Voici le corrigé du brevet de maths 2022 en Asie-Pacifique (épreuve de juin 2022 du DNB), rédigé question par question. L’épreuve compte cinq exercices. Le premier regroupe trois situations indépendantes : un programme de calcul à traduire en expression littérale, une fonction linéaire lue sur un graphique et le volume d’une pyramide à base rectangulaire. Le deuxième est un exercice de géométrie classique qui enchaîne le théorème de Thalès, la réciproque du théorème de Pythagore, une homothétie et l’effet d’un agrandissement sur les aires. Le troisième exploite un tableur des médailles des Jeux paralympiques : formule de somme, pourcentage, médiane et taux d’évolution. Le quatrième compare des tarifs de tirage photo et complète un script Scratch avant d’appliquer une réduction de 30 %. Le dernier, consacré à la Station spatiale internationale, fait travailler les coordonnées géographiques, le périmètre d’un cercle et la vitesse moyenne.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Asie et Pacifique : brevet de maths 2022 avec sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Trois situations indépendantes : programme de calcul, fonction linéaire, volume d’une pyramide.
Situation 1 : programme de calcul
1. On vérifie qu’en choisissant 10 au départ, le programme (soustraire 7, multiplier par 5, puis soustraire le double du nombre de départ) donne \(-5\).
- \(10 – 7 = 3\) ;
- \(3 \times 5 = 15\) ;
- le double du nombre de départ vaut \(2 \times 10 = 20\), et \(15 – 20 = -5\).
On obtient bien \(-5\) avec 10 comme nombre de départ.
2. On cherche, parmi les expressions proposées, celle qui donne le résultat du programme pour un nombre de départ \(x\).
On soustrait 7 : \(x – 7\) ; on multiplie par 5 : \(5(x-7)\) ; on retire le double de \(x\) :
\[5(x-7) – 2x\]
C’est donc l’expression C. On peut contrôler avec \(x = 10\) : \(5 \times 3 – 20 = -5\). (En développant, on obtient d’ailleurs \(5x – 35 – 2x = 3x – 35\).)
Situation 2 : fonction linéaire
1. On lit sur le graphique l’image de \(-2\) par la fonction \(f\) : on part de l’abscisse \(-2\), on rejoint la droite puis on lit l’ordonnée. L’image de \(-2\) par \(f\) est \(-4\), autrement dit \(f(-2) = -4\).
2. On cherche l’expression de \(f(x)\). La fonction \(f\) est linéaire, donc \(f(x) = ax\) pour un certain nombre \(a\). Le point \(A(3\,;6)\) appartient à sa représentation graphique, donc \(f(3) = 6\), soit \(3a = 6\), d’où \(a = 2\).
Ainsi \(f(x) = 2x\). On retrouve bien \(f(-2) = 2 \times (-2) = -4\), en accord avec la question 1.
Situation 3 : volume d’une pyramide
On veut savoir si la pyramide de sommet \(G\), de base le rectangle \(CDEF\) (\(ED = 30\) cm, \(DC = 40\) cm) et de hauteur \(GH = 55\) cm, a un volume supérieur à 20 litres.
Aire de la base :
\[\mathcal{A} = ED \times DC = 30 \times 40 = 1\,200 \text{ cm}^2\]
Volume de la pyramide :
\[\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{A} \times GH = \frac{1}{3} \times 1\,200 \times 55 = 22\,000 \text{ cm}^3\]
Comme \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\), on a \(\mathcal{V} = 22\) L.
Le volume de la pyramide (22 L) est bien supérieur à 20 L.
Exercice 2 :
Géométrie : Thalès, réciproque de Pythagore, homothétie, aires.
1. On calcule la longueur \(EC\), sachant que \(EB = 7{,}2\) cm, \(AB = 9\) cm et \(CD = 6\) cm.
Dans les triangles \(ABE\) et \(DCE\) :
- le point \(E\) appartient aux segments \([BC]\) et \([AD]\) ;
- les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC} = \frac{AB}{CD}\]
d’où \(\dfrac{7{,}2}{EC} = \dfrac{9}{6}\), puis
\[EC = \frac{7{,}2 \times 6}{9} = \frac{43{,}2}{9} = 4{,}8\]
\(EC = 4{,}8\) cm.
