Voici le corrigé du brevet de maths 2019 aux Antilles-Guyane (épreuve de juin 2019), rédigé pas à pas pour les élèves de 3e. Le sujet comporte six exercices variés. On commence par trois dés spéciaux (nombres pairs, impairs et premiers) qui mêlent probabilités et décomposition en facteurs premiers. Vient ensuite un exercice d’algorithmique avec Scratch où un motif est répété par rotation, puis une question de symétrie centrale. Le troisième exercice porte sur la sécurité routière : pourcentages, moyenne pondérée, étendue, médiane et formule de tableur. On utilise ensuite la tangente pour photographier Leila devant la tour Eiffel, avant deux programmes de calcul traités par le calcul littéral et la parité. Enfin, on compare deux verres, un cylindre et un cône, par lecture graphique et calcul de volumes.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Antilles et Guyane 2019 : brevet de maths avec sujet et corrigé en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités et arithmétique : trois dés à six faces.
Le premier dé porte les six premiers nombres pairs non nuls, le deuxième les six premiers nombres impairs et le troisième les six premiers nombres premiers.
1. On demande les nombres inscrits sur le deuxième et le troisième dé.
- Deuxième dé (six premiers nombres impairs) : \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\) et \(11\).
- Troisième dé (six premiers nombres premiers) : \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\) et \(13\).
2. a. Zoé a élevé au carré le nombre lu sur son dé et obtenu \(25\). Quel nombre a-t-elle lu ?
Les faces portent des nombres positifs et le seul nombre positif dont le carré vaut \(25\) est \(5\) car \(5^2=25\). Zoé a donc lu le nombre \(5\).
2. b. Léo lance le premier dé et élève lui aussi au carré le nombre obtenu. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un résultat supérieur à celui de Zoé ?
Le premier dé porte \(2\), \(4\), \(6\), \(8\), \(10\) et \(12\). Leurs carrés sont \(4\), \(16\), \(36\), \(64\), \(100\) et \(144\). Seuls \(6\), \(8\), \(10\) et \(12\) donnent un carré supérieur à \(25\) : il y a \(4\) issues favorables sur \(6\) issues équiprobables.
\[ p=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} \]
La probabilité cherchée est \(\dfrac{2}{3}\).
3. a. Mohamed lance quatre fois le même dé et le produit des quatre nombres obtenus vaut \(525\). Quels nombres a-t-il obtenus ?
On décompose \(525\) en produit de facteurs premiers :
\[ 525=5\times 105=5\times 5\times 21=3\times 5\times 5\times 7 \]
Aucune face n’est un nombre pair (sinon le produit serait pair), et \(525\) n’est pas divisible par \(9\), \(11\) ni \(13\). Les seules faces utilisables sont donc \(1\), \(3\), \(5\) et \(7\). Comme \(525\) possède quatre facteurs premiers et qu’il n’y a que quatre lancers, aucun lancer ne peut donner \(1\). Mohamed a obtenu \(3\), \(5\), \(5\) et \(7\) (dans un ordre quelconque).
3. b. Peut-on savoir quel dé il a choisi ?
Les nombres \(3\), \(5\) et \(7\) figurent à la fois sur le deuxième dé et sur le troisième dé (et le premier dé est exclu car il ne porte que des nombres pairs). On ne peut donc pas savoir lequel des deux derniers dés a été utilisé.
Exercice 2 :
Algorithmique (Scratch) et transformations.
1. On demande la figure tracée par le script donné (un côté de carreau correspond à \(10\) pas). En suivant les déplacements du lutin, on obtient la figure suivante :
2. Parmi les scripts proposés, on cherche celui qui trace le motif (bloc « Motif »). C’est le script suivant :
définir Motif
avancer de 10
tourner ↺ de 90 degrés
avancer de 30
répéter 2 fois
tourner ↺ de 90 degrés
avancer de 10
tourner ↺ de 90 degrés
avancer de 10
tourner ↻ de 90 degrés
avancer de 10
tourner ↺ de 90 degrés
En le déroulant depuis un point de départ, orienté vers la droite, le lutin trace un rectangle de \(1\) carreau sur \(3\) muni d’un décrochement d’un carreau sur le côté, revient à son point de départ et reprend son orientation initiale (il a tourné quatre fois de plus à gauche qu’à droite, soit un tour complet).
3. a. Quelle transformation permet de passer d’un motif au suivant dans la figure ?
