Corrigé du sujet
Partie 1 — Automatismes :
Question 1. En notation scientifique, on écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\). On décale la virgule de 4 rangs : \(45\,310 = 4{,}531 \times 10\,000 = 4{,}531 \times 10^{4}\). Réponse B (la réponse A est juste en valeur mais \(45{,}31\) n’est pas compris entre 1 et 10).
Question 2. On reconnaît l’identité remarquable \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) avec \(a = 4x\) et \(b = 3\) : \((4x)^2 – 3^2 = 16x^2 – 9\). Réponse C.
Question 3. Le volume d’un pavé droit est longueur × largeur × hauteur : \(4{,}5 \times 4 \times 10 = 18 \times 10 = 180\). Réponse A : 180 cm³.
Question 4. Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres l’est. Pour \(N\) : \(2 + 0 + 2 + 5 = 9\), donc 2 025 est divisible par 9 (\(2\,025 = 9 \times 225\)). Pour \(P\) : \(2 + 0 + 2 + 6 = 10\), qui n’est pas un multiple de 9. Réponse B.
Question 5. 45 minutes représentent \(\dfrac{45}{60} = 0{,}75\) h. La vitesse moyenne vaut \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{9}{0{,}75} = 12\). Autre raisonnement : en 15 minutes elle parcourt 3 km, donc en 60 minutes \(4 \times 3 = 12\) km. Sa vitesse moyenne est de 12 km/h.
Question 6. Les 10 secteurs ont la même taille, on est donc dans une situation d’équiprobabilité. Deux secteurs portent « casque » : la probabilité est \(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\), soit \(\dfrac{1}{5}\) (ou 0,2).
Question 7. 10 % de 60 € valent \(60 \times \dfrac{10}{100} = 6\) €. Le nouveau prix est \(60 – 6 = 54\) €. On peut aussi multiplier directement par le coefficient \(1 – 0{,}1 = 0{,}9\) : \(60 \times 0{,}9 = 54\). Le nouveau prix est de 54 €.
Question 8. Le triangle ABC est rectangle en C et la somme de ses angles vaut 180°. Donc \(\widehat{\text{BAC}} = 180 – 90 – 40 = 50\). L’angle mesure 50°.
Question 9. a. On additionne les hauteurs des barres : \(3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 = 27\). 27 élèves ont participé au contrôle.
b. L’effectif 27 est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{27 + 1}{2} = 14\) lorsque les notes sont rangées dans l’ordre croissant (13 notes au-dessous, 13 au-dessus). Effectifs cumulés : jusqu’à 8 on compte \(3 + 4 = 7\) notes, jusqu’à 10 on en compte 11, jusqu’à 11 on en compte 16. La 14e note est donc un 11 : la note médiane est 11.
Exercice 1 :
1. On calcule ce que coûte chaque offre sur 24 mois.
Offre A : \(175 + 16 \times 24 = 175 + 384 = 559\) €. Offre B : \(23 \times 24 = 552\) €.
Comme \(552 \lt 559\), l’offre B est la plus intéressante au bout de 24 mois (7 € d’économie).
2. a. \(f(x) = 175 + 16x\) contient les 175 € payés à l’achat puis 16 € par mois : \(f\) correspond à l’offre A. \(g(x) = 23x\) ne contient que 23 € par mois : \(g\) correspond à l’offre B.
b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = g(x)\) :
\[175 + 16x = 23x\]
On retranche \(16x\) aux deux membres : \(175 = 7x\), puis on divise par 7 : \(x = \dfrac{175}{7} = 25\). Vérification : \(f(25) = 175 + 400 = 575\) et \(g(25) = 23 \times 25 = 575\). On paie le même prix au bout de 25 mois.
c. L’engagement dure 24 mois minimum. Or \(25 \gt 24\) : au bout de 25 mois, on n’est plus dans la période d’engagement. Pendant toute la durée d’engagement, l’offre B reste donc la moins chère.
Exercice 2 :
1. Le triangle OAD est rectangle en A (codage de l’angle droit) et son hypoténuse est [OD]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{OD}^2 = \text{OA}^2 + \text{AD}^2\]
donc \(\text{OA}^2 = 8{,}2^2 – 1{,}8^2 = 67{,}24 – 3{,}24 = 64\). Une longueur étant positive, \(\text{OA} = \sqrt{64} = 8\). On a bien OA = 8 cm.
2. D’après les codages, la droite (AD) est perpendiculaire à (OB) en A, et la droite (BC) est perpendiculaire à (OB) en B. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (BC) et (AD) sont parallèles.
3. Les droites (AB) et (DC) sont sécantes en O, les points A et D appartiennent respectivement aux segments [OB] et [OC], et (AD) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :
\[\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{BC}}\]
On utilise l’égalité \(\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{BC}}\), c’est-à-dire \(\dfrac{8}{\text{OB}} = \dfrac{1{,}8}{4{,}5}\). Par produit en croix : \(\text{OB} = \dfrac{8 \times 4{,}5}{1{,}8} = \dfrac{36}{1{,}8} = 20\). Donc OB = 20 cm.
