Voici le corrigé du brevet de maths 2018 de Pondichéry, épreuve de mai 2018 qui ouvre traditionnellement la session du diplôme national du brevet. Le sujet compte sept exercices variés : une roue de loterie à 13 cases pour les probabilités, un pavage « pied-de-coq » sur la translation, les aires et l’effet d’une réduction, un QCM sur l’écriture scientifique, la latitude et les fractions, puis deux programmes de calcul comparés avec un tableur et une équation. On y trouve aussi un jeu de fléchettes mêlant théorème de Pythagore, Scratch et fréquence, une lecture graphique de fréquence cardiaque avec vitesse moyenne et pourcentages, et enfin des triangles semblables traités par la trigonométrie. Chaque réponse est justifiée pas à pas, avec des figures pour suivre les raisonnements.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths 2018 à Pondichéry : sujet et corrigé en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités : une roue de loterie à 13 cases
Une roue est partagée en 13 cases identiques numérotées de 0 à 12. On la fait tourner et on note le numéro de la case obtenue. Toutes les cases ont la même chance d’être obtenues : c’est une situation d’équiprobabilité, donc la probabilité d’un événement est égale au nombre de cases favorables divisé par 13.
1. Probabilité d’obtenir 8 : une seule case porte le numéro 8, donc
\[ P(\text{« obtenir 8 »}) = \frac{1}{13} \approx 0{,}077. \]
2. Probabilité d’obtenir un nombre impair : les nombres impairs entre 0 et 12 sont 1, 3, 5, 7, 9 et 11, soit 6 cases.
\[ P(\text{« impair »}) = \frac{6}{13} \approx 0{,}462. \]
3. Probabilité d’obtenir un nombre premier : entre 0 et 12, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7 et 11 (0 et 1 ne sont pas premiers), soit 5 cases.
\[ P(\text{« premier »}) = \frac{5}{13} \approx 0{,}385. \]
4. Un joueur a obtenu 9 plusieurs fois de suite ; a-t-il plus de chances d’obtenir 7 que 9 au lancer suivant ? Non : chaque lancer est indépendant des précédents, la roue « n’a pas de mémoire ». Au lancer suivant, chaque case a toujours la probabilité \( \frac{1}{13} \). Obtenir 7 et obtenir 9 sont donc aussi probables l’un que l’autre.
Exercice 2 :
Le motif « pied-de-coq » : transformation, aire et réduction
1. Le motif 1 est amené sur le motif 2 par un simple glissement, sans rotation ni retournement : c’est une translation.
2. Chaque carreau du quadrillage a pour côté 1 cm, donc pour aire 1 cm². On compte les carreaux recouverts par le motif : 4 carreaux entiers et 8 demi-carreaux. Les 8 demi-carreaux font 4 carreaux entiers, d’où au total \( 4 + 4 = 8 \) carreaux.
L’aire du motif est de 8 cm².
3. Marie affirme que si l’on divise par 2 les longueurs du motif, son aire est aussi divisée par 2. Lors d’une réduction de rapport \( k \), les aires sont multipliées par \( k^2 \). Ici \( k = \frac{1}{2} \), donc les aires sont multipliées par \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \) : elles sont divisées par 4, pas par 2.
Vérification sur un carreau : son côté passe de 1 cm à 0,5 cm, son aire de 1 cm² à \( 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25 \) cm², soit quatre fois moins. Le motif réduit a donc une aire de \( 8 : 4 = 2 \) cm².
Marie a tort : l’aire est divisée par 4.
Exercice 3 :
QCM : écriture scientifique, latitude, fractions (aucune justification demandée, mais on détaille les calculs)
1. Écriture décimale de \( 2{,}53 \times 10^{15} \) : multiplier par \( 10^{15} \) décale la virgule de 15 rangs vers la droite.
\[ 2{,}53 \times 10^{15} = 2\,530\,000\,000\,000\,000. \]
Réponse b.
2. La latitude d’un point de l’équateur : l’équateur est le parallèle de référence, sa latitude est 0°. Réponse a.
3. Calcul de \( \dfrac{\frac{2}{3} + \frac{5}{6}}{7} \). On met d’abord au même dénominateur :
\[ \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}. \]
Diviser par 7 revient à multiplier par \( \frac{1}{7} \) :
\[ \frac{3}{2} \times \frac{1}{7} = \frac{3}{14}. \]
Réponse a : \( \frac{3}{14} \).
Exercice 4 :
Deux programmes de calcul, un tableur et une équation
Programme A : choisir un nombre, lui soustraire 3, élever le résultat au carré.
Programme B : choisir un nombre, l’élever au carré, ajouter le triple du nombre de départ, ajouter 7.
