas : 2 aux pistaches, 4 aux noisettes et les autres aux noix. Il en pioche un au hasard et le mange : c’était un gâteau aux noix. Laura affirme qu’au tirage suivant il aura plus de chances de tomber sur un gâteau aux noix. A-t-elle raison ?

Au départ, il y a \( 10 – 2 – 4 = 4 \) gâteaux aux noix, donc la probabilité de piocher un gâteau aux noix est

\[ \frac{4}{10} = 0{,}4 \]

Après le premier tirage, il reste 9 gâteaux dont 3 aux noix (2 aux pistaches et 4 aux noisettes n’ont pas bougé). La probabilité devient

\[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33 \]

Comme \( \frac{1}{3} \lt 0{,}4 \), les chances de piocher un gâteau aux noix ont diminué. Laura a tort. Au second tirage, c’est même un gâteau aux noisettes qui est le plus probable (\( \frac{4}{9} \)).

Exercice 5 :

Programme de calcul et Scratch, 7 points

Programme : choisir un nombre ; le multiplier par \( -4 \) ; ajouter 5 au résultat.

1. Vérifier qu’en choisissant \( -2 \) on obtient 13.

\( -2 \times (-4) = 8 \), puis \( 8 + 5 = 13 \). On obtient bien 13.

2. Quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir \( -3 \) ?

On remonte le programme à l’envers : on part de \( -3 \), on retranche 5, ce qui donne \( -8 \), puis on divise par \( -4 \) : \( -8 : (-4) = 2 \). Vérification : \( 2 \times (-4) + 5 = -3 \). Il faut choisir 2.

3. Salomé exécute le script suivant :

quand le drapeau vert est cliqué
demander « Choisir un nombre » et attendre
si ( -4 * réponse ) + 5 < 0 alors
    dire « Bravo »
sinon
    dire « Essaie encore »

3. a. Réponse du lutin si elle choisit 12 :

\( -4 \times 12 + 5 = -48 + 5 = -43 \) et \( -43 \lt 0 \) : la condition est vraie, le lutin dit « Bravo ».

3. b. Réponse du lutin si elle choisit \( -5 \) :

\( -4 \times (-5) + 5 = 20 + 5 = 25 \) et \( 25 \geq\, 0 \) : la condition est fausse, le lutin dit « Essaie encore ».

4. Le programme se traduit par l’expression \( -4x + 5 \). Résoudre l’inéquation \( -4x + 5 \lt 0 \).

\[ -4x + 5 \lt 0 \iff -4x \lt -5 \iff x \gt \frac{-5}{-4} \iff x \gt \frac{5}{4} \]

On change le sens de l’inégalité en divisant par \( -4 \), nombre négatif. Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à \( \frac{5}{4} = 1{,}25 \).

5. À quelle condition sur le nombre choisi est-on certain que le lutin dira « Bravo » ?

Le lutin dit « Bravo » exactement lorsque \( -4x + 5 \lt 0 \), c’est-à-dire d’après la question 4 lorsque le nombre choisi est strictement supérieur à 1,25. C’est cohérent avec la question 3 : 12 convient, \( -5 \) non.

Exercice 6 :

Le problème des bus, 8 points

Les bus des lignes 1 et 2 partent ensemble de l’arrêt « Mairie » à 6 h 30 et parcourent le même circuit de 8 arrêts. Le bus de la ligne 1 met 3 minutes entre deux arrêts, celui de la ligne 2 met 4 minutes. Ils roulent jusqu’à un peu plus de 20 h. Se retrouvent-ils à la Mairie en même temps, et si oui à quelles heures ?

Durée d’un tour. Le circuit compte 8 intervalles entre arrêts :

• ligne 1 : \( 8 \times 3 = 24 \) minutes par tour ;
• ligne 2 : \( 8 \times 4 = 32 \) minutes par tour.

Le bus 1 repasse à la Mairie tous les multiples de 24 minutes après 6 h 30, le bus 2 tous les multiples de 32 minutes. Ils s’y retrouvent aux multiples communs de 24 et 32.

Plus petit multiple commun. On décompose : \( 24 = 2^3 \times 3 \) et \( 32 = 2^5 \), donc

\[ \text{PPCM}(24 \,;\, 32) = 2^5 \times 3 = 96 \]

On peut aussi le vérifier par les listes : bus 1 à 6 h 54, 7 h 18, 7 h 42, 8 h 06 ; bus 2 à 7 h 02, 7 h 34, 8 h 06. La première rencontre après le départ a lieu 96 minutes plus tard, soit 1 h 36 après 6 h 30, donc à 8 h 06.

Horaires des rencontres. Les bus se retrouvent à la Mairie toutes les 1 h 36 :

6 h 30 (départ), 8 h 06, 9 h 42, 11 h 18, 12 h 54, 14 h 30, 16 h 06, 17 h 42 et 19 h 18.

La rencontre suivante aurait lieu à 20 h 54, après l’arrêt du service juste après 20 h : il n’y en a donc pas d’autre. Oui, les deux bus se retrouvent à la Mairie, 8 fois après le départ commun de 6 h 30.