Il s’agit de la rotation de centre le point commun aux quatre motifs et d’angle \(90^\circ\) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
3. b. On complète le script principal pour tracer la figure complète : il suffit de répéter quatre fois le motif en tournant de \(90^\circ\) vers la gauche après chacun.
quand le drapeau vert est cliqué
aller à x: -160 y: -100
s'orienter à 90
effacer tout
mettre la taille du stylo à 4
stylo en position d'écriture
répéter 4 fois
Motif
tourner ↺ de 90 degrés
4. La figure B est l’image de la figure A par une symétrie centrale ; on demande de placer son centre \(O\).
Une symétrie centrale envoie le centre de la figure A (point commun aux quatre motifs) sur celui de la figure B. Le centre de symétrie \(O\) est donc le milieu du segment qui joint ces deux centres. Sur le quadrillage, on passe de l’un à l’autre en avançant de \(8\) carreaux vers la droite et de \(2\) carreaux vers le haut : \(O\) se trouve à \(4\) carreaux vers la droite et \(1\) carreau vers le haut à partir du centre de la figure A.
Exercice 3 :
Sécurité routière : pourcentages et statistiques.
1. a. En 2016, \(1\,911\) personnes sont mortes sur les routes secondaires, ce qui représente \(55\,\%\) des décès sur l’ensemble des routes de France. Combien y a-t-il eu de décès au total ?
Notons \(N\) le nombre total de décès. On a \(0{,}55\times N=1\,911\), donc :
\[ N=\frac{1\,911}{0{,}55}\approx3\,475 \]
Il y a eu environ \(3\,475\) décès sur l’ensemble des routes de France en 2016.
1. b. La baisse de la vitesse maximale aurait permis de sauver \(400\) vies. Quel pourcentage de baisse cela représente-t-il ?
\[ \frac{400}{3\,475}\approx0{,}115 \]
Le nombre de morts sur les routes de France aurait baissé d’environ \(11{,}5\,\%\).
2. a. On calcule la vitesse moyenne des \(21\) automobilistes contrôlés (\(1\) à \(82\) km/h, \(7\) à \(86\) km/h, \(4\) à \(90\) km/h, \(3\) à \(91\) km/h et \(6\) à \(97\) km/h). Il s’agit d’une moyenne pondérée par les effectifs :
\[ \,\overline{v}=\frac{82\times 1+86\times 7+90\times 4+91\times 3+97\times 6}{1+7+4+3+6}=\frac{1\,899}{21}\approx90{,}4 \]
La vitesse moyenne de ces automobilistes est d’environ \(90{,}4\) km/h.
2. b. Dans une seconde série de vitesses relevées dans une feuille de tableur, deux cellules sont inconnues : B1 (la plus petite vitesse) et B2 (son effectif). On sait que l’étendue vaut \(27\) km/h et que la médiane vaut \(82\) km/h.
- L’étendue est la différence entre la plus grande vitesse, \(97\) km/h, et la plus petite. La cellule B1 contient donc \(97-27=\) \(70\).
- La médiane \(82\) km/h n’apparaît qu’une seule fois dans la série : il y a donc autant de vitesses strictement inférieures à \(82\) km/h que de vitesses strictement supérieures. Or \(20\) vitesses sont supérieures à \(82\) km/h. Il faut donc \(20\) vitesses inférieures à \(82\) km/h ; les autres vitesses inférieures (hors \(70\) km/h) ont pour effectifs \(2\), \(10\) et \(6\), soit \(2+10+6=18\). La cellule B2 contient donc \(20-18=\) \(2\).
2. c. Pour calculer l’effectif total dans la cellule K2, on peut saisir la formule =SOMME(B2:J2).
Exercice 4 :
Trigonométrie : une photo devant la tour Eiffel.
L’appareil photo est posé au sol en A, à \(600\) m du pied B de la tour Eiffel, dont la hauteur est \(BH=324\) m. Leila mesure \(1{,}70\) m.
1. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{HAB}\).
Dans le triangle \(ABH\) rectangle en \(B\), on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l’angle \(\widehat{HAB}\) : on utilise la tangente.
\[ \tan\widehat{HAB}=\frac{BH}{AB}=\frac{324}{600}=0{,}54 \]
À la calculatrice, \(\widehat{HAB}\approx28{,}4^\circ\), soit \(\widehat{HAB}\approx28^\circ\) au degré près.
2. À quelle distance de l’appareil Leila doit-elle se placer pour paraître aussi grande que la tour sur la photo ?
Notons \(T\) le sommet de la tête de Leila et \(L\) ses pieds. Il faut que \(T\) soit sur la droite \((AH)\), c’est-à-dire que \(\widehat{TAL}=\widehat{HAB}\). Dans le triangle \(ALT\) rectangle en \(L\) :
\[ \tan\widehat{TAL}=\frac{TL}{AL}=\frac{1{,}70}{AL} \]
On veut donc \(\dfrac{1{,}70}{AL}=0{,}54\), d’où :
\[ AL=\frac{1{,}70}{0{,}54}\approx3{,}148 \]
Leila doit se placer à environ \(3{,}15\) m de l’appareil. Plus près, elle paraîtra plus grande que la tour ; plus loin, plus petite.
Exercice 5 :
Programmes de calcul et calcul littéral.
