Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1
Pour trouver une médiane, on commence toujours par ranger les valeurs dans l’ordre croissant : \(-1\) ; 0 ; 1 ; 3 ; 7. Il y a 5 valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 3e. Deux températures sont en dessous, deux au-dessus. La médiane est 1 °C.
Question 2
Pour aller du motif n° 2 au motif n° 6, on descend d’une rangée et on se décale d’une case vers la droite (le n° 2 est au milieu de la rangée du haut, le n° 6 à droite de la rangée du milieu). On applique le même déplacement au motif n° 4, qui est à gauche de la rangée du milieu : on arrive au milieu de la rangée du bas. L’image du motif n° 4 est le motif n° 8.
Question 3
La boîte contient \(3 + 5 = 8\) boules, toutes ayant la même chance d’être tirées, dont 3 sont rouges. On divise le nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\).
Question 4
Le triangle JLK est rectangle en L, donc son hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est [JK]. Pour l’angle \(\widehat{\text{LKJ}}\), le côté adjacent (celui qui touche l’angle sans être l’hypoténuse) est [LK]. Le cosinus est le quotient « adjacent sur hypoténuse » : \(\cos(\widehat{\text{LKJ}}) = \dfrac{\text{LK}}{\text{JK}}\).
Question 5
La notation scientifique s’écrit \(a \times 10^n\) avec un seul chiffre non nul avant la virgule. On place la virgule après le 3 : \(3{,}112\). Pour revenir à 311 200 000, il faut décaler la virgule de 8 rangs vers la droite, donc multiplier par \(10^8\). \(311\,200\,000 = 3{,}112 \times 10^8\).
Question 6
2 h 30 min, c’est 2,5 h. À 40 km/h, Charlie parcourt 40 km en une heure, donc la distance vaut \(d = v \times t = 40 \times 2{,}5 = 100\). Charlie a parcouru 100 km.
Question 7
Les deux termes \(5x\) et \(5\) ont le facteur commun 5 (car \(5 = 5 \times 1\)). On le met en facteur : \(5x + 5 = 5 \times x + 5 \times 1 = 5(x + 1)\). On peut vérifier en développant \(5(x+5) = 5x + 25\), qui ne convient pas. La forme factorisée est \(5(x+1)\) (réponse A).
Question 8
La baisse représente 10 % de 80 €, soit \(\dfrac{10}{100} \times 80 = 8\) €. On retire cette baisse au prix de départ, ce qui donne 72 €. Le bon calcul est \(80 – \dfrac{10}{100} \times 80\) (réponse C).
Question 9
On repère la ligne horizontale 4 m : la courbe passe au-dessus à peu près à 14 h 30 (en montant) et repasse en dessous vers 19 h (en descendant). La durée entre 14 h 30 et 19 h est de 4 h 30 min. Réponse B : 4 h 30 min.
Exercice 1 :
1. Construction du triangle ABC en vraie grandeur.
On trace un segment [AB] de 6,4 cm. En B, on trace la perpendiculaire à (AB) avec l’équerre. On prend ensuite un écartement de compas de 8 cm, on pique en A et on trace un arc de cercle qui coupe la perpendiculaire : ce point d’intersection est C (on laisse l’arc visible, c’est le trait de construction). On relie A et C. En mesurant, on doit trouver BC proche de 4,8 cm, ce qui confirme la question suivante.
2. Calcul de BC.
Le triangle ABC est rectangle en B, son hypoténuse est [AC]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2\]
\[8^2 = 6{,}4^2 + \text{BC}^2 \quad \text{soit} \quad 64 = 40{,}96 + \text{BC}^2\]
\[\text{BC}^2 = 64 – 40{,}96 = 23{,}04\]
BC est une longueur, donc positive : \(\text{BC} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\). On a bien BC = 4,8 cm.