2. On montre que le triangle \(CDE\) est rectangle, avec \(ED = 3{,}6\) cm, \(EC = 4{,}8\) cm et \(CD = 6\) cm.
Dans le triangle \(ECD\), le plus grand côté est \([CD]\).
- D’une part : \(CD^2 = 6^2 = 36\) ;
- d’autre part : \(ED^2 + EC^2 = 3{,}6^2 + 4{,}8^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36\).
Donc \(CD^2 = ED^2 + EC^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(CDE\) est rectangle en \(E\).
3. On demande quelle transformation permet d’obtenir le triangle \(ABE\) à partir du triangle \(ECD\).
Les deux triangles sont « tête-bêche » de part et d’autre du point \(E\), avec des côtés parallèles et proportionnels : c’est une homothétie de centre \(E\) (de rapport \(-1{,}5\), puisque les longueurs sont multipliées par 1,5 et que les figures sont de part et d’autre de \(E\)).
4. On se demande si l’aire du triangle \(ABE\) s’obtient en multipliant celle de \(ECD\) par 1,5.
Le rapport d’agrandissement des longueurs est \(\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5\). Lors d’un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\). Ici les aires sont donc multipliées par \(1{,}5^2 = 2{,}25\), et non par 1,5.
Vérification : l’aire de \(ECD\), rectangle en \(E\), vaut \(\dfrac{3{,}6 \times 4{,}8}{2} = 8{,}64\) cm² ; comme \(EA = 1{,}5 \times 3{,}6 = 5{,}4\) cm, l’aire de \(ABE\) vaut \(\dfrac{5{,}4 \times 7{,}2}{2} = 19{,}44\) cm², et \(19{,}44 = 2{,}25 \times 8{,}64\).
L’affirmation est donc fausse.
Exercice 3 :
Tableur des médailles des Jeux paralympiques de Tokyo, statistiques et pourcentages.
1. On lit dans le tableau le nombre de médailles d’argent de l’Australie : 29 médailles d’argent.
2. On cherche le nombre de médailles de bronze de l’Italie, qui a obtenu 69 médailles au total, dont 14 en or et 29 en argent :
\[69 – (14 + 29) = 69 – 43 = 26\]
L’Italie a obtenu 26 médailles de bronze.
3. La cellule F2 contient le total des médailles du pays de la ligne 2, c’est-à-dire la somme des cellules C2, D2 et E2 (or, argent, bronze). On a pu saisir :
=SOMME(C2:E2)
(ou, de façon équivalente, =C2+D2+E2).
4. Deux affirmations sont à examiner.
Affirmation 1 (environ 20 % des médailles du pays concerné, qui en compte 54 dont 11 en or, sont des médailles d’or) :
\[\frac{11}{54} \approx 0{,}204 \text{, soit environ } 20{,}4\,\%\]
Arrondi à l’unité, cela fait environ 20 % : l’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 (sur le nombre médian de médailles d’argent des 15 pays) : on range les 15 nombres de médailles d’argent dans l’ordre croissant :
1 ; 11 ; 12 ; 15 ; 15 ; 15 ; 17 ; 20 ; 29 ; 29 ; 33 ; 36 ; 38 ; 47 ; 60
L’effectif 15 est impair et \(\dfrac{15+1}{2} = 8\) : la médiane est la 8e valeur, c’est-à-dire 20. Il y a autant de pays (7) avec moins de 20 médailles d’argent qu’avec plus de 20.
La médiane valant 20 et non la valeur annoncée, l’affirmation 2 est fausse.
5. On calcule le pourcentage d’augmentation de la prime, passée de 50 000 € en 2016 à 65 000 € en 2021 :
\[\frac{65\,000 – 50\,000}{50\,000} = \frac{15\,000}{50\,000} = 0{,}3\]
La prime a augmenté de 30 % entre 2016 et 2021.