Le programme A donne \(4x+(x-2)^2\) et le programme B donne \(x^2+6\) lorsqu’on choisit le nombre \(x\).
1. a. Résultat du programme A avec le nombre \(5\) :
\[ 4\times 5+(5-2)^2=20+3^2=20+9=29 \]
On obtient \(29\).
1. b. Résultat du programme B avec le nombre \(5\) :
\[ 5^2+6=25+6=31 \]
On obtient \(31\).
2. On exprime le résultat du programme A en fonction de \(x\) et on le développe :
\[ \begin{aligned} 4x+(x-2)^2 = 4x+(x-2)(x-2)\\ = 4x+x^2-2x-2x+4\\ = x^2+4 \end{aligned} \]
Le programme A donne \(x^2+4\). On pouvait aussi utiliser l’identité remarquable \((x-2)^2=x^2-4x+4\).
3. Le programme B donne, lui, \(x^2+6\).
4. a. Affirmation A : « Si on choisit \(\dfrac{2}{3}\), le programme B donne \(\dfrac{58}{9}\). »
\[ (\frac{2}{3})^2+6=\frac{4}{9}+\frac{54}{9}=\frac{58}{9} \]
L’affirmation A est vraie.
4. b. Affirmation B : « Le programme B donne toujours un nombre impair. »
Avec le nombre \(0\), on obtient \(0^2+6=6\), qui est pair. Ce contre-exemple suffit : l’affirmation B est fausse (tout nombre pair choisi au départ donne d’ailleurs un résultat pair).
4. c. Affirmation C : « Le programme B donne toujours un nombre positif. »
Un carré est toujours positif : \(x^2\geq\,0\), donc \(x^2+6\geq\,6\gt0\). L’affirmation C est vraie.
4. d. Affirmation D : « Pour un même nombre entier choisi, les programmes A et B donnent des résultats de même parité. »
On a \(x^2+6=(x^2+4)+2\) : le résultat du programme B est celui du programme A augmenté de \(2\). Or ajouter \(2\) à un entier ne change pas sa parité (un pair reste pair, un impair reste impair). L’affirmation D est vraie.
Exercice 6 :
Volumes : un verre cylindrique A et un verre conique B, de même hauteur \(10\) cm.
1. a. Pour quel verre le volume de jus est-il proportionnel à la hauteur ?
La courbe associée au verre A est une droite passant par l’origine du repère : il y a proportionnalité entre la hauteur de jus et le volume pour le verre A (ce n’est pas le cas pour le verre B, dont la courbe n’est pas une droite).
1. b. Par lecture graphique, pour une hauteur de \(5\) cm dans le verre A, le volume est d’environ \(140\) cm³ (le calcul donne \(\pi\times 3^2\times 5=45\pi\approx141\) cm³).
1. c. Par lecture graphique, si on verse \(50\) cm³ dans le verre B, la hauteur de jus est d’environ \(5{,}6\) cm.
2. On compare les volumes totaux des deux verres.
Verre A : cylindre de rayon \(3\) cm et de hauteur \(10\) cm.
\[ V_A=\pi\times 3^2\times 10=90\pi\approx283\ \text{cm}^3 \]
Verre B : cône de rayon \(5{,}2\) cm et de hauteur \(10\) cm.
\[ V_B=\frac{1}{3}\times \pi\times 5{,}2^2\times 10=\frac{270{,}4\pi}{3}=\frac{1\,352\pi}{15}\approx283\ \text{cm}^3 \]
Les deux verres ont donc le même volume total, à \(1\) cm³ près (environ \(282{,}7\) cm³ et \(283{,}2\) cm³).
3. On verse \(200\) cm³ de jus dans le verre A. Quelle hauteur atteint-il ?
Le jus forme un cylindre de rayon \(3\) cm et de hauteur \(h\) : son volume est \(\pi\times 3^2\times h=9\pi h\). On résout :
\[ 9\pi h=200 \quad\text{donc}\quad h=\frac{200}{9\pi}\approx7{,}1 \]
Il y a environ \(7\) cm de jus dans le verre A, ce qui est cohérent avec le graphique.
4. a. Le serveur remplit chaque verre jusqu’à \(8\) cm de hauteur. Quel verre choisir pour servir le plus de verres possible avec \(1\) L de jus ?
Graphiquement, pour une hauteur de \(8\) cm, le volume du verre A (environ \(226\) cm³) est supérieur à celui du verre B (environ \(145\) cm³). Chaque verre B contient moins de jus : il faut donc choisir le verre B.
4. b. Combien de verres A peut-il servir au maximum ?
Volume de jus dans un verre A rempli sur \(8\) cm : \(\pi\times 3^2\times 8=72\pi\approx226{,}2\) cm³. Or \(1\ \text{L}=1\,000\) cm³ et :
\[ \frac{1\,000}{72\pi}\approx4{,}42 \]
Il pourra servir au maximum \(4\) verres A.