3. Parallélisme de (BC) et (MN).
Le triangle ABC est rectangle en B, donc (BC) est perpendiculaire à (AB). Le triangle AMN est rectangle en M, donc (MN) est perpendiculaire à (AM). Comme A, B et M sont alignés, (AB) et (AM) sont la même droite. Les droites (BC) et (MN) sont donc toutes deux perpendiculaires à la droite (AM). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
4. Calcul de MN et AN.
Comme B est entre A et M, \(\text{AM} = \text{AB} + \text{BM} = 6{,}4 + 3{,}2 = 9{,}6\) cm.
Les points A, B, M d’une part et A, C, N d’autre part sont alignés dans le même ordre, et les droites (BC) et (MN) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AN}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{MN}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{6{,}4}{9{,}6} = \dfrac{8}{\text{AN}} = \dfrac{4{,}8}{\text{MN}}\]
Le rapport \(\dfrac{6{,}4}{9{,}6}\) se simplifie en \(\dfrac{2}{3}\). Par produits en croix :
\[\text{MN} = \dfrac{4{,}8 \times 9{,}6}{6{,}4} = \dfrac{46{,}08}{6{,}4} = 7{,}2 \qquad \text{AN} = \dfrac{8 \times 9{,}6}{6{,}4} = \dfrac{76{,}8}{6{,}4} = 12\]
On obtient bien MN = 7,2 cm et AN = 12 cm.
5. Comparaison des périmètres.
Périmètre du triangle ABC : \(\text{AB} + \text{BC} + \text{CA} = 6{,}4 + 4{,}8 + 8 = 19{,}2\) cm.
Pour le quadrilatère BMNC, il manque la longueur CN. Comme C est sur le segment [AN], \(\text{CN} = \text{AN} – \text{AC} = 12 – 8 = 4\) cm.
Périmètre de BMNC : \(\text{BM} + \text{MN} + \text{NC} + \text{CB} = 3{,}2 + 7{,}2 + 4 + 4{,}8 = 19{,}2\) cm.
Les deux périmètres sont égaux : ils mesurent tous les deux 19,2 cm.
Exercice 2 :
Partie A
1. Hauteur du cylindre.
La longueur totale de 15 mm se compose de la hauteur \(h\) du cylindre et, à chaque bout, d’une demi-boule qui dépasse d’une longueur égale à son rayon, 2,5 mm. Donc \(h + 2 \times 2{,}5 = 15\), d’où \(h = 15 – 5 = 10\). La hauteur du cylindre est bien 10 mm.
2. a. Volume de la partie cylindrique.
On applique la formule du rappel avec \(R = 2{,}5\) mm et \(h = 10\) mm :
\[V_{\text{cylindre}} = \pi \times 2{,}5^2 \times 10 = 62{,}5\pi \approx 196{,}35\ \text{mm}^3\]
Le volume de la partie cylindrique est environ égal à 196 mm³.
b. Volume total d’un bonbon.
Les deux demi-boules identiques forment ensemble une boule complète de rayon 2,5 mm :
\[V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 2{,}5^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 15{,}625 \approx 65{,}45\ \text{mm}^3\]
Volume total : \(V \approx 196{,}35 + 65{,}45 = 261{,}8\) mm³ (valeur exacte : \(\dfrac{250}{3}\pi\) mm³). Comme \(260 \lt 261{,}8 \lt 262\), Léa a raison : le volume d’un bonbon est compris entre 260 et 262 mm³.
3. Nombre de bonbons produits en une journée.
On convertit 83 L en mm³ : \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\) et \(1\ \text{dm}^3 = 1\,000\,000\ \text{mm}^3\) (car 1 dm = 100 mm et \(100^3 = 1\,000\,000\)). Donc 83 L = 83 000 000 mm³.