1. Programme A avec 1 : \( 1 – 3 = -2 \), puis \( (-2)^2 = 4 \). On obtient bien 4.
2. Programme B avec \( -5 \) : \( (-5)^2 = 25 \), puis \( 25 + 3 \times (-5) = 25 – 15 = 10 \), puis \( 10 + 7 = 17 \). On obtient 17.
3. Le nombre de départ est dans la cellule B1 ; pour obtenir le résultat du programme B, on saisit dans la cellule voulue la formule :
=B1^2+3*B1+7
(on peut aussi écrire =B1*B1+3*B1+7).
4. a. Avec \( x \) comme nombre de départ, le programme A donne \( (x-3)^2 \). On développe :
\[ (x-3)^2 = (x-3)(x-3) = x^2 – 3x – 3x + 9 = x^2 – 6x + 9. \]
Le programme A donne \( x^2 – 6x + 9 \).
4. b. Avec \( x \), le programme B donne successivement \( x^2 \), puis \( x^2 + 3x \), puis \( x^2 + 3x + 7 \).
Le programme B donne \( x^2 + 3x + 7 \).
4. c. Existe-t-il un nombre de départ qui donne le même résultat avec les deux programmes ? Aucune valeur du tableur ne convient, mais les essais ne suffisent pas : on résout l’équation
\[ x^2 – 6x + 9 = x^2 + 3x + 7. \]
En retranchant \( x^2 \) aux deux membres :
\[ -6x + 9 = 3x + 7 \quad\Longleftrightarrow\quad -9x = -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{2}{9}. \]
Oui : le nombre \( \frac{2}{9} \) (et lui seul) donne le même résultat avec les deux programmes. Ce n’est pas un nombre décimal, ce qui explique qu’on ne le voie pas dans le tableur. Vérification : \( (\frac{2}{9} – 3)^2 = (-\frac{25}{9})^2 = \frac{625}{81} \) et \( \frac{4}{81} + \frac{6}{9} + 7 = \frac{4 + 54 + 567}{81} = \frac{625}{81} \).
Exercice 5 :
Jeu de fléchettes : Pythagore, Scratch et probabilité
La cible est un disque de centre O et de rayon 100 inscrit dans un carré de côté 200. On repère la position d’une fléchette F par ses coordonnées dans un repère d’origine O. Une fléchette atteint la cible si elle tombe dans le disque.
1. Distance OF pour la fléchette F(72 ; 54). Soit H le point de coordonnées (72 ; 0) : le triangle OHF est rectangle en H, avec OH = 72 et HF = 54. D’après le théorème de Pythagore :
\[ OF^2 = OH^2 + HF^2 = 72^2 + 54^2 = 5\,184 + 2\,916 = 8\,100, \]
\[ OF = \sqrt{8\,100} = 90. \]
La fléchette est à une distance 90 du centre O. Comme \( 90 \lt 100 \), elle est dans la cible.
2. Condition pour qu’une fléchette atteigne la cible : elle doit être dans le disque de rayon 100, donc sa distance au centre OF doit être inférieure à 100.
3. a. Le script contient la boucle « répéter 120 fois » qui englobe le lancer (« aller à » une position aléatoire). L’expérience est répétée 120 fois.
3. b. La variable score augmente de 1 chaque fois qu’une fléchette tombe dans la cible : elle compte le nombre de fléchettes qui atteignent la cible parmi les 120 lancers.
3. c. Il faut compléter le script. On généralise le calcul de la question 1 : pour une fléchette d’abscisse \( x \) et d’ordonnée \( y \), \( OF^2 = x^2 + y^2 \), puis \( OF = \sqrt{x^2 + y^2} \), et on ajoute 1 au score si cette distance est inférieure à 100. Les blocs à placer sont :
mettre [carré de OF] à ((abscisse x) * (abscisse x)) + ((ordonnée y) * (ordonnée y))
mettre [distance] à (racine de (carré de OF))
si (distance) < 100 alors
ajouter 1 à [score]
3. d. Si l’on obtient score = 102, alors 102 fléchettes sur 120 ont atteint la cible. La fréquence est :
\[ \frac{102}{120} = \frac{17}{20} = 0{,}85, \]
soit une fréquence de 85 %.
4. Les fléchettes tombent au hasard dans le carré : la probabilité d’atteindre la cible est le quotient de l’aire du disque par l’aire du carré.
\[ \mathcal{A}_{\text{carré}} = 200 \times 200 = 40\,000, \qquad \mathcal{A}_{\text{disque}} = \pi \times 100^2 = 10\,000\pi \approx 31\,416. \]
\[ p = \frac{10\,000\pi}{40\,000} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785. \]
Arrondie au centième, la probabilité vaut 0,79, ce qui est cohérent avec la fréquence 0,85 obtenue sur seulement 120 lancers : la fréquence fluctue autour de la probabilité.