Exercice 4 :
Tarifs de tirages photo, script Scratch, réduction en pourcentage.
Rappel du tarif : jusqu’à 100 photos, chaque tirage coûte 0,17 € ; au-delà de 100 photos, on paie un forfait de 17 € pour les 100 premières, puis 0,13 € par photo supplémentaire.
1. a. Prix de 35 photos : \(0{,}17 \times 35 = 5{,}95\). On paie 5,95 € pour 35 photos.
1. b. On vérifie le prix de 150 photos : les 100 premières coûtent 17 €, et il reste \(150 – 100 = 50\) photos à 0,13 €.
\[17 + 0{,}13 \times 50 = 17 + 6{,}5 = 23{,}5\]
On paie bien 23,50 € pour 150 photos.
1. c. On cherche le nombre maximal de photos avec un budget de 10 €. Comme 100 photos coûtent déjà 17 €, on ne peut pas dépasser 100 photos : on est dans le tarif à 0,17 € la photo. Si \(x\) désigne le nombre de photos :
\[0{,}17x \leq\, 10 \quad\text{donc}\quad x \leq\, \frac{10}{0{,}17} \approx 58{,}8\]
Le nombre de photos étant entier : on peut commander au maximum 58 photos (58 photos coûtent 9,86 €, 59 photos coûteraient 10,03 €).
2. On complète le script qui calcule le prix à payer selon le nombre de photos : il teste si le nombre est inférieur ou égal à 100, applique alors 0,17 € par photo, et sinon le forfait de 17 € plus 0,13 € par photo supplémentaire.
- ligne 3 : 100 ;
- ligne 4 : 0,17 ;
- ligne 7 : 17.
3. a. On applique une réduction de 30 % à la commande de 150 photos, qui coûte 23,50 € sans réduction (question 1. b.) :
\[23{,}50 \times (1 – \frac{30}{100}) = 23{,}50 \times 0{,}7 = 16{,}45\]
Après réduction, on paie 16,45 €.
3. b. Parmi les formules proposées pour calculer un prix après une réduction de 30 %, conviennent celles qui reviennent à multiplier le prix par \(1 – \dfrac{30}{100} = 0{,}7\), ou à retirer au prix 30 % de lui-même. Ce sont les propositions 2 et 4.
Exercice 5 :
La Station spatiale internationale : coordonnées géographiques, cercle, vitesse moyenne.
1. On lit sur la carte les coordonnées géographiques (latitude, longitude) des deux villes :
- Canberra : 34° S ; 149° E ;
- Miami : 25° N ; 80° O.
2. On vérifie que l’ISS, en orbite circulaire à 380 km d’altitude autour de la Terre (rayon 6 371 km), parcourt environ 42 400 km en un tour.
Rayon de l’orbite : \(R = 6\,371 + 380 = 6\,751\) km.
Longueur de l’orbite (périmètre du cercle) :
\[P = 2\pi R = 2\pi \times 6\,751 \approx 42\,418 \text{ km}\]
L’ISS parcourt bien environ 42 400 km pour faire un tour complet de la Terre.
3. a. Sa vitesse moyenne est de 27 600 km/h ; on cherche la durée d’un tour. Avec \(V = \dfrac{D}{T}\), on obtient \(T = \dfrac{D}{V}\) :
\[T \approx \frac{42\,400}{27\,600} \approx 1{,}536 \text{ h}\]
Or \(0{,}536 \times 60 \approx 32{,}2\) min. Il faut donc environ 1 h 32 min à l’ISS pour faire un tour complet de la Terre.
3. b. Une sortie dans l’espace a duré 7 h 15 min ; on cherche le nombre de tours complets effectués pendant ce temps. \(7\) h \(15\) min \(= 7 + \dfrac{15}{60} = 7{,}25\) h, et
\[\frac{7{,}25}{1{,}536} \approx 4{,}72\]
L’astronaute a donc effectué 4 tours complets de la Terre pendant sa sortie (le cinquième tour n’était pas terminé).