4. a. Le grand cône a pour sommet O, pour hauteur OB = 20 cm et pour rayon de base BC = 4,5 cm :
\[V_{\text{grand}} = \dfrac{\pi \times 4{,}5^2 \times 20}{3} = \dfrac{\pi \times 20{,}25 \times 20}{3} = 135\pi \approx 424{,}1\]
Le volume du grand cône est d’environ 424 cm³.
b. Le gobelet s’obtient en retirant au grand cône le petit cône de sommet O, de hauteur OA = 8 cm et de rayon AD = 1,8 cm :
\[V_{\text{petit}} = \dfrac{\pi \times 1{,}8^2 \times 8}{3} = \dfrac{\pi \times 3{,}24 \times 8}{3} = 8{,}64\pi \approx 27{,}1\]
\[V_{\text{gobelet}} = 135\pi – 8{,}64\pi = 126{,}36\pi \approx 396{,}97\]
Le volume du gobelet est d’environ 397 cm³.
Remarque : le petit cône est une réduction du grand de rapport \(\dfrac{8}{20} = 0{,}4\) ; son volume vaut donc \(0{,}4^3 = 0{,}064\) fois celui du grand, ce qui redonne \(0{,}064 \times 135\pi = 8{,}64\pi\).
Exercice 3 :
1. On part de 5. Première branche : le carré de 5 est 25, multiplié par 3 cela donne 75. Seconde branche : \(5 \times 7 = 35\). On additionne : \(75 + 35 = 110\), puis on soustrait 6 : \(110 – 6 = 104\). Le programme A donne 104.
2. Le nombre de départ se trouve en A2 ; son carré s’écrit A2*A2. Il faut donc calculer « 3 fois le carré de A2, plus 7 fois A2, moins 6 ». La formule est = 3 * A2 * A2 + 7 * A2 - 6. (La première formule calcule \(3 \times 2 \times \) A2 au lieu du carré, la deuxième donne toujours le même résultat quand on l’étire et la dernière change les signes.)
3. Dans la ligne 3 du tableur, le nombre de départ \(-3\) donne le résultat 0. Le programme A donne 0 pour \(x = -3\).
4. Avec \(x\) : la première branche donne \(3x^2\), la seconde \(7x\) ; on additionne puis on soustrait 6. Le programme A donne \(3x^2 + 7x – 6\).
5. On part de 5. Première branche : \(5 \times 3 = 15\), puis \(15 – 2 = 13\). Seconde branche : \(5 + 3 = 8\). On multiplie : \(13 \times 8 = 104\). Le programme B donne 104, comme le programme A.
6. Avec \(x\) : la première branche donne \(3x – 2\), la seconde \(x + 3\), et on multiplie les deux. Le programme B donne \((3x – 2)(x + 3)\).
7. On développe l’expression du programme B par double distributivité :
\[(3x – 2)(x + 3) = 3x \times x + 3x \times 3 – 2 \times x – 2 \times 3 = 3x^2 + 9x – 2x – 6 = 3x^2 + 7x – 6\]
On retrouve exactement l’expression du programme A. Les deux programmes donnent donc le même résultat pour tout nombre de départ : Mathis a raison.
8. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc \(3x – 2 = 0\) ou \(x + 3 = 0\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{2}{3}\) ou \(x = -3\). L’équation a deux solutions : \(-3\) et \(\dfrac{2}{3}\).
Comme le programme B (et donc aussi le programme A, d’après la question 7) donne \((3x – 2)(x + 3)\), les deux programmes donnent 0 exactement pour \(x = -3\) et \(x = \dfrac{2}{3}\). On retrouve la valeur \(-3\) lue dans le tableur ; \(\dfrac{2}{3}\) n’y apparaissait pas car le tableur n’utilise que des multiples de 0,5 (on voit d’ailleurs le résultat changer de signe entre 0,5 et 1).
Exercice 4 :
1. Les points F, A et E sont alignés, donc l’angle plat \(\widehat{\text{FAE}}\) mesure 180°. Il se décompose en trois angles : \(\widehat{\text{FAB}} = 60^\circ\) car ABF est équilatéral, \(\widehat{\text{BAD}} = 90^\circ\) car ABCD est un carré, et \(\widehat{\text{DAE}}\). Donc \(\widehat{\text{EAD}} = 180 – 60 – 90 = 30\) : \(\widehat{\text{EAD}} = 30^\circ\).
2. Avec l’échelle donnée, 4 cm correspondent à \(4 \times 10 = 40\) pas : J = 40 et M = 40.
Pour les rotations, le lutin tourne de l’angle extérieur de la figure, c’est-à-dire \(180^\circ\) moins l’angle intérieur. Dans un triangle équilatéral, l’angle intérieur vaut 60°, donc K = 120 (trois rotations de 120° font bien un tour complet de 360°). Dans un carré, l’angle intérieur vaut 90°, donc N = 90 (quatre rotations de 90° font 360°).
3. Après chaque bloc Triangle ou Carré, le lutin a fait un tour complet : il revient à son point de départ avec la même orientation. Ensuite il avance de 50 pas, soit 10 pas de plus que le côté de 40 pas : il reste donc un petit espace entre chaque forme et la suivante, ce qui élimine les figures 1 et 2 (formes accolées) et la figure 4 (espace seulement après les carrés). Enfin, il tourne de 30° après chaque forme ; il dessine 12 formes, donc tourne en tout de \(12 \times 30 = 360^\circ\) : le tracé se referme en couronne au lieu de former une frise. La figure obtenue est la figure 3.
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