Exercice 6 :
La fréquence cardiaque d’un coureur : lecture graphique, durée, vitesse, pourcentages
Un graphique donne la fréquence cardiaque (en battements par minute) d’un coureur en fonction du temps de course.
1. On lit l’ordonnée du point de départ de la courbe : la fréquence cardiaque au départ est d’environ 52 battements par minute.
2. On lit l’ordonnée du point le plus haut : la fréquence maximale atteinte est d’environ 160 battements par minute.
3. Le coureur part à 9 h 33 et arrive à 10 h 26. De 9 h 33 à 10 h il y a 27 min, puis 26 min jusqu’à 10 h 26 :
\[ 27 + 26 = 53 \text{ min}. \]
Il a couru pendant 53 minutes.
4. Il faut vérifier que sa vitesse moyenne est d’environ 12,5 km/h, sachant qu’il a parcouru 11 km. Sa vitesse est proportionnelle : 11 km en 53 min, donc en 60 min il parcourt
\[ v = \frac{11 \times 60}{53} = \frac{660}{53} \approx 12{,}45 \text{ km/h}. \]
Sa vitesse moyenne est bien d’environ 12,5 km/h. (Attention aux arrondis intermédiaires : en arrondissant d’abord \( 11 : 53 \) à 0,207 km/min, on trouve 12,4 ; il vaut mieux garder le calcul exact jusqu’au bout.)
5. Un effort est dit soutenu lorsque la fréquence cardiaque est comprise entre 70 % et 85 % de la fréquence cardiaque maximale, qui vaut ici 190 battements par minute.
\[ 190 \times \frac{70}{100} = 133 \qquad \text{et} \qquad 190 \times \frac{85}{100} = 161{,}5. \]
L’effort est soutenu quand la fréquence est entre 133 et 161,5 battements par minute. La courbe ne dépasse jamais 161,5 (son maximum est environ 160). Par lecture graphique, elle dépasse 133 vers la 8e minute et redescend en dessous vers la 41e minute, d’où une durée de \( 41 – 8 = 33 \) min.
Le coureur a fourni un effort soutenu pendant environ 33 minutes (une lecture graphique autorise une petite marge sur ce résultat).
Exercice 7 :
Triangles rectangles semblables : construction, trigonométrie, coefficient de réduction
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 7 cm et \( \widehat{ABC} = 30° \) ; H est le pied de la hauteur issue de A.
1. Construction : on trace le segment [AB] de 7 cm ; on trace la perpendiculaire à (AB) passant par A ; depuis B, on trace une demi-droite formant un angle de 30° avec [BA), qui coupe la perpendiculaire en C. Enfin on trace la perpendiculaire à (BC) passant par A : elle coupe [BC] en H.
2. Calcul de AH. Dans le triangle ABH rectangle en H, l’hypoténuse est [AB] (7 cm) et [AH] est le côté opposé à l’angle \( \widehat{ABH} = 30° \). On utilise le sinus :
\[ \sin 30° = \frac{AH}{AB} \quad\text{donc}\quad AH = 7 \times \sin 30° = 7 \times 0{,}5 = 3{,}5. \]
AH = 3,5 cm.
3. Montrons que les triangles ABC et AHC sont semblables, en montrant qu’ils ont les mêmes angles.
- Dans ABC rectangle en A, les angles aigus sont complémentaires : \( \widehat{ACB} = 90° – 30° = 60° \). Les angles de ABC mesurent donc 90°, 30° et 60°.
- Dans AHC rectangle en H, l’angle en C est le même : \( \widehat{ACH} = \widehat{ACB} = 60° \). Donc \( \widehat{HAC} = 90° – 60° = 30° \). Les angles de AHC mesurent aussi 90°, 30° et 60°.
Les triangles ABC et AHC ont leurs trois angles égaux deux à deux : ils sont semblables.
4. Coefficient de réduction pour passer du triangle ABC au triangle AHC. On associe les côtés homologues grâce aux angles : l’angle de 30° est en B dans ABC et en A dans AHC. Le côté de l’angle droit adjacent à l’angle de 30° est [AB] dans ABC et [AH] dans AHC. Le coefficient \( k \) vérifie donc
\[ k = \frac{AH}{AB} = \frac{3{,}5}{7} = 0{,}5. \]
Le coefficient de réduction est 0,5 (il est inférieur à 1, c’est bien une réduction). On peut le contrôler avec les hypoténuses : \( AC = 7\tan 30° \approx 4{,}04 \) cm et \( BC = \frac{7}{\cos 30°} \approx 8{,}08 \) cm, et \( \frac{AC}{BC} = \sin 30° = 0{,}5 \).