On divise par le volume d’un bonbon :
\[\dfrac{83\,000\,000}{261{,}8} \approx 317\,000\]
On peut aussi raisonner dans l’autre sens : 300 000 bonbons demandent au plus \(300\,000 \times 262 = 78\,600\,000\) mm³, soit 78,6 L, ce qui est moins que 83 L. Oui, la confiserie peut produire plus de 300 000 bonbons par jour (environ 317 000).
Partie B
Léa veut 1 kg, c’est-à-dire 1 000 g.
Format A : il faut \(1\,000 : 500 = 2\) sachets, qui coûtent \(2 \times 7{,}90 = 15{,}80\) €.
Format B : il faut \(1\,000 : 250 = 4\) sachets. Grâce à l’offre, elle paie 3 sachets au prix normal et le quatrième à moitié prix, soit \(4{,}30 : 2 = 2{,}15\) €. Total : \(3 \times 4{,}30 + 2{,}15 = 12{,}90 + 2{,}15 = 15{,}05\) €.
Comme \(15{,}05 \lt 15{,}80\), Léa doit choisir le format B : elle paiera 15,05 € au lieu de 15,80 €, soit 0,75 € d’économie.
Exercice 3 :
1. Programme A avec 1.
D’un côté \(1 + 6 = 7\), de l’autre \(1 – 4 = -3\). On multiplie les deux résultats : \(7 \times (-3) = -21\). On obtient bien \(-21\).
2. Programme B avec 10.
Le carré de 10 est \(10^2 = 100\), puis \(100 – 9 = 91\). Le programme B donne 91.
3. Nombres de départ donnant 16 avec le programme B.
Avec un nombre de départ \(x\), le programme B calcule \(x^2 – 9\). On cherche donc les \(x\) tels que \(x^2 – 9 = 16\), c’est-à-dire \(x^2 = 25\).
Les nombres dont le carré vaut 25 sont 5 et son opposé \(-5\) (car \(5^2 = 25\) et \((-5)^2 = 25\)). Vérification : \(25 – 9 = 16\) dans les deux cas. Les nombres de départ possibles sont 5 et \(-5\).
4. Script Scratch complété.
Ligne 3, « Valeur 1 » doit contenir le nombre augmenté de 6 ; ligne 4, « Valeur 2 » doit contenir le nombre diminué de 4 ; ligne 5, « Résultat » est le produit des deux variables. Le script complet :
1 quand le drapeau vert est cliqué 2 demander (choisir un nombre) et attendre 3 mettre [Valeur 1] à ((réponse) + (6)) 4 mettre [Valeur 2] à ((réponse) - (4)) 5 mettre [Résultat] à ((Valeur 1) * (Valeur 2)) 6 dire (regrouper (Le résultat du programme A est) et (Résultat))
5. Programme A avec \(x\).
Le programme A donne \(x + 6\) d’un côté, \(x – 4\) de l’autre, puis leur produit \((x + 6)(x – 4)\). On développe avec la double distributivité :
\[(x + 6)(x – 4) = x \times x + x \times (-4) + 6 \times x + 6 \times (-4) = x^2 – 4x + 6x – 24 = x^2 + 2x – 24\]
Le programme A donne bien \(x^2 + 2x – 24\). (Avec \(x = 1\) : \(1 + 2 – 24 = -21\), on retrouve la question 1.)
6. Même résultat avec les deux programmes.
Le programme A donne \(x^2 + 2x – 24\) et le programme B donne \(x^2 – 9\). Les résultats sont égaux lorsque :
\[x^2 + 2x – 24 = x^2 – 9\]
On soustrait \(x^2\) aux deux membres, les carrés disparaissent :
\[2x – 24 = -9 \quad \text{donc} \quad 2x = 15 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\]
Vérification : programme A, \((7{,}5 + 6)(7{,}5 – 4) = 13{,}5 \times 3{,}5 = 47{,}25\) ; programme B, \(7{,}5^2 – 9 = 56{,}25 – 9 = 47{,}25\). Il faut choisir 7,5 comme nombre de départ ; les deux programmes donnent alors 47,25.
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